有這樣一個(gè)數(shù)列：1传蹈、1、2步藕、3惦界、5、8咙冗、13沾歪、21、34……前兩個(gè)元素為1雾消，其他元素均為前兩個(gè)元素和灾搏。在數(shù)學(xué)上以如下遞歸的方法定義：

這就是斐波那契數(shù)列的數(shù)學(xué)定義挫望。那數(shù)學(xué)家是如何發(fā)現(xiàn)（或創(chuàng)造）出這個(gè)這個(gè)數(shù)列，它又有什么意義呢狂窑？莫著急媳板，我們先從斐波那契的生平說(shuō)起。

斐波那契是一位數(shù)學(xué)家泉哈，生于公元1170年蛉幸，籍貫大概是比薩，卒于1240年后丛晦。1202年奕纫，他撰寫(xiě)了《珠算原理》(Liber Abaci)一書(shū)。他是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人采呐。斐波那契數(shù)列因他解決兔子繁殖的應(yīng)用題而引入若锁，故又稱為“兔子數(shù)列”搁骑。除此之外斧吐，他對(duì)歐洲數(shù)學(xué)的另一大貢獻(xiàn)就是引進(jìn)阿拉伯?dāng)?shù)字，從而取代了復(fù)雜的羅馬計(jì)數(shù)法仲器。

對(duì)于程序員而言煤率，或許它是僅次于Hello World，最常見(jiàn)的一道編程題乏冀。簡(jiǎn)單易懂蝶糯，多數(shù)人可以很快的明白它的定義并嘗試寫(xiě)出它的編碼。但這個(gè)數(shù)列就是為了考試而生辆沦？是數(shù)學(xué)家編造出來(lái)故意玩弄程序員昼捍，還是隱藏著某個(gè)宇宙的終極奧秘，它生冷的公式下面又蘊(yùn)藏著哪些數(shù)學(xué)之美肢扯。

先賣(mài)一個(gè)關(guān)子妒茬，我們先看它在現(xiàn)實(shí)的意義，然后再分析其中的數(shù)學(xué)原理蔚晨。上面這張圖是一個(gè)樹(shù)干的簡(jiǎn)化圖乍钻。確實(shí)像一顆樹(shù)，而且樹(shù)干也是分層的铭腕。推理能力不錯(cuò)银择，可以去當(dāng)砍樹(shù)工了。如果你還能從中看出每一層樹(shù)干個(gè)數(shù)（1,2,3,5,8,13）都是斐波那契數(shù)列中的元素累舷，只需要早產(chǎn)一千年浩考，斐波那契就只能是個(gè)砍樹(shù)工了。

也許這個(gè)例子并不充分被盈，我們?cè)诳纯创笞匀恢凶畛Ｒ?jiàn)的美——花兒析孽，數(shù)一數(shù)每一層花瓣的數(shù)目析蝴，是否也是斐波那契數(shù)列中的一個(gè)元素。

首先是花瓣數(shù)目最少的百合绿淋，下面是一張百合的圖片闷畸。

可以看到百合花分為2層，每層都是3個(gè)花瓣吞滞，而3確實(shí)是該數(shù)列的第四個(gè)元素佑菩。如果你覺(jué)得百合的花瓣數(shù)太少，數(shù)的不盡興裁赠，那我們?cè)賮?lái)看看菊花的花瓣數(shù)目殿漠。慢著，菊花是什么（脫口而出：一男一女一菊花）佩捞。好吧绞幌，居然也是斐波那契的第六個(gè)元素：8。

嚴(yán)肅點(diǎn)一忱，人家正在討論數(shù)學(xué)問(wèn)題呢莲蜘，笑什么笑×庇看看真正的菊花是多少個(gè)花瓣票渠，果然還是斐波那契數(shù)列的第八個(gè)元素：21。

你開(kāi)始懷疑芬迄，現(xiàn)實(shí)世界中也許真的有一種力量问顷，似乎對(duì)自然的美賦予了一個(gè)看不見(jiàn)的數(shù)學(xué)公式：斐波那契數(shù)列。那美女呢禀梳？我只喜歡看美女杜窄。好吧，作為男人算途，我懂i你們的需求塞耕，上妹子~

這下大家滿意了吧。腦海里面瞬間想起了王力宏那首《美》郊艘，查了一下荷科，原來(lái)歌詞里Mei這個(gè)音重復(fù)的次數(shù)都是1，2纱注，3畏浆，5。原來(lái)歌聲中也能發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的美狞贱】袒瘢可能你還納悶，美女甩頭跟斐波那契數(shù)列有什么關(guān)系瞎嬉？其實(shí)蝎毡，在數(shù)學(xué)上厚柳，這稱為斐波那契螺旋線，比如向日葵沐兵，颶風(fēng)圖别垮，還有宇宙星云圖中都會(huì)看到類似的軌跡，而這個(gè)軌跡中隱藏著這個(gè)數(shù)列扎谎。如下圖碳想，脖子不要拉傷。

終于你相信毁靶，自然的美胧奔，總能找到斐波那契數(shù)列的規(guī)律了，可這里面的數(shù)學(xué)原理又是什么呢预吆？”打破砂鍋問(wèn)到底”是一個(gè)好的態(tài)度龙填。你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，美女那么多拐叉，看多了會(huì)審美疲勞岩遗，會(huì)覺(jué)得都是一個(gè)模子出來(lái)的。而丑的話卻各有千秋巷嚣？這TMD也是數(shù)學(xué)管的喘先？恩，你可能知道我要說(shuō)什么了——黃金分割廷粒。

早在古希臘，就有人發(fā)現(xiàn)了黃金分割红且，似乎在1.618這個(gè)比例是最美的坝茎，建筑物的比例，雕塑的比例暇番，然后再到美女的比例嗤放，都在這個(gè)值的區(qū)間內(nèi)。這也就解釋美女為什么看上去都差不多的原因壁酬。實(shí)際上次酌，黃金分割和斐波那契數(shù)列本質(zhì)上是一種概念的兩種外在形式。下圖是七位數(shù)的斐波那契數(shù)列舆乔，我們讓相鄰的兩個(gè)分別相除岳服，則會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)字越大希俩，這個(gè)值越接近黃金分割值吊宋。

在極限的情況下，我們認(rèn)為相鄰兩個(gè)元素的商等于黃金分割值颜武，我們假設(shè)值為△璃搜，則有如下等式：

而該數(shù)列又滿足X(n) = X(n-1) + X(n-2),我們替換X(n)后拖吼，等式轉(zhuǎn)換為：

是不是一切都明了了，我們把X(n-1)/X(n-2)記為△这吻，則X(n-2)/X(n-1)則是它的倒數(shù)1/△,這樣吊档，該等式就是△（黃金分割值）的一元二次方程1 + 1/△ = △:

套用二次方程公式

，我們可以得到△ =(1 + √5)/2，約等于1.618翘地。終于堡距，我們用數(shù)學(xué)，證明了這個(gè)美的存在和公式下的數(shù)學(xué)之美拒名。

其實(shí)，這不是斐波那契數(shù)列的全部芋酌，數(shù)學(xué)家并不甘于到此為止增显，而是進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)了更本質(zhì)的規(guī)律，只要數(shù)列滿足X(n) = X(n-1) + X(n-2)脐帝，無(wú)論前兩個(gè)值是多少同云，都滿足黃金分割的條件，這就是Brady Number堵腹。而斐波那契數(shù)列是最簡(jiǎn)單的特例：前兩個(gè)元素均為1

再后來(lái)炸站，數(shù)學(xué)家還發(fā)現(xiàn)了費(fèi)馬大定理和這個(gè)數(shù)列的關(guān)系(費(fèi)馬大定理的證明歷時(shí)三百五十年)，并應(yīng)用到諸多領(lǐng)域（比如加密）疚顷。你會(huì)發(fā)現(xiàn)旱易，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并不只是為了考試，雖然數(shù)學(xué)的美是隱蔽的腿堤，也是純粹的阀坏，永恒的。

如果這篇文章讓你感受到了一絲數(shù)學(xué)之美的話笆檀，我只想說(shuō)忌堂，分享也是一種美：）