極坐標(biāo)下二維拉普拉斯方程和泊松方程的求解

1. 一般形式

對(duì)于方程 $\begin{cases} \Delta u =f(r,\varphi) \\ (\alpha u+ \beta u_r)|_{r=R_0}=u_0(\varphi) \end{cases}$ 如果 $f(r,\varphi) \equiv 0$ ，則方程為拉普拉斯方程由捎，否則為泊松方程兔综。

如果 $\beta =0$ ，則稱其為狄利克雷問題狞玛；如果 $\alpha=0$ 软驰，則稱其為諾伊曼問題；否則為混合問題心肪。

此外锭亏，根據(jù) $r$ 的范圍，還可分為圓域內(nèi)硬鞍，圓環(huán)慧瘤，圓外三種。

2. 拉普拉斯方程

使用分離變量的方法固该，我們能夠得出如下結(jié)論：

對(duì)于圓域內(nèi)的問題锅减，其解的形式為 $u(r,\varphi)=C_0+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}r^n(A_n\cos n\varphi +B_n\sin n\varphi)$
對(duì)于圓外的問題，其解的形式為 $u(r,\varphi)=C_0+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{r^n}(A_n\cos n\varphi +B_n\sin n\varphi)$
對(duì)于圓環(huán)上的問題蹬音，其解的形式為 $u(r,\varphi)=C_0+D_0\ln r+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(C_nr^n+\frac{D_n}{r^n})\cos n\varphi + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(A_nr^n+\frac{B_n}{r^n})\sin n\varphi$

所以上煤，對(duì)于拉普拉斯方程，我們按形式設(shè)解著淆，代入邊值條件即可劫狠。（可能需要對(duì)邊值條件中的 $u_0(\varphi)$ 進(jìn)行傅里葉展開）

關(guān)于拉普拉斯方程三個(gè)不同形式的解：顯然圓環(huán)上的解的形式是最全的拴疤。
對(duì)于圓域內(nèi)的問題，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=r" alt="r" mathimg="1">可以取到0独泞，如果留下 $\ln r$ 和 $r^{-n}$ 項(xiàng)呐矾，則此時(shí)當(dāng) $r \to 0$ 時(shí)， $u\to \infty$ 懦砂，這與實(shí)際的物理含義不符蜒犯。
對(duì)于圓域外的問題，同理留下 $\ln r$ 和 $r^n$ 會(huì)使得在無窮遠(yuǎn)處 $u \to \infty$ 荞膘，也是與實(shí)際不符罚随。

3. 泊松方程

顯然，泊松方程是拉普拉斯方程的非齊次形式羽资。我們的求解步驟為：找特解淘菩，轉(zhuǎn)化為拉普拉斯方程，求拉普拉斯方程屠升，綜合潮改。

對(duì)于 $f(r,\varphi)=ar^n\cos m\varphi$ 或是 $f(r,\varphi)=ar^n\sin m\varphi$

1.如果 $(n+2)^2\neq m^2$

則存在特解 $u^{*}=br^{n+2}\cos m\varphi$ 或 $u^{*}=br^{n+2}\sin m\varphi$

其中， $b=\frac{a}{(n+2)^2-m^2}$

2.如果 $(n+2)^2 = m^2$

則設(shè)特解 $u^{*}=\varphi(r)\cos m\varphi$ 或 $u^{*}=\varphi(r)\sin m\varphi$

求出特解后腹暖，作變換 $v=u-u^{*}$ 即可將泊松方程轉(zhuǎn)換為拉普拉斯方程汇在，然后求解拉普拉斯方程得到 $v$ ，從而 $u=v+u^{*}$ 脏答。

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