線性空間歸納

8.4復(fù)線性空間 $\mathbb{C}^n$ , $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ,存在 $\alpha\in\mathbb{C^n}$ 使得 $\alpha,A\alpha,\ldots,A^{n-1}\alpha$ 線性無關(guān)我磁，若 $\lambda_0$ 是 $A$ 的特征值孽文，證明： $dimV_{\lambda_0}=1$
提示：以 $\alpha,A\alpha,\ldots,A^{n-1}\alpha$ 為一組基，記為矩陣 $T$ 那么 $AT=T\left(\begin{array}{ccccc} 0&0&\ldots&0&k_0\\ 1&0&\ldots&0&k_1\\ 0&1&\ldots&0&k_2\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ 0&0&\ldots&1&k_{n-1}\end{array}\right)=TB$ 那么 $A,B$ 相似夺艰，即 $\lambda_0$ 也是 $B$ 特征值芋哭，從而 $|\lambda_0E-B|=0$ 易知 $r(\lambda_0E-B)=n-1$

8.9設(shè) $S=\{AB-BA|A,B\in M_n(\mathbb{F})\}$ 證明： $S$ 張成的子空間 $W=span(S)$ 的維數(shù)等于 $n^2-1$ ，并給出它的一個(gè)基郁副。
這個(gè)和跡等于1的空間相等减牺，相當(dāng)?shù)拿?/em>

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