1.4 向量

1.5溶握、向量

一杯缺、平面向量

1、向量基礎(chǔ)知識

向量概念：在數(shù)學(xué)中睡榆，把既有大小萍肆，又有方向的量叫做向量。
判斷一個量是否為向量胀屿，可看該量是否有大小塘揣，是否有方向。
向量與數(shù)量區(qū)別：數(shù)量只有大小宿崭，沒有方向亲铡，可以比較大小；向量既有大小奖蔓，又有方向赞草，且向量之間不能比較大小吆鹤；但向量的模表示長度厨疙，可以比較大小。
向量的表示方法
①有向線段檀头，記作： $\vec {AB}$ ②幾何方法 ③字母表示法轰异，如： $\vec a$ ④坐標(biāo)表示法，記作a=(x,y)
向量的模
向量 $\vec {AB}$ 的大小暑始，也就是有向線段 $\vec {AB}$ 的長度，記作| $\vec {AB}$ |;
$\vec {AB}$ 的取值范圍為[0,+∞]
向量不能比較大小婴削，但向量的模式數(shù)量廊镜，能比較大小。
向量相關(guān)概念
①零向量：長度為0的向量叫做零向量唉俗，記作 $\vec 0$ 嗤朴，零向量與任一向量平行
②單位向量：長度為1個單位長度的向量
③相等向量：長度相等且方向相同的向量
④平行向量：方向相同或相反的非零向量
平行向量與相等向量之間關(guān)系
①平行向量值要求方向相同或相反即可，用有向線段表示平行向量時虫溜，向量所在直線重合或平行
②平行向量要求兩個向量為非零向量雹姊。相等向量沒有這個限制，零向量等于零向量
③借助相等向量衡楞，可以把一組平行向量移動到同一直線上吱雏，因此平行向量也叫共線向量
④平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量
⑤自由向量：一個向量只要不改變它的大小和方向瘾境，它的起點(diǎn)和終點(diǎn)可以隨意平行移動的向量歧杏。高中階段學(xué)習(xí)的就是自由向量。

2迷守、向量的加法

向量的加法是指兩個向量和的運(yùn)算犬绒。和向量仍然是向量，大小和方向與原向量有關(guān)兑凿。
向量加法的三角形法則
向量平移凯力，使得一個向量 $\vec a$ 的終點(diǎn)為另一個向量 $\vec b$ 的起點(diǎn)，即兩個向量首尾相連礼华。作和向量咐鹤，要求從向量 $\vec a$ 的起點(diǎn)指向向量 $\vec b$ 的終點(diǎn)。
向量加法的平行四邊形法則
兩向量平移到同一個起點(diǎn)卓嫂，以兩個向量為鄰邊做平行四邊形慷暂，共同的起點(diǎn)作為向量起點(diǎn)，對角線的另一個端點(diǎn)作為向量的終點(diǎn)。兩向量共線時行瑞，平行四邊形法則不適用奸腺。
需要說明幾點(diǎn)：

①當(dāng)兩個非零向量 $\vec a$ 與 $\vec b$ 不共線時
$\vec a$ + $\vec b$ 的方向與 $\vec a$ ， $\vec b$ 的方向都不同血久，且| $\vec a$ + $\vec b$ |<| $\vec a$ |+| $\vec b$ |
②當(dāng)兩個非零向量 $\vec a$ 與 $\vec b$ 共線時
向量 $\vec a$ 與 $\vec b$ 同向,則| $\vec a$ + $\vec b$ |=| $\vec a$ |+| $\vec b$ |
向量 $\vec a$ 與 $\vec b$ 反向突照，且向量| $\vec a$ |<| $\vec b$ |,此時，向量 $\vec a$ + $\vec b$ 與向量 $\vec b$ 同向氧吐，所以讹蘑，| $\vec a$ + $\vec b$ |=| $\vec b$ |-| $\vec a$ |
綜上可知：|| $\vec b$ |-| $\vec a$ ||≤| $\vec a$ + $\vec b$ |≤| $\vec a$ |+| $\vec b$ |

向量的加法適用加法的交換律和結(jié)合律

3、向量的減法

相反向量
與 $\vec a$ 長度相等方向相反的向量筑舅，叫做a的相反向量記作- $\vec a$
零向量的相反向量仍是零向量
任一向量與和它相反向量的和是零向量
向量減法
向量 $\vec a$ - $\vec b$ 等于向量 $\vec a$ 加上 $\vec b$ 的相反向量- $\vec b$ 座慰，即 $\vec a$ - $\vec b$ = $\vec a$ +(- $\vec b$ )
*向量減法的作圖法
參考向量加法的三角形法則和平行四邊形法則

4、向量的數(shù)乘

概念：我們規(guī)定實(shí)數(shù) $\lambda$ 與向量a的積是一個向量翠拣，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘版仔，記作 $\lambda$ a，它的長度與方向規(guī)定如下：
①|(zhì) $\lambda$ a| = | $\lambda$ | |a|
②當(dāng) $\lambda$ >0時误墓， $\lambda$ a的方向與a的方向相同
當(dāng) $\lambda$ <0時蛮粮， $\lambda$ a的方向與a的方向相反
當(dāng) $\lambda$ =0時， $\lambda$ a=0
向量數(shù)乘滿足結(jié)合律和分配律
向量數(shù)乘幾何意義
把向量 $\vec a$ 擴(kuò)大或縮小谜慌，同時也可以將 $\vec a$ 改變方向然想，也可以不改變方向，取決于 $\lambda$ 的大小和正負(fù)欣范。
實(shí)數(shù)與向量可以求積变泄，但是不能進(jìn)行加減運(yùn)算，加減運(yùn)算無意義

4熙卡、向量共線平行的條件

如果非零向量 $\vec a$ 與 $\vec b$ 共線杖刷，當(dāng)且僅當(dāng)有一個實(shí)數(shù) $\lambda$ ，使b= $\lambda$ a驳癌。共有兩層含義
①對于向量 $\vec a$ ( $\vec a$ ≠0)滑燃， $\vec b$ ，如果有一個實(shí)數(shù) $\lambda$ 颓鲜，使b= $\lambda$ a表窘，那么向量 $\vec a$ 與 $\vec b$ 共線；
②反過來甜滨，已知 $\vec a$ 與 $\vec b$ 共線乐严，就一定滿足b= $\lambda$ a，具體大小和方向與 $\lambda$ 取值有關(guān)

5衣摩、平面向量的基本定理

如果 $\vec e_1$ , $\vec e_2$ 是同一平面內(nèi)的不共線向量昂验，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 $\vec a$ ,有且只有一對實(shí)數(shù) $\lambda _1$ , $\lambda _2$ ,使得a= $\lambda _1\vec e_1$ + $\lambda _2\vec e_2$ 。我們把不共線的向量 $\vec e_1$ , $\vec e_2$ ，叫做表示這個平面內(nèi)所有向量的一組基底既琴。

6占婉、平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示

正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解甫恩。
坐標(biāo)表示
把直角坐標(biāo)系中的一個向量分解到坐標(biāo)軸的x軸和y軸上逆济，用坐標(biāo)來表示向量的方法。分解后 $\vec a$ =(x,y)

7磺箕、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

加法運(yùn)算
若 $\vec a$ = ( $x_1,y_1$ ), $\vec b$ = ( $x_2,y_2$ ),則 $\vec a$ + $\vec b$ =( $x_1+x_2,y_1+y_2$ )
即兩個向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和
減法運(yùn)算
若 $\vec a$ = ( $x_1,y_1$ ), $\vec b$ = ( $x_2,y_2$ ),則 $\vec a$ - $\vec b$ =( $x_1-x_2,y_1-y_2$ )
即兩個向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差
數(shù)乘運(yùn)算
若 $\vec a$ = ( $x_1,y_1$ )奖慌，則則 $\lambda \vec a$ =( $\lambda x_1,\lambda y_1$ )
即實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。
向量坐標(biāo)的求法
若 $\vec A$ ( $x_1,y_1$ ), $\vec B$ ( $x_2,y_2$ ),則 $\vec {AB}$ =( $x_1-x_2,y_1-y_2$ )
即一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)

通過平面直角坐標(biāo)系表示向量松靡，可以把向量化為有序?qū)崝?shù)對简僧，從而將向量的幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的數(shù)形結(jié)合，從而使幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題击困，進(jìn)行代數(shù)的運(yùn)算即可解決向量的運(yùn)算問題涎劈。

7、平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè) $\vec a$ = ( $x_1,y_1$ ), $\vec b$ = ( $x_2,y_2$ ),其中 $\vec b$ ≠0阅茶，此時
若 $\vec a$ 與 $\vec b$ 共線，則 $x_1y_2-x_2y_1=0$
反之谅海，若 $x_1y_2-x_2y_1=0$ 脸哀，則 $\vec a$ 與 $\vec b$ 共線

8、平面向量共線的數(shù)量積

平面向量的數(shù)量積的定義
①向量的夾角
已知兩個非零向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 扭吁，若 $\vec {OA}=\vec a$ , $\vec {OB}=\vec b$ ,則∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做 $\vec a$ 與 $\vec b$ 的夾角撞蜂。
當(dāng)θ=90°時，即 $\vec a$ 與 $\vec b$ 的夾角是90°侥袜，我們說 $\vec a$ 與 $\vec b$ 垂直蝌诡，記作 $\vec a$ ⊥ $\vec b$
當(dāng)θ=0°時，即 $\vec a$ 與 $\vec b$ 的夾角是0°枫吧，我們說 $\vec a$ 與 $\vec b$ 垂共線浦旱，且同向
當(dāng)θ=180°時，即 $\vec a$ 與 $\vec b$ 的夾角是180°九杂，我們說 $\vec a$ 與 $\vec b$ 共線颁湖，且反向
向量的數(shù)量積
已知兩個非零向量 $\vec a$ 與 $\vec b$ ，θ為 $\vec a$ 與 $\vec b$ 的夾角撩幽，我們把數(shù)量| $\vec a$ | | $\vec b$ |cosθ叫做 $\vec a$ 與 $\vec b$ 的數(shù)量積登澜，記作 $\vec a$ . $\vec b$ 烛谊，即 $\vec a$ . $\vec b$ =| $\vec a$ | | $\vec b$ |cosθ

兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果為數(shù)量镰禾，而不是向量,它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定。

在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時吴侦，一定要注意兩向量夾角的范圍是[0°屋休，180°]

在書寫兩個向量的數(shù)量積時，中間的點(diǎn)不能省略不寫妈倔，比如 $\vec a$ $\vec b$ 這種寫法是錯誤的博投。

向量的投影
數(shù)量積 $\vec a$ . $\vec b$ 等于 $\vec a$ 的長度| $\vec a$ |與 $\vec b$ 在 $\vec a$ 的方向上的投影| $\vec b$ |cosθ的乘積。

9盯蝴、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)

設(shè) $\vec a$ 毅哗、 $\vec b$ 都是非零向量， $\vec e$ 是與 $\vec b$ 方向相同的單位向量捧挺，θ是 $\vec a$ 與 $\vec e$ 的夾角虑绵， $\vec a$ = ( $x_1,y_1$ ), $\vec b$ = ( $x_2,y_2$ ),則
① $\vec e$ . $\vec a$ = $\vec a$ . $\vec e$ =| $\vec a$ |cosθ
② $\vec a$ ⊥ $\vec b$ ? $\vec a$ . $\vec b$ = 0
③當(dāng) $\vec a$ 與 $\vec b$ 同向時， $\vec a$ . $\vec b$ =| $\vec a$ | | $\vec b$ |闽烙；當(dāng) $\vec a$ 與 $\vec b$ 反向時翅睛， $\vec a$ . $\vec b$ =-| $\vec a$ | | $\vec b$ |
④ $\vec a$ . $\vec a$ = $|\vec a|^2$ , $|\vec a|$ = $\sqrt {\vec a.\vec a}$ = $\sqrt {x_1^2+y_1^2}$
⑤cosθ = $\frac{\vec a.\vec b}{|\vec a|.|\vec b|}$ = $\frac{x_1x_2+y_1y_2} {{\sqrt {x_1^2+y_1^2}.\sqrt {x_2^2+y_2^2}}}$
⑥| $\vec a$ . $\vec b$ |≤| $\vec a$ |.| $\vec b$ |

10、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

設(shè)i黑竞，j為x軸捕发、y軸上的單位向量，即i=(1,0),j=(0,1),且 $\vec a$ 很魂、 $\vec b$ 為兩個非零向量扎酷， $\vec a$ = ( $x_1,y_1$ ), $\vec b$ = ( $x_2,y_2$ ),求i.i=1,j.j=1，i.j=j.i=0,由有 $\vec a$ . $\vec b$ =( $x_1i+y_1j$ ).( $x_2i+y_2j$ )= $x_1x_2j^2+x_1y_2i.j+x_2y_1i.j+y_1y_2j^2=x_1x_2+y_1y_2$
也就是說：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和遏匆。

二法挨、空間向量

1、空間向量及其加法與數(shù)乘運(yùn)算

概念
在空間中幅聘，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量凡纳。
相等向量：同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量；
零向量：長度為0的向量
單位向量：模為1的向量
向量加法的幾個重要結(jié)論
①和向量的模滿足
|| $\vec b$ |-| $\vec a$ ||≤| $\vec a$ + $\vec b$ |≤| $\vec a$ |+| $\vec b$ |
當(dāng) $\vec a$ 帝蒿， $\vec b$ 同向時荐糜，右等號成立
當(dāng) $\vec a$ ， $\vec b$ 反向時陵叽，左等號成立
當(dāng) $\vec a$ 狞尔， $\vec b$ 中有零向量時，兩等號同時成立
當(dāng) $\vec a$ 巩掺， $\vec b$ 不共線時偏序，等號都不成立，此時上式的幾何意義是三角形任意一邊小于另兩邊之和胖替，大于另兩邊之差研儒。
②幾個向量相加豫缨，可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相連的向量
即 $\vec {MN}$ = $\vec {MA}$ + $\vec {AB}$ + $\vec {BC}$ + $\vec {CD}$ + $\vec {DN}$
③首尾相連的若干個向量構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為0

2端朵、共線向量和共面向量

共線向量
①定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合好芭，則稱這些向量為共線向量或平行向量， $\vec a$ 平行于 $\vec b$ 冲呢，記作 $\vec a$ // $\vec b$
②共線向量定理
對空間任意兩個向量 $\vec a$ , $\vec a$ ( $\vec a$ ≠0)舍败， $\vec a$ // $\vec b$ 的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使 $\vec a$ =λ $\vec b$
③推論：如果l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知向量 $\vec a$ 的直線敬拓，那么對任一點(diǎn)O邻薯，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿足等式： $\vec {OP}$ = $\vec {OA}$ +t $\vec a$ ,其中向量 $\vec a$ 叫做直線l的方向向量乘凸。
共面向量
①定義：通常我們把平行于同一平面的向量厕诡，叫做共面向量。
②共面向量定理：如果兩個向量 $\vec a$ , $\vec b$ 不共線营勤，則向量 $\vec p$ 與向量 $\vec a$ , $\vec b$ 共面的充要條件是存在唯一的一對一實(shí)數(shù)x灵嫌，y，使 $\vec p$ =x $\vec a$ ,+y $\vec b$
③推論1：空間中的一點(diǎn)p位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x,y),使 $\vec {OP}$ =x $\vec {MA}$ +y $\vec {MB}$ 葛作；或空間內(nèi)任一點(diǎn)O寿羞，有 $\vec {OP}$ = $\vec {OM}$ +x $\vec {MA}$ +y $\vec {MB}$
④推論2：空間中的一點(diǎn)P與不共線的三點(diǎn)A、B赂蠢、C共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使 $\vec {OP}$ =x $\vec {OA}$ +y $\vec {OB}$ ,+z $\vec {OC}$ 且x+y+z=1（其中O為空間任一點(diǎn)）
⑤如果三個不共面的向量 $\vec a$ 稠曼， $\vec b$ ， $\vec c$ 滿足等式 $k_1 \vec a$ + $k_2 \vec b$ + $k_3 \vec c$ =0,那么 $k_1=k_2=k_3$

3客年、空間向量的基本定理

空間向量的基本定理
如果三個向量 $\vec a$ ， $\vec b$ 漠吻， $\vec c$ 不共面量瓜，那么對空間任一向量 $\vec p$ 存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y途乃，z绍傲，使p=x $\vec a$ +y $\vec b$ +z $\vec c$ ,其中{ $\vec a$ ， $\vec b$ 耍共， $\vec c$ }叫做空間的一個基底烫饼， $\vec a$ ， $\vec b$ 试读， $\vec c$ 為基向量杠纵。
推論
設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三個有序是數(shù)組x,y,z钩骇，使 $\vec {0P}$ p=x $\vec {OA}$ +y $\vec {OB}$ +z $\vec {OC}$

4比藻、空間向量的數(shù)量積

夾角的定義
已知兩個非零向量 $\vec a$ 铝量， $\vec b$ ，在空間任取一點(diǎn)o银亲，做 $\vec {OA}$ = $\vec a$ , $\vec {OB}$ = $\vec b$ ,則∠AOB叫做向量 $\vec a$ 慢叨， $\vec b$ 的夾角，記作< $\vec a$ 务蝠， $\vec b$ >
夾角的范圍
空間任意兩個向量的夾角的取值范圍是0≤< $\vec a$ 拍谐， $\vec b$ >≤π
當(dāng)< $\vec a$ ， $\vec b$ >=0時馏段，兩向量同向共線
當(dāng)< $\vec a$ 轩拨， $\vec b$ >=π時，兩向量反向共線
當(dāng)< $\vec a$ 毅弧， $\vec b$ >= $\frac{π} {2}$ 時气嫁，兩向量垂直，記作 $\vec a$ ⊥ $\vec b$
所以够坐，若 $\vec a$ 寸宵， $\vec b$ 共線或平行，則< $\vec a$ 元咙， $\vec b$ >=0或< $\vec a$ 梯影， $\vec b$ >=π。
向量的數(shù)量積
已知空間兩向量 $\vec a$ 庶香， $\vec b$ 甲棍，則| $\vec a$ . $\vec b$ = $\vec a$ || $\vec b$ |.cos< $\vec a$ ， $\vec b$ >
向量數(shù)量積的性質(zhì)
① $\vec a$ . $\vec a$ = $|\vec a |^2$ ,向量自身的數(shù)量積就是本身模的平方
② $\vec a$ . $\vec b$ =的充要條件是 $\vec a$ ⊥ $\vec b$
③兩個非零向量 $\vec a$ 赶掖， $\vec b$ 的夾角可由 $\vec a$ 感猛， $\vec b$ 的數(shù)量積表示
cos< $\vec a$ ， $\vec b$ > = $\frac{\vec a.\vec b}{|\vec a|.|\vec b|}$
④對任意向量 $\vec a$ 奢赂， $\vec b$ 陪白，總有| $\vec a$ . $\vec b$ |≤| $\vec a$ |.| $\vec b$ |，并且只有當(dāng) $\vec a$ // $\vec b$ 時膳灶，等號成立咱士。

5、空間直角坐標(biāo)系

單位正交基底
若空間一個基底的三個基向量互相垂直轧钓，且長都為1序厉，則這個基底叫做單位正交基底，通常用{i,j,k}
空間直角坐標(biāo)系的建立
在空間中選取一點(diǎn)O和一個單位正交基底{i,j,k},以點(diǎn)O為原點(diǎn)毕箍，分別以i弛房，j，k的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：x軸霉晕，y軸庭再，z軸捞奕，建立空間直角坐標(biāo)系O-XYZ,點(diǎn)O為原點(diǎn)，i拄轻，j颅围，k都叫做坐標(biāo)向量。
空間直角坐標(biāo)系的畫法
做空間直角坐標(biāo)系O-xyz恨搓，一般使∠xOy=135°(或45°)院促，∠yOz=90°
向量的坐標(biāo)表示
給定一個空間直角坐標(biāo)系和向量 $\vec a$ ，且設(shè) $\vec i$ 斧抱， $\vec j$ 常拓， $\vec k$ 為坐標(biāo)向量，由空間向量基本定理知辉浦，存在唯一的有序是數(shù)組( $a_1,a_2,a_3$ ),使a= $a_1 \vec i$ + $a_2 \vec j$ + $a_3 \vec k$ ,有序?qū)崝?shù)組( $a_1,a_2,a_3$ )叫做向量 $\vec a$ 在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)弄抬，即 $\vec a$ =( $a_1,a_2,a_3$ ).設(shè)A是空間任一點(diǎn)， $\vec {OA}$ = $x \vec i$ + $y \vec j$ + $z \vec k$ ,則稱（x宪郊，y掂恕，z）稱為點(diǎn)A的空間直角坐標(biāo)。

6弛槐、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

空間向量的坐標(biāo)
一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這兩個向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)懊亡，即若A( $x_1,y_1,z_1$ ),B( $x_2,y_2,z_2$ )
則 $\vec {AB}$ = $\vec {OB}-\vec {OA}$ =( $x_2,y_2,z_2$ )-( $x_1,y_1,z_1$ ) = ( $x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1$ )
空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
設(shè) $\vec a$ =( $x_1,y_1,z_1$ )， $\vec b$ =( $x_2,y_2,z_2$ )則
①|(zhì) $\vec a$ |= $\sqrt {x_1^2+y_1^2+z_1^2}$
② $\vec a$ + $\vec b$ = ( $x_2+x_1,y_2+y_1,z_2+z_1$ )
③ $\vec a$ + $\vec b$ = ( $x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1$ )
④λ $\vec a$ = A( $λx_1,λy_1,λz_1$ )
⑤ $\vec a$ . $\vec b$ = $x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$
空間向量平行（共線）的充要條件
設(shè) $\vec a$ =( $x_1,y_1,z_1$ )乎串， $\vec b$ =( $x_2,y_2,z_2$ )則
$\vec a$ // $\vec b$ ? $x_1$ =λ $x_2$ , $y_1$ =λ $y_2$ , $z_1$ =λ $z_2$
空間向量垂直的充要條件
設(shè) $\vec a$ =( $x_1,y_1,z_1$ )店枣， $\vec b$ =( $x_2,y_2,z_2$ )則
$\vec a$ ⊥ $\vec b$ ? $\vec a$ . $\vec b$ =0? $x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$ =0

7、平面的法向量

已知平面α叹誉，直線l⊥α鸯两，去l的方向向量a，有a⊥α长豁，則稱a為平面α的法向量甩卓。
已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量蕉斜。一個平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時缀棍，可適當(dāng)取篇平面的一個法向量宅此。
一般地，由直線爬范、平面的位置關(guān)系以及直線的方向向量和平面的法向量父腕，可歸納出如下結(jié)論：
設(shè)直線l，m的方向向量分別為a青瀑，b璧亮，平面α萧诫，β的法向量分別為u，v枝嘶，則：
l//m?a//b?a=kb,k∈R
l⊥m?a⊥b?a.b=0
l//α?a⊥u?a.u=0
l⊥α?a//u?a=ku,k∈R
α//β?u//v?u=kv,k∈R
α⊥β?u⊥v?u.v=0

8帘饶、用向量方法判定空間中的平行關(guān)系

空間中的平行關(guān)系是指：線線平行，線面平行群扶，面面平行及刻。

線線平行
設(shè)直線 $l_1,l_2$ 的方向向量分別是 $\vec a$ , $\vec b$ ,則要證明 $l_1//l_2$ ，只需證明 $\vec a$ // $\vec b$ 竞阐，即 $\vec a$ =k $\vec b$ (k∈R)
線面平行
①設(shè)直線l的方向向量為 $\vec a$ 缴饭，平面α的法向量為 $\vec u$ ，則只需證明 $\vec a$ ⊥ $\vec u$ 骆莹，即 $\vec a$ . $\vec u$ =0
②根據(jù)線面平行的判定定理：“如果平面外直線與平面內(nèi)的一條直線平行颗搂，那么這條直線和這個平面平行”，要證明一條直線和一個平面平行幕垦，也可以再平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量時共線向量丢氢。
③根據(jù)共面向量定理可知，如果一個向量和兩個不共線的向量是共面向量那么這個向量與這兩個不共線向量確定的平面必定平行智嚷。因此要證明一條直線和一個平面平行卖丸，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可。
面面平行
①由面面平行的判定定理知盏道，要證明面面平行稍浆，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行，線線平行即可猜嘱。
②若能求出平面α衅枫，β的法向量 $\vec u，\vec v$ 朗伶，則要證明α//β弦撩，只需證明 $\vec u$ // $\vec v$

9、用向量方法判定空間中的垂直關(guān)系

空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直论皆，線面垂直益楼，面面垂直

線線垂直
設(shè)直線 $l_1，l_2$ 的方向向量分別為 $\vec a点晴，\vec b$ 感凤，只需證 $\vec a⊥\vec b$ ，即 $\vec a.\vec b$ =0
線面垂直
①設(shè)直線l的方向向量是 $\vec a$ ,平面α的法向量是 $\vec u$ 粒督，則要證l⊥α陪竿，只需證 $\vec a$ // $\vec u$
②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直
面面垂直
根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直和線線垂直；怎么兩個平面的法向量垂直

10屠橄、利用向量求空間角

求異面直線所成的角
求直線和平面所成的角
求二面角

11族跛、利用向量求空間距離

空間中的距離有：點(diǎn)與點(diǎn)的距離闰挡、點(diǎn)到線的距離、點(diǎn)到面的距離礁哄、線與線的距離长酗、線與面的距離、面與面的距離姐仅。

點(diǎn)面距離的求法
兩異面直線距離的求法
空間中各種距離一般都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距花枫、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距掏膏、其中點(diǎn)點(diǎn)距劳翰、點(diǎn)線距最終都可以用空間向量的模來求解，而點(diǎn)面距則可由平面的法向量來求解馒疹。

12佳簸、求平面法向量的方法與步驟

①選向量：選取兩相交向量 $\vec{AC}$ 、 $\vec{AB}$
②設(shè)坐標(biāo)：設(shè)平面法向量的坐標(biāo)為 $\vec n$ =(x,y,z)
③解方程：解方程 $\vec n$ . $\vec{AC}$ =0, $\vec n$ . $\vec{AB}$ =0
④定結(jié)論：求出向量中的三個坐標(biāo)不是具體的值而是比例關(guān)系颖变，設(shè)定某個坐標(biāo)為非零常數(shù)生均，而得到其它坐標(biāo)。

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