我們給自己設(shè)定一個(gè)任務(wù)卡睦，就是努力把事情說(shuō)清楚，把事情說(shuō)清楚就是使聽眾認(rèn)同芽突，如果沒(méi)有聽眾就是使假想的聽眾——另一個(gè)自己認(rèn)同犹赖。這聽起來(lái)有點(diǎn)分裂队他，但確實(shí)要求那另一個(gè)自我有一點(diǎn)“較真”和“不斷置疑”的精神卷仑。
說(shuō)服或者使用圖像峻村，或者使用語(yǔ)言。而使用圖像更有說(shuō)服力锡凝。
圖像就是圖景粘昨，是Picture，但要讓它動(dòng)起來(lái)窜锯，這需要一點(diǎn)想象力张肾。有時(shí)候我們會(huì)說(shuō)動(dòng)起來(lái)的圖像比靜止的圖像更真實(shí)，是人在大多數(shù)情況已經(jīng)適應(yīng)了動(dòng)起來(lái)的圖像锚扎，或賦予動(dòng)起來(lái)的圖像以更高的審美價(jià)值吞瞪。
比如拍照，我們?cè)谌我凰查g拍下的照片都是“真實(shí)”的驾孔，但拿來(lái)看卻往往惹人笑芍秆，表情的瞬間也許很丑惯疙，我們從來(lái)都沒(méi)有看過(guò)小于$0.01$秒的瞬間，我們看的是“時(shí)間”的綿延妖啥，是處理過(guò)的富于動(dòng)感的圖像霉颠，我們是借助動(dòng)感的圖像建立起我們的審美，對(duì)人神情的荆虱，人動(dòng)態(tài)的……審美蒿偎。我們覺(jué)得眨眼很迷人，但我們覺(jué)得眼睛完全閉合的瞬間丑死了怀读。
但在我們的想象中要讓比如一個(gè)點(diǎn)動(dòng)起來(lái)诉位，一個(gè)三角形變大，旋轉(zhuǎn)……是需要想象力的菜枷，但我們確實(shí)有這樣的能力不从，有時(shí)我們?cè)谒查g看到萬(wàn)丈光芒，極度具有結(jié)構(gòu)特征的幾何圖形犁跪，色彩的斑駁變化椿息，伴隨著節(jié)奏，音樂(lè)的節(jié)奏坷衍，或我們思緒的內(nèi)在節(jié)奏寝优，在自己的腦海里輪番更替。
在這樣的瞬間我們仿佛透徹了宇宙間所有的真理枫耳，但卻沒(méi)有合適的語(yǔ)言把它們描述出來(lái)乏矾，我們只能試一試，努力憑記憶把它們畫下來(lái)迁杨，借著篝火钻心，用顏料涂抹在山洞的頂上。一些極富想象力的抽象的作品铅协。據(jù)說(shuō)這種抽象風(fēng)格的繪畫和極度寫實(shí)的繪畫同時(shí)出現(xiàn)捷沸。
“寫實(shí)”是對(duì)“可見”事物的模仿，而“抽象”是對(duì)“可以想見”事物的模仿狐史。它們都是有力量的存在痒给，對(duì)沒(méi)有想象力的人來(lái)說(shuō)，它們需要呈現(xiàn)于視覺(jué)的形象才能管窺想象力的奇妙骏全。但也有人說(shuō)最早的繪畫并無(wú)任何教育或交流的目的苍柏，它純粹是出于精神的需要，是人靈性的發(fā)泄姜贡，是與神親近的方式试吁，所以它們才被創(chuàng)作于黑黢黢的山洞里面。
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我們現(xiàn)在就需要通過(guò)想象而非觀瞧來(lái)建立關(guān)于粒子的圖像楼咳，和關(guān)于波動(dòng)的圖像熄捍。這是我們談?wù)摬６笮缘那疤帷?/p>
何謂粒子律秃？
它是一個(gè)點(diǎn)，理想的點(diǎn)治唤，只有方位棒动，而無(wú)部分。在我的想象里它居于一個(gè)三維的空間宾添，我可以讓它上下稍微動(dòng)一動(dòng)船惨，而完全不會(huì)影響其在左右方向上的位置，也不會(huì)影響其在前后方向上的位置缕陕。
假如世界只有這一個(gè)粒子粱锐，這是多么的空洞。
它可以任意地上下扛邑、左右怜浅、前后地改變位置，但對(duì)我來(lái)說(shuō)是完全一樣的蔬崩。它都在我想象的空洞空間的中央恶座，位置的改變無(wú)從說(shuō)起。
我們必須有個(gè)參照沥阳，有了參照跨琳，我們就能說(shuō)出粒子的位置了。
這個(gè)參照就是三把想象的尺子桐罕，它們互相垂直構(gòu)成一個(gè)參照脉让。或我們需要第二個(gè)點(diǎn)功炮，作為原點(diǎn)溅潜，粒子是參照原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化的。我們還需要三個(gè)箭頭薪伏，標(biāo)明三維空間的三個(gè)方向滚澜。
但“三”，為什么是“三”呢毅该？
這是我們對(duì)我們所在空間的合理分類博秫。
分類是理性的活動(dòng)潦牛，是智慧的活動(dòng)眶掌，誰(shuí)善于分類誰(shuí)就是聰明人！
“亞當(dāng)證明自己是世界上第一位且最偉大的哲學(xué)家：他能根據(jù)物種的真正的本質(zhì)和差異恰如其分地對(duì)它們加以區(qū)分巴碗∑优溃”
最合理的分類是既不重復(fù)，也不遺漏橡淆。
而把我們所在的方向分解為三個(gè)不同方向是既不重復(fù)也不遺漏的召噩。
但我們也可以設(shè)想兩維或一維的世界母赵，這或者是出于限制，比如我們?nèi)祟惖幕顒?dòng)就長(zhǎng)期被限制在兩維的空間具滴，當(dāng)然是球面空間凹嘲。物理學(xué)家現(xiàn)在也喜歡量子限制效應(yīng)，所謂限制就是出于某種原因构韵，粒子（比如電子）就僅僅在二維甚至一維空間里運(yùn)動(dòng)周蹭。
想象低維空間的好處是想起來(lái)比較容易。比如落體運(yùn)動(dòng)疲恢，其實(shí)就是粒子在引力的作用下以越來(lái)越快的速度下落凶朗，描述這個(gè)運(yùn)動(dòng)只需要想象一維空間就夠了。比如炮彈的運(yùn)動(dòng)显拳，就是粒子一方面以初始速度往斜刺里飛棚愤，要想飛的最遠(yuǎn)就需要以$45^o$的角度往斜刺里飛，另一方面粒子仍然受引力的作用在以越來(lái)越快的速度往地面下落杂数。
所以這是一個(gè)想象中的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的疊加宛畦，先往斜刺里飛一段，再往下掉一段揍移，然后再往斜刺里飛一段刃永，然后再以更大速度往下掉一段。然后在我們的想象中再讓這一段段鋸齒縮小羊精，讓它看起來(lái)圓順光滑一些斯够，這就是炮彈的運(yùn)動(dòng)——拋物線了。
我們還可以想象很多喧锦，比如坐過(guò)山車读规，呼嘯而下，越來(lái)越快燃少，心悸的感覺(jué)束亏，然后在空虛的感覺(jué)里，我們向上阵具，越來(lái)越高碍遍，在最高處，時(shí)間仿佛停止了阳液，其實(shí)是此時(shí)速度最小怕敬，然后向下，加速帘皿，新的一個(gè)循環(huán)開始东跪。
這里的竅門，是把我們自己想象成粒子，把自己的心替換為粒子的心虽填，讓我們進(jìn)入粒子的世界丁恭。我們會(huì)感到有風(fēng)迎面吹來(lái)，感到阻力斋日，……
我們?nèi)绾稳コL(fēng)迎面吹來(lái)的感覺(jué)呢牲览？因?yàn)檫@意味著我們受到阻力，阻力是阻礙粒子運(yùn)動(dòng)的恶守。我們喜歡引力竭恬，只要速度合適我們能圍繞一個(gè)引力的中心（比如地球）循環(huán)往復(fù)地運(yùn)動(dòng)起來(lái)，一個(gè)橢圓熬的，當(dāng)我們?nèi)邕^(guò)山車一般沖向地球的時(shí)候痊硕，我們的速度最快，因?yàn)樗俣妊嚎颍覀儚碾x地球最近的地方呼嘯而過(guò)岔绸，然后擺脫地球，離它越來(lái)越遠(yuǎn)橡伞，向上盒揉，彎曲著向上，依靠慣性兑徘，或依靠動(dòng)能（$K = \frac{mv^2}{2}$）反抗地球的吸引刚盈，直到?jīng)_到離地球最遠(yuǎn)的地方，空虛地失去了太多動(dòng)能挂脑，然后引力又占了上風(fēng)藕漱，如此循環(huán)。
我們?cè)陲w崭闲，我們努力想控制飛行的軌跡肋联，但很可惜，我們沒(méi)有辦法刁俭，就像夢(mèng)境中的人想努力控制自己的飛行一樣徒勞和無(wú)能為力橄仍，我們?cè)谔摽罩酗w行，引力是唯一的外部原因牍戚，引力可不在乎侮繁，它嚴(yán)格地按$F = \frac{G M m}{r^2}$行為，橢圓軌道由我們的初始沖動(dòng)決定如孝，即我們?cè)诰嚯x地球多遠(yuǎn)的地方宪哩，決定以一個(gè)什么樣的速度，什么樣的角度暑竟，沖出去斋射。
（對(duì)一個(gè)二階微分方程$F = m a$來(lái)說(shuō)育勺，只要給定兩個(gè)初始條件但荤，初始的位置和初始的動(dòng)量罗岖，粒子的運(yùn)動(dòng)就完全決定了。）
粒子是我們現(xiàn)在思維的基本單元腹躁，每個(gè)粒子都可以用質(zhì)量桑包，位置，和動(dòng)量來(lái)描述纺非。
質(zhì)量就是粒子的質(zhì)量哑了。我們假設(shè)萬(wàn)事萬(wàn)物都有質(zhì)量，但光子（光的粒子）除外烧颖，我們暫時(shí)先不討論它弱左。位置就是一個(gè)三維矢量，我們一般把它記為$\vec r$炕淮，它分解為三個(gè)固定方向上向量的疊加：
$\vec r = \vec i x + \vec j y + \vec k z$
動(dòng)量的定義是質(zhì)量乘以速度拆火，速度定義為對(duì)位置的微分：
$\vec v = \frac{d \vec r}{d t}$
$\vec p = m \vec v$
位置，速度涂圆，動(dòng)量都是矢量们镜，還有力，這給我們的想象力帶來(lái)極大的挑戰(zhàn)润歉，為了思維的輕松模狭，我們往往把它們想象為二維的或一維的。
粒子在三維空間里飛來(lái)飛去踩衩，但它并沒(méi)有自由意志嚼鹉，它是由力和它的初始狀態(tài)完全決定的，我們可以把粒子位置隨時(shí)間變化的關(guān)系求出來(lái)驱富。
$r(t)$
粒子如$r(t)$般在時(shí)間和空間里存在反砌，$r(t)$就是粒子的世界，粒子的一生萌朱，它完全由它受到的力宴树，它的初始位置和它的動(dòng)量完全決定。這是很宿命的世界晶疼。
如果只存在牛頓力學(xué)酒贬，我們的世界就是這樣的一個(gè)世界。萬(wàn)事萬(wàn)物不過(guò)是粒子的集合翠霍，很多很多個(gè)粒子锭吨，雖然多，但它總數(shù)的過(guò)來(lái)寒匙，比如整個(gè)宇宙中質(zhì)子的數(shù)目就是$10^{80}$數(shù)量級(jí)零如。
只要可數(shù)躏将，我們就可對(duì)它們列方程，可數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)考蕾，可數(shù)個(gè)力祸憋，可數(shù)個(gè)初始位置，可數(shù)個(gè)初始動(dòng)量肖卧，一個(gè)非常巨大蚯窥，但確實(shí)是可數(shù)個(gè)微分方程，雖然我們不可能對(duì)其求解塞帐，但我們必須記桌乖：
方程只是對(duì)我想象世界的符號(hào)化呈現(xiàn)，自然如此行為葵姥，但從來(lái)不需要先求解方程再?zèng)Q定下一步怎么做荷鼠，是我們?nèi)祟愐驗(yàn)楹闷妫艜?huì)去解它們榔幸。
如此巨大的方程允乐，在我想象的世界里是即刻被求解出來(lái)的，$10^{80}$數(shù)量級(jí)的粒子牡辽，它們沖撞喳篇，互相纏繞，各自遠(yuǎn)離态辛，經(jīng)過(guò)無(wú)限時(shí)間后又相互吸引麸澜，重新凝聚……就如一場(chǎng)戲劇在笛卡爾空間這個(gè)三維的舞臺(tái)上出演。
每個(gè)粒子都是莎士比亞戲劇中的一個(gè)人物奏黑，各有各的命運(yùn)炊邦，但這一切在戲劇開演的一瞬就已經(jīng)決定，我們張大嘴巴好奇地看熟史，假想自己進(jìn)入到戲劇里馁害，與某個(gè)粒子化為一體，或進(jìn)入環(huán)繞某個(gè)粒子運(yùn)行的軌道蹂匹，我們有我們的自由意志碘菜，但我們就如夢(mèng)境中的人一樣，我們根本就無(wú)法駕馭粒子的運(yùn)動(dòng)限寞，我們徒勞地想忍啸，徒勞地扭動(dòng)思想的身軀，但這場(chǎng)戲只由力履植，初始位置和動(dòng)量決定计雌，我們的命運(yùn)早已被安排，只是我們不知道玫霎。而我們所有的意志都是無(wú)用的凿滤，我們不受我們自己指揮妈橄。
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所謂粒子的圖像就是粒子們?cè)谔摽罩羞\(yùn)動(dòng)，它們各有各的質(zhì)量翁脆，相互之間存在著萬(wàn)有引力眷蚓。假如上帝是造物者的話，他在造物的瞬間會(huì)用他的大手拋灑出這$10^{80}$數(shù)量級(jí)的粒子鹃祖，然后以他的全能使其按各自的方式具有初始位置和初始動(dòng)量溪椎，然后他老人家就休息了普舆，在異度空間翹著腳看質(zhì)點(diǎn)們成形（pattern formation）恬口。
這里虛空很重要，無(wú)虛空粒子就沒(méi)有舞臺(tái)沼侣。而所謂質(zhì)點(diǎn)則是一些沒(méi)有大小祖能、形狀的幾何點(diǎn)，它們可以集中地?cái)y帶一份能量和一份動(dòng)量蛾洛。前者是古代原子論強(qiáng)調(diào)的养铸，而后者則非，因?yàn)楣糯诱撜邲](méi)有發(fā)現(xiàn)引力轧膘，它們需要形狀來(lái)解釋物性钞螟。
古代原子論者還會(huì)強(qiáng)調(diào)有粒子的突轉(zhuǎn)（swerve），這是想給它們灰暗的世界圖景保留一點(diǎn)人性的努力谎碍，突轉(zhuǎn)后來(lái)被看做是“自由意志”的體現(xiàn)鳞滨，被借用到基督教哲學(xué)中。引入突轉(zhuǎn)純粹是哲學(xué)的考慮或?qū)徝赖脑蝮〉恚@在僵硬或被構(gòu)建的很死的牛頓力學(xué)里是沒(méi)有地位的拯啦。粒子有沒(méi)有自由意志，會(huì)不會(huì)突然神經(jīng)質(zhì)似的突然蹦跶一下是微分方程（$F = ma$）決定的熔任，它告訴我們不行褒链，就是不行！
牛頓關(guān)于世界的圖景是缺乏解釋力的疑苔，它歸根到底只是一個(gè)關(guān)于機(jī)械運(yùn)動(dòng)的理論甫匹，理論上說(shuō)由此出發(fā)可以構(gòu)建一個(gè)物性的理論，甚至一個(gè)電磁學(xué)的理論惦费，但實(shí)際上這些工作幾乎沒(méi)有人嘗試兵迅。
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牛頓本人也研究光學(xué)，并且很自然地他把光理解為一種粒子趁餐。牛頓這么做是非常自然的喷兼，因?yàn)楣獾闹本€傳播，光的幾乎很難被測(cè)量的非澈罄祝快的速度……
但牛頓的粒子說(shuō)很大程度上可看作是為了理解方便而做的一種假設(shè)季惯，比如他并沒(méi)有告訴我們光的粒子（光子）的質(zhì)量是多少吠各？它的能量是多少？它的動(dòng)量又是多少勉抓？以及如何由這些基本的物理陳述出發(fā)贾漏，解釋牛頓環(huán)的條紋間距。僅僅說(shuō)光子砸在玻璃上然后激起漣漪形成了圓環(huán)是很有想象力的猜測(cè)藕筋，但還不構(gòu)成一個(gè)靠譜的理論纵散。
靠譜的理論至少要能對(duì)最突出的現(xiàn)象做出定量解釋。就好像我們?cè)跉湓拥牟柪碚撝信龅降囊粋€(gè)靠譜的關(guān)于原子的理論首先要能定量地解釋這個(gè)領(lǐng)域里最獨(dú)特而且也是最顯著的現(xiàn)象伍掀，比如——里德堡公式。
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波動(dòng)圖像的興起和牛頓粒子圖像在光學(xué)研究中的無(wú)能為力有關(guān)暇藏。
牛頓當(dāng)然是偉大的物理學(xué)家蜜笤，他是近代光學(xué)的奠基人。
這里我們先來(lái)討論牛頓的三棱鏡分光實(shí)驗(yàn)：
彩虹是自然界中常見的現(xiàn)象盐碱，或者我們喝口水對(duì)著太陽(yáng)噴一口把兔，就可看到弧形的顏色分布。這些也許都足夠提示我們瓮顽，光县好，看上去很純，但其實(shí)很復(fù)雜暖混，也許可以進(jìn)一步分類缕贡，分類是智慧的工作。
牛頓把這種現(xiàn)象帶進(jìn)了實(shí)驗(yàn)室儒恋。
在封閉的屋子里善绎，把厚厚的窗簾稍稍拉開一條縫，使光透進(jìn)來(lái)诫尽，然后拿一個(gè)三棱鏡禀酱，玻璃的折射率比較大，它可以使光比較明顯地偏離原先的運(yùn)動(dòng)方向牧嫉。但玻璃的折射率對(duì)不同波長(zhǎng)的光是不一樣的剂跟，不同波長(zhǎng)的光會(huì)有不同偏轉(zhuǎn)的角度，不同波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)不同顏色酣藻，一束白光于是就被分成了一系列顏色的光曹洽。假如我們只留下一種顏色，把其他顏色擋掉辽剧，繼續(xù)讓光通過(guò)三棱鏡送淆，我們發(fā)現(xiàn)光不會(huì)再繼續(xù)分解了。
在我們的視覺(jué)經(jīng)驗(yàn)里怕轿，自然光或白光是純凈的偷崩，但現(xiàn)在白光倒是復(fù)雜的了辟拷，可以被某個(gè)操作繼續(xù)分解，而純色的光倒是純凈的了阐斜，它不能被這某個(gè)操作繼續(xù)分解衫冻。
初看起來(lái)這有點(diǎn)象變戲法，但為什么科學(xué)家不是魔術(shù)師的原因是他并不隱瞞自己的發(fā)現(xiàn)谒出，科學(xué)家也做演示隅俘，但他會(huì)把演示的步驟一步一步告訴你狼牺，使大家都能重復(fù)（這個(gè)說(shuō)法在今天有點(diǎn)不確切断盛，但主要是因?yàn)榭茖W(xué)已經(jīng)發(fā)展到極其復(fù)雜和昂貴的程度，普通人已經(jīng)無(wú)法重復(fù)了今豆，但科學(xué)家社群內(nèi)莉测，各個(gè)競(jìng)爭(zhēng)的小組還是可以的颜骤，否則科學(xué)發(fā)現(xiàn)就不會(huì)得到確認(rèn)唧喉，科學(xué)活動(dòng)的功利價(jià)值就無(wú)從體現(xiàn)）捣卤。但魔術(shù)師就不一樣了，他也表演八孝，但他不會(huì)教你董朝，除非你付錢成為他的徒弟。
科學(xué)活動(dòng)有一套規(guī)范能夠認(rèn)定牛頓并非是變戲法在晃點(diǎn)大家干跛，否則這么反常識(shí)的結(jié)論大家是不會(huì)承認(rèn)的子姜。而今天我們討論科學(xué)的時(shí)候也一定要記住，科學(xué)之所以可信楼入，并不在科學(xué)方法之嚴(yán)謹(jǐn)哥捕，而全在有一套科學(xué)實(shí)作之成規(guī)，我們信賴的是制度嘉熊，而非個(gè)人或具體的科學(xué)知識(shí)遥赚。但普通人談?wù)摽茖W(xué)related issue往往因?yàn)橹R(shí)上的欠缺，就先自己矮了一頭阐肤，這是不對(duì)的凫佛，我們當(dāng)然需要一定的知識(shí)基礎(chǔ)，但我們復(fù)核的焦點(diǎn)應(yīng)該是科學(xué)實(shí)作的成規(guī)孕惜，檢討其在運(yùn)作中是否有漏洞愧薛。
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牛頓關(guān)于光學(xué)的系列實(shí)驗(yàn)開創(chuàng)了物理光學(xué)，而牛頓粒子說(shuō)的無(wú)所作為則給了波動(dòng)說(shuō)機(jī)會(huì)衫画。
波動(dòng)的圖像也是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷膱D像毫炉，比如水波。
假設(shè)我們身處一個(gè)巨大的游泳池削罩，或者有人造的海浪或者有天然的海浪（以海洋為池）瞄勾，套上游泳圈遵馆，我們會(huì)隨著海浪周期性地一起一伏，這是很好玩的體驗(yàn)丰榴，起來(lái)到頂是波峰货邓，而降到低是波谷，在波峰的時(shí)候四濒，我們會(huì)看見遠(yuǎn)處某段距離外的波峰向我們走來(lái)换况，當(dāng)我們降到波谷的時(shí)候，我們會(huì)感到波峰離我們?cè)絹?lái)越迫近盗蟆，也許像座小山一樣撲來(lái)戈二，然后我們隨著這下一個(gè)波峰的到來(lái)和救生圈一起飛快的上升，很像坐過(guò)山車喳资，到了波峰的頂部會(huì)有空虛的感覺(jué)觉吭，然后又加速向下，如此反復(fù)仆邓。
沒(méi)有水面我們是不會(huì)體驗(yàn)到這每秒的運(yùn)動(dòng)的鲜滩，在每個(gè)波峰來(lái)臨的時(shí)候，我們都感到它巨大的力量节值，它狠狠地把我們從波谷掀起來(lái)徙硅，往上扔，波峰越高搞疗，我們?cè)襟w驗(yàn)到它巨大的力量嗓蘑。我們無(wú)時(shí)不刻、處處體驗(yàn)到波的能量匿乃，當(dāng)我們沖到波峰的頂部的時(shí)候我們有很大的勢(shì)能桩皿，勢(shì)就是“位置的優(yōu)越”，因?yàn)槲揖佑诖宋恢么闭ǎ铱梢园堰@位置的好處轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)的能量去沖泄隔，而當(dāng)我們居于波谷的時(shí)候，我們其實(shí)是處于另一個(gè)波峰阳懂，因?yàn)樗ǖ膹澢酚龋ㄕw的擠壓，我們?nèi)匀粫?huì)居“位置的優(yōu)越”岩调，或換句話說(shuō)巷燥，我們?nèi)杂幸粋€(gè)大的勢(shì)能……
波的能量是正比于波動(dòng)的振幅的平方的（$\propto A^2$），波動(dòng)的能量無(wú)所不在号枕，波傳播到哪里缰揪，波的能量就在哪里，我們套上救生圈就可以體驗(yàn)到這種能量。
波是整體的運(yùn)動(dòng)钝腺，當(dāng)我們研究水波的時(shí)候抛姑，能量并非集中在某個(gè)粒子上，它是能量的分布艳狐，“均勻”地分布在整體定硝。此時(shí)虛空概念就顯得無(wú)力了，空蕩蕩的舞臺(tái)可以讓莎士比亞戲劇中的人物一個(gè)個(gè)登場(chǎng)毫目，但水波必須要有個(gè)游泳池蔬啡，里面裝滿水，水波存在于水波的表面上镀虐。
在水面上箱蟆，每一點(diǎn)都隨著水波在波動(dòng)，我們?nèi)绻粋€(gè)一個(gè)位置地去描述水波的運(yùn)動(dòng)可要類似了刮便，因?yàn)槲恢檬遣豢蓴?shù)的（innumerable）空猜，我們沒(méi)有辦法用$1, 2, 3, ...$的方式窮盡覆蓋水面上的每一個(gè)位置。這是和我們研究牛頓粒子世界的一大區(qū)別恨旱，在那個(gè)世界里辈毯，有$10^{80}$數(shù)量級(jí)個(gè)粒子，雖然很多窖杀，但到底可數(shù)漓摩，可以用$1, 2, 3, ...$的方式窮盡。
這里我們必須說(shuō)$1, 2, 3, ...$的方式其實(shí)是個(gè)很強(qiáng)大的方式入客，如果你不限定時(shí)間的話，我們可以窮盡無(wú)窮多個(gè)粒子腿椎。這個(gè)無(wú)窮有專門的名字桌硫，有專門的名字“阿列夫零”，即最低階的無(wú)窮多啃炸，或可數(shù)铆隘、可用$1,2,3...$數(shù)數(shù)的方式窮盡的無(wú)窮多。
由此我們已經(jīng)進(jìn)入了場(chǎng)論的研究領(lǐng)域南用，所謂場(chǎng)論就是研究無(wú)窮多自由度的運(yùn)動(dòng)膀钠。我們稍微再往前進(jìn)幾步，在想象中應(yīng)如何研究這種波動(dòng)呢裹虫？（本質(zhì)上則是一種經(jīng)典的場(chǎng)論）
一種方法是把它離散化肿嘲，因?yàn)樘幪幗栽诘倪B續(xù)太難想象了。我把它們想象成為一個(gè)彈簧床墊筑公，在場(chǎng)里面做想象的切割雳窟，每一個(gè)小方塊，或每一個(gè)三角形匣屡，六角形封救，收縮成為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)拇涤，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量將正比于面積和密度，然后我在想象中讓每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)按照某種結(jié)構(gòu)相連誉结，用假想的彈簧相連鹅士，如果你不想讓你的場(chǎng)破碎的話，你就必須用彈簧把它們編織起來(lái)惩坑。
此時(shí)上帝變成了一個(gè)編織彈簧床墊的工人如绸，彈簧各有各的彈性系數(shù)，它們又可定義為彈性模量旭贬。離散模型的好處是好想怔接，某種意義下一個(gè)離散的模型又回到了粒子的世界，我們這里唯一的不同是假設(shè)了很多彈性回復(fù)力稀轨。波的能量現(xiàn)在體現(xiàn)為所有質(zhì)點(diǎn)的能量之和扼脐，而每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)又由動(dòng)能和勢(shì)能兩部分組成，很多細(xì)小的$\frac{1}{2} m v^2$和$\frac{1}{2}k x^2$之和奋刽，然后利用密度瓦侮，彈性模量等概念再把這個(gè)關(guān)系再寫回到連續(xù)的情形。這時(shí)我們會(huì)得到一個(gè)用連續(xù)的場(chǎng)$\varphi(x,t)$表示的動(dòng)能和勢(shì)能佣谐。
我們使用一套由牛頓力學(xué)發(fā)展出的技巧（相當(dāng)于是某種數(shù)學(xué)變換）肚吏，我們不考慮力，轉(zhuǎn)而考慮拉氏量$L = T - V$狭魂，它的定義是動(dòng)能減去勢(shì)能罚攀，由拉氏量出發(fā)我們利用一個(gè)變分求極值條件，就可以得到波動(dòng)方程了雌澄。波動(dòng)方程和我們利用偏微分方程技巧求得的形式是相同的斋泄。它們的解，就是常見的平面波镐牺、柱面波或球面波炫掐，視具體細(xì)節(jié)而定。
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兩列波相遇睬涧，會(huì)發(fā)生干涉現(xiàn)象募胃。這本身也是我們極其熟悉的自然現(xiàn)象。
比如在夏日的傍晚畦浓，我們來(lái)到一個(gè)池塘邊痹束，有輕風(fēng)吹過(guò)水面會(huì)泛起一陣漣漪，此時(shí)追蹤波的運(yùn)動(dòng)宅粥，觀察它参袱，假如波撞在一根蘆葦上，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)水波似乎以蘆葦為中心形成了一個(gè)新的波，你如果仔細(xì)看抹蚀，還會(huì)發(fā)現(xiàn)波每碰到一個(gè)細(xì)小的障礙物剿牺，都會(huì)以此為中心形成一個(gè)新的波，等距地向外擴(kuò)散环壤。
波動(dòng)運(yùn)行中的每一個(gè)點(diǎn)都可看做是一個(gè)新的波源晒来，而波動(dòng)整體的效果就是這無(wú)數(shù)波源擾動(dòng)的波動(dòng)的集合。這就是惠更斯原理郑现。
這么說(shuō)很有美感湃崩，只是具體計(jì)算的時(shí)候會(huì)很麻煩。但假如波動(dòng)撞到某面墻上接箫，我們?cè)谶@墻上只開兩個(gè)小孔攒读，這個(gè)運(yùn)算就會(huì)變得簡(jiǎn)單了。我們只需要計(jì)算兩列波的疊加辛友，這兩列波其實(shí)是源自同一個(gè)波只是我們把它們的兄弟姐妹們都擋住了薄扁，只留下它們A、B兩個(gè)向前奔跑废累。
如前所述邓梅，波動(dòng)可以看做是相位的奔跑，相位是$k x - \omegat t$邑滨，假如我們考慮某一時(shí)刻波動(dòng)的情況日缨，$t$是固定的，我們需要看的是$k x$掖看。
現(xiàn)在一列波由A出發(fā)按照某個(gè)路徑（Path A）跑了$x_A$距離匣距，而另一列波由B出發(fā)按照某個(gè)路徑（Path B）跑了$x_B$距離，現(xiàn)在一個(gè)相位是$k x_A$乙各，另一個(gè)相位是$k x_B$墨礁，假如這兩列波最終在C點(diǎn)相遇了。
如果相位差$k (x_A - x_B)$正好是$2 \pi$的整數(shù)倍耳峦，意味著兩列波是同步的，振幅會(huì)變?yōu)?2A$焕毫，而波的強(qiáng)度則會(huì)正比于$4A^2$蹲坷。
但假如相位差$k (x_A - x_B)$正好是$\pi$的奇數(shù)倍，則意味著當(dāng)一列波位于波峰時(shí)邑飒，另一列波必位于波谷循签，它們總是相消的，振幅會(huì)變?yōu)?0$疙咸，波的強(qiáng)度也只能是0了县匠，這是無(wú)法再弱的情況了。
當(dāng)然還有居于二者之間的情況，但我們不妨把最強(qiáng)和最弱（0）當(dāng)做標(biāo)志乞旦。
這就是著名的雙縫實(shí)驗(yàn)贼穆，我們將會(huì)在雙縫的對(duì)面觀察到一系列振動(dòng)最強(qiáng)、最弱兰粉、最強(qiáng)故痊、最弱……的條紋分布。
對(duì)水波而言玖姑，我們是能直接看到這種現(xiàn)象的愕秫，所謂水波漣漪。就是這種波峰焰络、波谷錯(cuò)綜相雜的條紋切割戴甩。
光的干涉就要難些了，首先對(duì)光源有要求闪彼，我們必須用特定波長(zhǎng)的光源甜孤，而且光源要穩(wěn)定，行話叫相干光备蚓；另外光的波長(zhǎng)本來(lái)就很小课蔬，這需要我們專門設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)才能觀察到干涉現(xiàn)象。
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光的干涉現(xiàn)象用波動(dòng)圖像很好解釋郊尝，而這還僅僅是個(gè)開始二跋，還有衍射現(xiàn)象，艾里斑等等流昏。衍射光柵還發(fā)展為測(cè)量光譜現(xiàn)象強(qiáng)大的工具扎即，說(shuō)白了就是它對(duì)分辨不同頻率/波長(zhǎng)的光具有特別強(qiáng)的本領(lǐng)。
所謂物理光學(xué)就是波動(dòng)光學(xué)况凉，它很快超越幾何光學(xué)成為光學(xué)研究的主流谚鄙。比如我們可以用衍射光柵測(cè)量氫原子的光譜，類似地還有鈉原子光譜刁绒，我們只要在炙熱的火焰里放進(jìn)某種元素的金屬絲闷营，我們就可以研究這種元素的光譜了。
到了19世紀(jì)光的波動(dòng)說(shuō)是全面地占了上風(fēng)了知市。等到赫茲做實(shí)驗(yàn)證明電磁波也是波動(dòng)傻盟，并且如光波一樣有干涉、衍射現(xiàn)象嫂丙，物理學(xué)家普遍相信光波就是一種電磁波娘赴，光的粒子說(shuō)就正式被掃進(jìn)了歷史的故紙堆。（就像我們現(xiàn)在說(shuō)到以太或燃素的感覺(jué)一樣）
但情況在一點(diǎn)點(diǎn)的起變化跟啤。
19世紀(jì)末诽表，隨著工業(yè)的進(jìn)步唉锌，人們開始用衍射光柵去研究黑體輻射的發(fā)射譜。所謂黑體輻射就是一個(gè)大空腔竿奏，這個(gè)空腔包納著一個(gè)大空間袄简，這個(gè)空間就是電磁場(chǎng)的海洋，各種電磁波在空腔里碰撞奔騰著议双，就好像是個(gè)電磁波的沖浪游樂(lè)場(chǎng)痘番。空腔（把它想象為太上老君煉丹的爐子）的溫度是可以調(diào)節(jié)的平痰，電磁輻射場(chǎng)與空腔達(dá)成了熱平衡汞舱，所謂熱平衡是個(gè)與材質(zhì)無(wú)關(guān)的事情，這是很平等的宗雇，鐵的$300o$和陶瓷的$300o$是一樣的昂芜，它們都能和$300^o$的電磁輻射場(chǎng)達(dá)到熱平衡。
我們還記得熱交換的幾種途徑：傳導(dǎo)赔蒲、對(duì)流和輻射泌神。這個(gè)輻射就是電磁輻射，太陽(yáng)離我們很遠(yuǎn)舞虱，中間又沒(méi)有導(dǎo)熱的介質(zhì)欢际，傳導(dǎo)和對(duì)流都無(wú)從談起，靠的就是輻射矾兜。所以我們說(shuō)輻射损趋、熱輻射，還是電磁輻射講的都是一個(gè)東西椅寺。
我們可以在想象中把電磁輻射場(chǎng)的一部分畫個(gè)范圍浑槽，其內(nèi)是個(gè)物體，這個(gè)物體（其實(shí)就是電磁輻射場(chǎng)）與腔體通過(guò)輻射達(dá)成熱平衡返帕，假如腔體的溫度是$T$的話桐玻，那么電磁輻射場(chǎng)也處在溫度$T$。
問(wèn)題變得復(fù)雜了荆萤，因?yàn)闇囟雀拍钸M(jìn)來(lái)了镊靴。
在統(tǒng)計(jì)物理的框架內(nèi)，溫度和無(wú)規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)有關(guān)链韭，無(wú)規(guī)則代表著信息的缺失邑闲，我們沒(méi)法知道系統(tǒng)內(nèi)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，但我們知道它們作為整體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律梧油，這個(gè)規(guī)律說(shuō)，質(zhì)點(diǎn)具有動(dòng)能$K$的幾率正比于玻爾茲曼因子$e^{-\frac{K}{kT}}$州邢。這個(gè)概念我們可以推廣運(yùn)用到黑體輻射中儡陨。
所謂黑體輻射就是很多電磁波的振動(dòng)褪子，很多振動(dòng)的模式，它們的能量正比于電場(chǎng)強(qiáng)度的平方骗村，也正比于磁場(chǎng)強(qiáng)度的平方嫌褪，而現(xiàn)在電場(chǎng)和磁場(chǎng)就相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能$K$。
我們不進(jìn)入計(jì)算的細(xì)節(jié)胚股，只是說(shuō)明現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)物理就能排上用場(chǎng)了笼痛，我們有很多振動(dòng)的模式，每個(gè)振動(dòng)模式用電磁場(chǎng)不同的波矢$\vec k$表示琅拌，很多波矢缨伊，每個(gè)波矢都有能量，我們希望把這些能量都加起來(lái)进宝，我們現(xiàn)在并不知道每個(gè)振動(dòng)的能量刻坊，我們可以去熱力學(xué)平均，然后再把它們加起來(lái)党晋，并把能量的密度用波長(zhǎng)或頻率表示出來(lái)谭胚。
這是一個(gè)可以完成的很漂亮的計(jì)算，就一個(gè)毛病未玻，這么計(jì)算出來(lái)的能量密度對(duì)短波長(zhǎng)（或高頻率灾而，所謂紫外）是發(fā)散的。這導(dǎo)致了一個(gè)荒唐的結(jié)果扳剿，即每單位空間我們都有無(wú)窮多的能量在等著我們旁趟。
當(dāng)然更要命的是理論算出來(lái)的能量密度隨波長(zhǎng)的分布，與實(shí)際實(shí)驗(yàn)測(cè)量的結(jié)果是不匹配的舞终。
這對(duì)光的波動(dòng)說(shuō)是個(gè)潛在的危機(jī)轻庆。
黑體輻射里面有很多有意思的計(jì)算，也很簡(jiǎn)單敛劝，但在這里先略去不談余爆。
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我們現(xiàn)在已經(jīng)基本明了粒子的圖像與波動(dòng)的圖像了。
那它們?yōu)樯妒遣患嫒莸哪兀?/p>
從概念的角度夸盟，二者都是理想的模型蛾方，粒子要求“點(diǎn)”，能量和動(dòng)量都被集中地?cái)y帶上陕，在虛空中穿行桩砰。而波動(dòng)是運(yùn)動(dòng)的整體狀態(tài)，需要一個(gè)介質(zhì)释簿，或像電磁波那樣亚隅，電磁場(chǎng)本身就是實(shí)實(shí)在在的物理量，它們?cè)跁r(shí)空中有個(gè)分布庶溶，波動(dòng)作為一種整體的運(yùn)動(dòng)煮纵，能量正比于振幅的平方懂鸵，充滿并且連續(xù)地分布在整個(gè)介質(zhì)或場(chǎng)里面。
場(chǎng)的概念比介質(zhì)的概念更根本行疏，經(jīng)典物理里強(qiáng)調(diào)介質(zhì)匆光，無(wú)法是給出了一種使“場(chǎng)”得以呈現(xiàn)的舞臺(tái)，一旦我們寫出了場(chǎng)的拉氏量酿联，場(chǎng)就已經(jīng)數(shù)學(xué)化了终息，有了描述場(chǎng)的數(shù)學(xué)式子，我們要介質(zhì)何用呢贞让？對(duì)電磁場(chǎng)的研究周崭，我們是先得到場(chǎng)的陳述的，但歷史上物理學(xué)家對(duì)這一數(shù)學(xué)陳述并不滿意震桶，他們?cè)噲D找出電磁場(chǎng)的介質(zhì)休傍，其實(shí)就是想構(gòu)造出一種使電磁場(chǎng)得以呈現(xiàn)的機(jī)械模型，但由于電磁場(chǎng)太復(fù)雜了蹲姐，矢量場(chǎng)嘛磨取，構(gòu)造起來(lái)頗為困難，還未成功柴墩，物理學(xué)家就被接踵而來(lái)的新問(wèn)題吸引忙厌，忙別的事情去了。
有一種克服危機(jī)的方法就是制造出更緊迫的危機(jī)江咳，使矛盾在更高水平和更激烈的程度上爆發(fā)逢净，具體到這里——尋找光介質(zhì)——自然是導(dǎo)致了狹義相對(duì)論。
