視頻來源：線性代數(shù)的本質(zhì)
1. 點積究竟是什么？
與
相乘拴曲，幾何意義是：
在
上投影的長度
的長度井仰。
- 當兩個向量方向大致相同時浅缸，點積結(jié)果為正
- 當兩個向量方向垂直，點積結(jié)果為0
當兩個向量方向大致相反学搜，點積結(jié)果為負
點積（對應坐標相乘）與向量之間投影有毛線關(guān)系？
的直觀理解：二維平面中，
和
被變換之后讨勤，可以用一維中的一條線來表示。：在數(shù)軸上表示為
此時晨另，我們把這條直線放在二維平面中潭千，然后找一個向量，與這條直線完全重合借尿，這個時候刨晴，二維空間中的基向量，在上的投影 = 在基向量上的投影路翻。
在與向量相乘后狈癞，
注意：不管任何一個二維到一維的線性變換，都能夠在二維空間中找到一個與之對應的向量茂契。這個向量的目的：是把2 * 1維的向量（
）亿驾，都變成一個數(shù)。
2. 叉積究竟是什么账嚎？
前面提到過莫瞬，行列式可以度量兩個向量面積增大或減少的比例（跟基向量相比）儡蔓。兩個三維向量和
生成一個新的三維向量
。
的長度疼邀，就是
和
圍成平行四邊形的面積喂江，方向需要根據(jù)右手定則來確定。
叉積的運算法則
3. 基變換旁振？
可以這么看获询，同樣在一個空間維度中（在同一個地球上），不同的基就相當于說不同語言的人（中文拐袜、英語）有一天吉嚣，Bill想認識一個女孩，于是問你該怎么辦蹬铺。
- 目標向量左乘基變換矩陣（他的目的：“我想約她尝哆，我要怎么辦”：翻譯成中文===用我們的語言描述他的基向量，此時的結(jié)果是表達同樣的意思甜攀，但是是用我們的語言描述的）
- 第一步結(jié)果左乘線性變換矩陣（你了解后：提供建議）
- 第二步結(jié)果左乘基變換矩陣的逆（你把你的建議翻譯成英文）
4. 特征值與特征向量
前面提到過秋泄，空間中的向量都可以通過基向量進行變換、裁剪得到规阀，那么恒序，一個向量在變換和裁剪的過程中，基向量所張成的空間其實或多或少都發(fā)生了改變谁撼，然而歧胁，有一些很皮的向量，仍然留在他們原來張成的空間中厉碟，這些很皮的向量与帆，就稱作為：特征向量，每個特征向量都有一個所屬的值墨榄，被稱為“特征值”玄糟。
特征值的大白話解釋：其實就是**衡量特征向量在變換中拉伸或者壓縮比例的因子。
在三維空間中袄秩，如果向量張成的空間（一個立體物體）阵翎，在變換過程中按照某個值旋轉(zhuǎn)了，那么之剧，旋轉(zhuǎn)的軸就是特征向量郭卫。
特征向量與特征值的計算公式
當為零向量時，本身沒有任何幫助背稼，因此贰军，我們需要當
為非零向量時，使
與之相乘為
。即词疼，要求
能夠?qū)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Coverrightarrow%7Bv%7D" alt="\overrightarrow{v}" mathimg="1">實行降維俯树，若要降維，則需要其對應的行列式為0
需要注意的一點是：有幾個特征值贰盗，不代表有幾個特征向量许饿。
特征值為1，特征向量對應一條舵盈。但是陋率，若
特征值為2，但是特征向量卻不止一條秽晚，原本空間中所有的向量都是其特征向量瓦糟。
對角矩陣
如果你足夠幸運，你的矩陣為對角矩陣赴蝇，like this：菩浙。那么，對角線上的每一個元素都是特征值扯再，為什么？因為在原本的空間中址遇，基向量本身就是特征向量熄阻，你只是將原本的坐標軸進行了拉伸或者壓縮，并沒有進行剪切倔约，因此秃殉，基向量還是原來的基向量。
5. 抽象向量空間
線性的定義：
怎樣把一堆多項式浸剩，轉(zhuǎn)換到空間中钾军？
注意上圖中基函數(shù)的定義
