前言——主要內(nèi)容
這篇筆記的主要內(nèi)容是StatQuest視頻教程的第29與30尤揣，第29的內(nèi)容是比值比（Odds）與比值比的log轉(zhuǎn)換（LogOdds）颂碘。第30的內(nèi)容是oddo ratio。
ratio與rate的區(qū)別
原視頻中有幾個術(shù)語比較容易混淆，下面是幾個英文的注釋。
ratio：譯為“相對比”，通常簡稱為“比”抵窒，是指一個數(shù)字與另外一個數(shù)字的比值，它可以是兩個有關(guān)的同類指標(biāo)之比叠骑，也可以是不同性質(zhì)的指標(biāo)之比李皇，常以倍數(shù)或百分數(shù)來表示，如下所示：
這里的甲、乙指標(biāo)值可以是絕對數(shù)掉房、相對數(shù)或平均數(shù)等茧跋。我們看下面的一個表：
| 某地區(qū)某年居民鉤蟲感染人數(shù) | ||
|---|---|---|
| 年齡組/歲 | 檢查人數(shù) | 感染人數(shù) |
| 0-14 | 453 | 48 |
| 15-49 | 824 | 78 |
| 50及以上 | 206 | 18 |
| 合計 | 1483 | 144 |
這個表示中，0-14歲組與15-49歲組鉤蟲感染人數(shù)相對比為48/78X100%=61.54%卓囚，0-14歲組與15-49歲組鉤蟲感染率的相對比為10.60%/9.47%=1.12（倍）瘾杭。
rate：對應(yīng)的中文翻譯是“率”，率是一個具有時間概率的比哪亿，用于說明在某一時期內(nèi)某個現(xiàn)象發(fā)生的頻率或旨度粥烁。某事件在某時間的發(fā)生率為表示為：
率常以百分率（%）、千分率蝇棉、萬分率（1/萬）讨阻、十萬分率（1/10萬）等表示，在用率的指標(biāo)時篡殷，應(yīng)說明觀察時時期的時間單位钝吮。常用的率有生存率、發(fā)病率贴唇。例如2000年初搀绣，在某地區(qū)調(diào)查了1000名60歲以上的老人飞袋，經(jīng)檢查發(fā)現(xiàn)戳气，有80人患糖尿病。在2001年初隨訪這1000名60歲以上的老人巧鸭，并進行體驗瓶您，發(fā)生其中有95名老人患有糖尿病，那么糖尿病的發(fā)病率為：
也就是說纲仍，這個地區(qū)60歲以上的老人在2000年的糖尿病發(fā)病率為1.63%呀袱。
——上述內(nèi)容引用自《醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué)及SAS應(yīng)用》（王炳順.2014）
odds與odds ratio翻譯的區(qū)別
odds與odds ratio這兩個詞容易弄混，后來找了一本書（顏虹. 醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué).第2版[M]. 人民衛(wèi)生出版社, 2010.）郑叠，根據(jù)書里的翻譯如下：
odds：翻譯為優(yōu)勢比或比數(shù)或比值夜赵，在不同的情況下，可以譯成不同的名稱乡革，例如在比賽時寇僧，可以譯為“勝算”，在賭博時沸版，也可以譯為“勝率”嘁傀，在疾病方面，也可以譯為“風(fēng)險”视粮。為了方便理解與描述细办，后文中我會在括號中注明。
odds ratio：翻譯為比數(shù)比或比值比蕾殴。
后文會詳細講這兩個術(shù)語的區(qū)別笑撞，為了避免搞混淆岛啸，此篇筆記都會使用中英文來描述比數(shù)和比數(shù)比。
odds
關(guān)于比數(shù)（odds）茴肥，我們先舉一個例子值戳。
你或許這么說過，“我支持的球隊踢贏的概率可能是1:4”炉爆。這里暗含的意思就是有5場比賽堕虹，其中我的支持的球隊會贏1場（下圖藍點所示），會輸4場（下圖紅點所示）芬首，如下所示：
那么此時我們使用比數(shù)（odds）來表示1:4赴捞，我們也可以說是1/4，如下所示：
計算一下郁稍，就是0.25赦政。也就是說我支持的球隊贏的勝算是0.25（注：odds在這里譯為了勝算，因為我覺得在球賽這種場合使用比數(shù)比較不太合適耀怜，這里可以理解為“勝算”）恢着。
再把這個案例修改一下，如果我支持的球隊贏得比賽的勝算（odds）是5:3财破，那么實際上暗示會有8場比賽掰派，在這8場比賽中，我支持的球隊會贏5場（藍點所示）左痢，如下所示：
因此球隊贏的勝算（odds）就是5/3靡羡，如下所示：
計算結(jié)果就是1.7。我們可以說我支持的球隊贏的勝算（odds）是1.7俊性。
需要注意的是略步，比數(shù)（odds，這里又切換到了統(tǒng)計學(xué)術(shù)語）與概率（probability）不同定页，比數(shù)（odds）指的是某些發(fā)生的事情與不發(fā)生的事情的比值趟薄，那么在這個案例中，比數(shù)（odds）的計算就是贏的事件數(shù)目（藍色點）除以輸?shù)氖录?shù)目（紅色點）如下所示：
而概率（probability）則指的發(fā)生的事情數(shù)目（藍色點）除以所有的事件數(shù)目（贏的（藍色點）和輸?shù)模t色點））典徊，如下所示：
因此杭煎，在前文中介紹的案例里，贏的比數(shù)就是5比3宫峦，也就是1.7岔帽，如下所示：
而贏的概率則是5/8，也就是0.625导绷，如下所示：
此時我們就理解了比數(shù)（odds）與概率（probability）的區(qū)別犀勒。
此時我們看一下如何從概率（probability）中計算比值比（odds）。在上個案例中，我們看到了贾费，贏的比數(shù)（odds）為1.7钦购，概率為0.625，我們還可以計算一下輸入的概率褂萧，也就是3/8=0.375押桃。其實也就是1-贏的概率=1-5/8=3/8=0.375，如下所示：
此時我們用贏的概率除以輸?shù)母怕实加蹋缦滤荆?/p>
計算后唱凯，如下所示：
上述講了兩種計算比數(shù)（odds）的方式，一種是根據(jù)事件數(shù)目計算谎痢，一種是根據(jù)概率計算磕昼。但經(jīng)常使用的是則是第二種，如下所示：
log odds
再回到最初的案例节猿，也就是我支持的球隊在5場比賽中票从，可能贏1場的那個案例，它的比數(shù)（odds）計算如下所示：
如果我支持的球隊表現(xiàn)更差滨嘱，勝算（odds峰鄙，就是比數(shù)，我是為了方便描述比賽）為1:8太雨，那么就是下面的情況：
如果我支持的球隊表現(xiàn)再差吟榴，假設(shè)勝算（odds）為1:16，那么就是下面的情況：
或者還差呢躺彬，比如1:32煤墙，這基本上就接近0了梅惯，如下所示：
我們再假設(shè)一下宪拥，我支持的球隊很好，有可能踢個4:3铣减，或1.3她君，也就是下面的樣子：
如果還好，比如8:3（或2.7）葫哗，如下所示：
如果非常好缔刹，例如32:3（或者說是10.7），如下所示：
在這個案例中劣针，我們知道校镐，最初球隊的勝算（odds，比數(shù)）是1捺典，然后上下波動鸟廓，差的時候，是從很小的值（基本上接近于0了）到1，如果很好的時候引谜，則是從1到很大牍陌。此時，我們把這個比數(shù)（odds）放到一個數(shù)軸上表示员咽，如下所示：
紅色的箭頭表示的就是球隊比較差的時候毒涧，輸?shù)膭偎悖╫dds，比數(shù)）贝室，如下所示：
藍色的則相反契讲，表示的是球隊贏的勝算（odds，比數(shù)）滑频，如下所示：
但是怀泊，這個數(shù)軸不太直觀，因為紅色與藍色不對稱误趴，比較起來不方便霹琼，如下所示：
例如，如果勝算（odds）是1比6的話凉当，也就是說1/6=0.17枣申，它就在下面的這個位置：
如果勝算（odds，比數(shù)）是6比1的話看杭，也就是6/1=6，它就在很遠處模孩，如下所示：
但是這些比數(shù)（odds）的程度都比較類似（一個是1比6块茁，一個是6比1）佩耳，但是區(qū)別很大答恶，如下所示：
為了方便觀察包竹，我們可以把比數(shù)（odds）進行一個log轉(zhuǎn)換來解決這個問題饵蒂，轉(zhuǎn)換后的數(shù)軸如下所示：
例如渊迁，如果比數(shù)是1:6箱叁，那么經(jīng)過log轉(zhuǎn)換（log(1/6)=log(0.17)=-1.79）則是下面這個樣子：
如果比數(shù)（odds）是6比1孤个，經(jīng)過log轉(zhuǎn)換椒楣，則是下面的這個樣子：
我們通過使用log轉(zhuǎn)換，這兩個相似的值就很對稱了，如下所示：
注：在學(xué)習(xí)統(tǒng)計學(xué)的時候，有時候我們可能看到一個指標(biāo)永品，覺得很奇怪炕桨，但是只要深入其中最根本的原理部分，就會發(fā)現(xiàn)，這有一定的合理性寂殉。
odds深入
在我們剛涉及比數(shù)（odds）時秽浇，是按事件數(shù)目計算的斑举，接著我們又按概率進行了計算沸柔，這兩種方法在本質(zhì)上是相同的，如下所示：
最后我們又涉及了比數(shù)（odds）的log轉(zhuǎn)換掸读，此時我們需要注意的是更胖，概率的比值（ratio of probabilities）的log轉(zhuǎn)換稱為logit函數(shù)（logit function）梳毙，它是logistic回歸（logistic regression)的基礎(chǔ)婴程，如下所示：
此時我們明白了比數(shù)（odds）和比數(shù)的log轉(zhuǎn)換押逼，那么它有什么用處呢灾搏，看下面的一個案例。在下面的這個案例里，如果隨機選擇一對加起來的值為100的兩個數(shù)字仰冠，然后利用這對數(shù)字計算log(odds)，并且繪制出直方圖蛛株，這個直方圖就比較類似于正態(tài)分布了，如下所示：
添加上正態(tài)分布曲線育拨，就是下面的這個樣子：
使用log(odds)在解決某些統(tǒng)計學(xué)問題方面很有用谨履，尤其是在我們計算贏/輸概率方面，或者是yes/no熬丧，或者是true/false這些情況時（我覺得這與二項分布有些類似笋粟，以后補一下）。
最后析蝴，我們需要注意的是比數(shù)（odds）雖然是一個比率（ratio）害捕，但它與比數(shù)比（odds ratio）是不同的，至于有哪些不同闷畸，后文會提到尝盼。
odds ratio
當(dāng)我們說比數(shù)（odds）的時候，我們僅指兩個事件發(fā)生的比（ratio）的比值佑菩，還以前面的案例為例說明盾沫，例如比數(shù)（odds）我們指的是我支持的球隊獲勝的比（ratio）除以我支持的球隊失敗的比例，如下所示：
我們用圖型表示就是下面的這個樣子殿漠，藍色圓形表示贏赴精，如下所示：
紅色圓形表示輸，如下所示：
那么我支持的球隊贏的比數(shù)（odds）就是藍色的圓形除以紅色的圓形绞幌，如下所示：
此時蕾哟，我們計算一下圓形的數(shù)目，就可以計算出比數(shù)（odds），如下所示：
此時需要注意的是谭确，即使比數(shù)（odds）是一個比（ratio）帘营，它也不是人們所謂的比數(shù)比（odds ratio），如下所示：
當(dāng)人們說比數(shù)比（odds ratio）的時候琼富，事實上他們是在說比數(shù)的比（ratio of odds）（這幾個術(shù)語很拗口仪吧，為了避免混淆庄新，我都會在括號時注明英文）鞠眉，分子與分母都是一個比數(shù)（odds），如下所示：
計算可得0.17择诈，如下所示：
就像我們計算某件事情的比數(shù)（odds）時械蹋，如果分母比分子大很多，那么比數(shù)比（odds ratio）就位于0到1這個區(qū)間上羞芍，如下所示：
相反哗戈，如果分子很大，分母很小荷科，那么比數(shù)比（odds ratio）就位于1到極大這個區(qū)間上唯咬，如下所示：
與比數(shù)（odds）類似，我們也可以把比數(shù)比（odds ratio）進行l(wèi)og轉(zhuǎn)換畏浆，讓它們看起來比較對稱胆胰，如下所示：
例如，比數(shù)比（odds ratio）為(2/4)/(3/1)刻获，進行l(wèi)og轉(zhuǎn)換蜀涨，即log(odds ratio)=-1.79，比數(shù)比（odds ratio）為(3/1)/(2/4)蝎毡，進行l(wèi)og轉(zhuǎn)換厚柳，即log(odds ratio)=1.79，如下所示：
此時我們就得到了轉(zhuǎn)換后的比數(shù)比（odds ratio）沐兵，如下所示：
odds ratio案例
此時别垮，我們看一個案例，Has cancer表示得癌癥的情況扎谎，Yes是得碳想，No是不得，Has the mutated gene表示含有突變基因的情況簿透，Yes是含有突變基因移袍，No是不含突變基因，如下所示：
方框中的數(shù)據(jù)是356個（356=23+117+6+210）老充，其中葡盗，我們從是否得癌癥的角度來看，29個人得癌癥（29=23+3），327人不得癌癥（327=117+210）觅够，我們從是否含有突變基因的角度來看胶背，含有突變基因的人數(shù)是140（140=23+117），不含突變基因的人數(shù)是216（216=6+210）喘先。
此時钳吟，我們可以使用比數(shù)比（odds ratio）來研究突變基因與癌癥之間的關(guān)系，如果一個人含有突變基因窘拯，那么它得病癥的風(fēng)險（odds红且，比數(shù)）有多高？如下所示：
如果一個人含有突變基因涤姊，那么他得癌癥的的風(fēng)險（odds）為23/117暇番，如果一個人不含突變基因，那么他得癌癥的風(fēng)險就是6/210思喊，此時我們把23/117放在分子上壁酬，把6/210放在分母上，如下所示：
它們整體上被稱為比數(shù)比（odds ratio）恨课，如下所示：
經(jīng)計算舆乔，可得比數(shù)比（odds ratio）為6.88，這個數(shù)字告訴我們剂公，含有突變基因的人得癌癥的風(fēng)險要比不含突變基因的人風(fēng)險高出6.88倍希俩，如下所示：
把6.88進行l(wèi)og轉(zhuǎn)換，就得到了1.93诬留，這個轉(zhuǎn)換的意義類似于線性回歸中的斜纪，它表示的是兩個事件（在這個案例中是突變基因與癌癥的關(guān)系）的關(guān)聯(lián)程度，它們的值反映了事件的效應(yīng)程度（effect size）文兑，如下所示：
當(dāng)這個值很大的時候盒刚，表示突變基因是癌癥的一個很好的指標(biāo)，如果這個值比較小绿贞，那么突變基因就不是癌癥的一個很好指標(biāo)因块，如下所示：
此時還有一個問題，還是與線性回歸中的一樣籍铁，我們要知道涡上，這個值是否有統(tǒng)計學(xué)上的意義，一共有3種方式來計算比數(shù)比（odds ratio）拒名，如下所示：
- Fisher's 精確檢驗
- Chi-Square檢驗
- The Wald檢驗（有人喜歡用這種方法來計算p值與置信區(qū)間）
至于哪種方法好吩愧，目前還沒有一個統(tǒng)計的認識，如下所示：
Fisher精確檢驗
我們先用Fisher精確檢驗來計算增显。
第一步雁佳，我們先把這幾個數(shù)字當(dāng)作是某個袋子中的不同顏色的巧克力豆（注：原視頻說把這些豆子是M&M豆，后來查了一下，這是美國的一個巧克力豆品牌糖权，簡稱為MM豆堵腹，它有各種顏色），得癌癥的用紅色表示星澳，不得的用藍色表示疚顷，如下所示：
第二步，在得癌癥的人中禁偎，數(shù)字是29腿堤，也就是29=26+3，如下所示：
第三步：不得癌癥的人的數(shù)字是327届垫，也就是327=117+210释液，如下所示：
第四步：計算我們抓到23個紅豆和117個藍豆的p值，如下所示：
經(jīng)計算装处，這個p值為0.00001，如下所示：
Chi-square檢驗
我們再用Chi-square來檢驗一下p值浸船，它的原理就是通過比較理論值與真實值之間的差異來計算p值的妄迁。
第一步，我們先假設(shè)突變基因與癌癥沒有關(guān)系李命，如下所示：
第二步：計算整體中得癌癥的概率登淘，在這個數(shù)據(jù)集中，得癌癥的人是29個封字，即29=23+6黔州，那么它除以總的人數(shù)356（356=23+117+6+210）就是得癌癥的概率，如下所示：
第三步：計算不同組中得得癌癥的理論人數(shù)阔籽，以含有這個突變基因的組為例（這個組的人數(shù)是140流妻，即140=23+117），那么這個組中得癌癥的理論人數(shù)應(yīng)該為140 x 0.08 = 11.2笆制，如下所示：
按照同樣的方法绅这，把所有組的理論得癌癥人數(shù)都計算出來，如下所示：
第四步：比較理論值與觀察值在辆，如下所示：
至于有2個p值证薇，這主要是因為卡方檢驗通常是不連續(xù)數(shù)據(jù)，但樣本量足夠大的話匆篓，可以視為連續(xù)數(shù)據(jù)浑度。因此在進行卡方檢驗時，可以使用連續(xù)性校正鸦概，也可以不使用箩张。
Wald檢驗
這種檢驗常常用于計算logistic回歸中的比數(shù)比（odds ratios）的顯示性與置信區(qū)間，如下所示：
Wald檢驗會充分利用log(odds ratios)，它通常是服從正態(tài)分布的伏钠，如下所示：
這個直方圖是由10000個隨機的log(odds ratio)生成的横漏，它告訴我們?nèi)绻蛔兓蚺c癌癥沒有關(guān)系的話，可能的p值大小熟掂，如下所示：
如果要在自己的計算機上繪制這個直方圖缎浇，那么隨機選擇的人的數(shù)目就是300到400。在這個案例中我們計算的步驟如下（Wald檢驗不懂赴肚，我只能照著字面翻譯）：
第一素跺，我們選擇的是325（數(shù)字位于300到400之間）；
第二誉券，針對每個樣本選擇一個0到1之間的隨機數(shù)指厌，例如0.01，0.73踊跟，0.95踩验；
第三，小于0.08的那些隨機數(shù)就是得樣本得癌癥的概率商玫，例如箕憾，17除以325就是0.05，小于0.08拳昌；
第四袭异，為每個樣本再挑選1個位于0到1之間的隨機數(shù)字；
第五炬藤，小于0.05的那些隨機數(shù)字就是含有突變基因的人數(shù)御铃。
至少，我們會得到一個矩陣沈矿，這個矩陣中的值和基因與癌癥之間的關(guān)系無關(guān)上真，下面主是這個矩陣，如下所示：
??细睡，計算log(odds ratio)谷羞，做10000萬次，然后繪制出直方圖溜徙，如下所示：
這個直方圖的正態(tài)分布曲線如下所示：
在x=0處湃缎，log(odds ratio)=0，它表示不同組之間的比數(shù)（odds）沒有差異蠢壹，這個正態(tài)分布的標(biāo)準差為0.43嗓违，如下所示：
通常使用觀測值來估計標(biāo)準差，如下所示：
計算過程如下所示：
最終結(jié)果是0.47图贸，如下所示：
我們可以發(fā)現(xiàn)蹂季，這個0.47與0.43還是比較接近的冕广。
Wald檢驗所做的就是觀測值的log(odds ratio)距離0有多少個標(biāo)準差，如下所示：
由于Wald檢驗通常使用估計的標(biāo)準差（這里就是0.47）偿洁，那么我們使用一個中心為0撒汉，標(biāo)準差為0.47的正態(tài)分布區(qū)曲線來替換原來的直方圖，如下所示：
此時計算一下觀測值的log(odds ratio)涕滋，如下所示：
計算可得log(odds ratio)=1.93睬辐，它位于曲線的右側(cè)部分，如下所示：
此時我們計算一個這個值距離0有幾個標(biāo)準差宾肺，我們只用它除以標(biāo)準差即可溯饵，如下所示：
經(jīng)計算可得，觀測值的log(odds ratio)距離0有4.11個標(biāo)準差锨用，如下所示：
按照我們平時的計算規(guī)則丰刊，通常偏離2個標(biāo)準差的p值會小于0.05，那么此時我們就可以知道log(odds ratio)在統(tǒng)計學(xué)上的顯著的增拥，如下所示：
不過啄巧，為了得到一個精確的雙尾檢驗的p值，我們可以求出大于1.93以及小于-的.93的曲線下面積跪者，如下所示：
不過上述是傳統(tǒng)的棵帽，利用標(biāo)準正態(tài)曲線計算的方式，如下所示：
利用這種方法就意味著渣玲，大于4.11以及小于-4.11的曲線下面積的點都加在了一起，其中4.11是log(odds ratio)離均值標(biāo)準差的數(shù)目弟晚，如下所示：
最終我們計算的結(jié)果就是忘衍，突變基因與癌癥之間沒有關(guān)系的p值是0.00005，如下所示：
三種方法總結(jié)
前面我們使用了3種方法來計算p值卿城，當(dāng)我們生成10000個隨機的log(odds ratios)時枚钓，我們分別使用這3種方法來檢驗，如果檢驗符合預(yù)期瑟押，那么有5%的可能性p值是小于0.05的搀捷，如下所示：
從這三種方法的計算結(jié)果來看，它們在限制p值方面都表現(xiàn)得很好多望，因此你所做的就是找出你自己專業(yè)領(lǐng)域中最常用的方法嫩舟。就作者個人的看法，如果都能通過所有的檢驗怀偷，那么他會選擇一個在邊界上的p值家厌。
總結(jié)
比數(shù)比（odds ratio）就是比數(shù)（odds）的比，如下所示：
log(odds ratio)就是odds ratio進行l(wèi)og轉(zhuǎn)換椎工，如下所示：
比數(shù)比（odds ratio）會告訴我們兩件事情之間的聯(lián)系饭于，例如有某種突變基因的人是否會增加其得癌癥的風(fēng)險（odds）蜀踏，如下所示：
有三種方法來計算兩個事件之間的p值，分別為Fisher精確檢驗掰吕，Chi-Square檢驗果覆，Wald檢驗，在前面的案例中殖熟，這3個檢驗得到的p值如下所示：
