OpenGL學(xué)習(xí)之3D數(shù)學(xué)

一:向量的記法

向量的記法.png

通常使?下標(biāo)法來引?向量量的某個(gè)分量
?比如浦马，a1 = 1;a2 = 2 ; a3 = 3
實(shí)際開發(fā)中針對(duì)的是2D\3D\4D向量量，所以不用下標(biāo)法
2D向量量:x y
3D向量量:x y z
4D向量量:x y z w

向量的前面加個(gè)-號(hào),表示向量變負(fù)

2:向量大小計(jì)算公式

2D向量大小計(jì)算公式
||v|| = √Vx2 + Vy 2
3D向量大小計(jì)算公式
||v|| = √Vx2 + Vy 2 + Vz2

3:標(biāo)準(zhǔn)向量

Vnorm = V / ||V||,注意V不能為0
零向量是不能被標(biāo)準(zhǔn)的,數(shù)學(xué)上是不允許的,因?yàn)閷?dǎo)致除以0,幾何上沒有任何意義,因?yàn)榱阆蛄繘]有方向

4:向量的加減

向量的加減只能是同一緯度下才能加減,否則不能運(yùn)算

5:向量之間的距離計(jì)算

(A,B) = ||B - A|| = √(Bx - Ax)2 + (By - Ay)2 + (Bz - Az)2
同樣的一定是要同一維度下

5:向量的點(diǎn)乘

應(yīng)?到2D张漂、3D 中:
A? B = AxBx + AyBy A,B都是2D向量
A? B = AxBx + AyBy + AzBz A,B都是3D向量

點(diǎn)乘的意義

a? b = ||a||||b||cos(q) (q是兩個(gè)向量之間的夾角)

點(diǎn)乘.png

6:案例(根據(jù)向量V和向量N求向量V2和向量V1)

向量運(yùn)算.png

V2計(jì)算:
V2平行于N,即可表示為: V2 = N *||V2|| / ||N||
因此只要求得V2的模就能計(jì)算投影向量的值,借助三角分解,方便求解
cos q = || V2|| / ||V||
|| V2|| = cos q * ||V||
V2 = N * cos q * ||V|| / ||N||
同時(shí)乘以||N||后得 V2 = N * cos q * ||V||? ||N||/ ||N||2
V2 = N * V? N/ ||N||2
V1計(jì)算:
V1 + V2 = ||V||;
V1 = ||V|| - V2 = ||V|| - N * V? N/ ||N||2

7:單位矩陣

單位矩陣晶默，是?種特殊的對(duì)?矩陣，n維單位矩陣記做 In航攒。是n * n 矩陣磺陡。對(duì)象元素為1.其他元素為0。
單位矩陣?常特殊漠畜，因?yàn)樗蔷仃嚦朔▎挝辉宜浠拘再|(zhì)是?用任意1個(gè)矩陣乘以單位矩陣，都將得到原矩陣憔狞。所以在某種意義上對(duì)矩陣的作?用就猶如1對(duì)于標(biāo)量的作?蝴悉。

例如 3 * 3 單位矩陣

3*3矩陣.png

8:矩陣轉(zhuǎn)置

?個(gè)r * c 矩陣M。M的轉(zhuǎn)置記做MT躯喇，是?個(gè) c * r 矩陣。它的列由M的?組成硝枉×觯可以從另?面理解。 MijT = Mji ,即沿著矩陣的對(duì)?線翻折妻味。

矩陣轉(zhuǎn)置1.png

對(duì)向量而言正压，轉(zhuǎn)置將使得行向量變成列向量，是列向量變成行向量

行列向量轉(zhuǎn)置.png

9:標(biāo)量和矩陣相乘

標(biāo)量和矩陣相乘.png

設(shè)A 為 4 * 2 矩陣责球，B 為 2 * 5 矩陣焦履，那么結(jié)果AB 為 4 * 5 矩陣。

矩陣與矩陣相乘1.png

矩陣與矩陣相乘2.png

矩陣相乘法則:對(duì)結(jié)果中的任意元素Cij雏逾，取A的第i行和第j列嘉裤，將?和列中的對(duì)應(yīng)元素相乘。然后將結(jié)果相加 (等于A的i列和B的j列的點(diǎn)積)栖博。Cij就等于這個(gè)和屑宠。

矩陣與矩陣相乘3.png

矩陣與矩陣相乘4.png

2乘2矩陣1.png

2乘2矩陣2.png

矩陣乘法注意事項(xiàng):

1.任意矩陣M乘以方陣S,不管從哪邊乘，都得到與原矩陣?小相同的矩陣仇让。當(dāng)然典奉，前提是假定乘法有意義躺翻。如果S是單位矩陣，結(jié)果就是原矩陣M卫玖，即:MI = IM = M 公你。
2.矩陣乘法不滿?交換律痪署，即:AB != BA
3.矩陣乘法滿足結(jié)合律抛人，即:(AB)C = A(BC)蒜鸡。假定ABC的維數(shù)使得其乘法有意義杆麸，要注意如果(AB)C有意義祝蝠，那么A(BC)就一定有意義扭弧。
4.矩陣乘法也滿?與標(biāo)量或向量的結(jié)合律只锭，即:(kA)B = k(AB) = A(kB); (vA)B = v(AB);
5.矩陣積的轉(zhuǎn)置相當(dāng)于先轉(zhuǎn)置矩陣然后以相反的順序乘法谢澈，即:(AB)T = BT AT

總結(jié)

行向量左乘矩陣時(shí)芦劣，結(jié)果是行向量;
列向量右乘矩陣時(shí)粗俱，結(jié)果是列向量;
行向量右乘矩陣時(shí)，結(jié)果是?意義;
列向量左乘矩陣時(shí)虚吟，結(jié)果是?意義;
矩陣與向量相乘注意事項(xiàng):
1.結(jié)果向量中的每個(gè)元素都是原向量與矩陣中單獨(dú)行或列的點(diǎn)積;
2.矩陣?向量乘法滿足對(duì)向量加法的分配律寸认，對(duì)于向量v,w 和矩陣M 有,
(v + w)M = vM + wM;

為什么要使用列向量?

1.等式中使?列向量形式更好
2.線性代數(shù)書中使用列向量
3.多本計(jì)算機(jī)圖形學(xué)都是使用的列向量
4.OpenGL 使?的是列向量

10:矩陣是如何變換成向量的

?先,向量[1,-3 -4]是如果實(shí)現(xiàn)位移
位移[1,0,0],隨后位移[0,-3,0],最后位移[0,0,4]

矩陣轉(zhuǎn)換為向量1.png

矩陣轉(zhuǎn)換為向量2.png

向量轉(zhuǎn)換為矩陣.png

基向量乘以3乘3矩陣的情況

基向量乘以矩陣1.png

基向量乘以矩陣2.png

基向量乘以矩陣3.png