2.17 有限勢阱束縛態(tài) Finite square well bound states

https://www.youtube.com/watch?v=EYhpz1D4C7E&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=30

前言

這一節(jié)我們來講一下有限勢阱的束縛態(tài)

1. 勢能圖像與波函數(shù)圖像

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波函數(shù) $-\frac{\hbar \partial^2}{2m\partial x^2} \psi + V(x) \psi = E \psi$

下面根據(jù)上圖三個(gè)區(qū)域解波函數(shù)通解：

$x<-a$ 箭启，此時(shí)E<V脐往。
$\partial_{xx} \psi = (+) \psi搞莺，\partial_{xx}表示二次導(dǎo)數(shù)大于0，因?yàn)镋 - V <0,而動(dòng)能前面有一個(gè)負(fù)號渊涝，負(fù)負(fù)得正$

$\partial_{xx} \psi = k^2 \psi,其中k=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar},根號下E<0$
這樣可以得到通解如下：

$\psi(x) = A e^{-kx} + B e^{kx}$
根據(jù)波函數(shù)的歸一化條件拗秘，A=0芝囤，(因?yàn)殡S著x減小 $A e^{-kx}$ 趨近于無限大)缰冤。
所以此時(shí)通解如下：
$\psi(x) =B e^{kx}$
$-a<x<a$ ,此時(shí)E>V，令 $V(x)=-V_0$

$\partial_{xx} \psi = (-) \psi扯饶，\partial_{xx}表示二次導(dǎo)數(shù)小于0恒削，因?yàn)镋 - V >0,動(dòng)能前面有一個(gè)負(fù)號，正負(fù)得負(fù)尾序。$
$\partial_{xx} \psi = -l^2 \psi,其中l(wèi)^2=(E+V_0)\frac{2m}{\hbar^2}$
這樣可以得到通解如下：
$\psi(x) = C \sin(lx) + D \cos(lx)$
這點(diǎn)钓丰，本來同樣也可以給出上面一樣通解，只要把k換成常數(shù)l就可以了每币，但是視頻說這里寫成三角函數(shù)會(huì)簡單一些斑粱。我個(gè)人理解，這是因?yàn)樯蠄D中勢阱區(qū)域內(nèi)的波函數(shù)呈現(xiàn)明顯波的形式脯爪，所以可簡化為三角函數(shù)的線性疊加通解
$x>a$ 则北，此時(shí) $E<V$
$\partial_{xx} \psi = (+) \psi矿微，\partial_{xx}表示二次導(dǎo)數(shù)大于0，因?yàn)镋 - V <0,而動(dòng)能前面有一個(gè)負(fù)號尚揣，負(fù)負(fù)得正$

$\partial_{xx} \psi = k^2 \psi,其中k=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar},根號下E<0$
這樣可以得到通解如下：

$\psi(x) = F e^{-kx} + G e^{kx}$
根據(jù)波函數(shù)的歸一化條件涌矢，G=0，(因?yàn)殡S著x增加 $G e^{kx}$ 趨近于無限大)快骗。
所以此時(shí)通解如下：
$\psi(x) =F e^{-kx}$

2. 利用偶函數(shù)和邊界條件求解上述分段波函數(shù)方程

$\psi(x) = \begin{cases} B e^{kx},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x<-a \\ C \sin(lx) + D \cos(lx),-a<x<a \\ F e^{-kx},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x>a \\ \end{cases}$

利用下面三個(gè)條件：

假設(shè)波函數(shù)為偶函數(shù)
$\psi(x) = C \sin(lx) + D \cos(lx)$ 函數(shù)中的C=0娜庇，且B=F
$\psi函數(shù)連續(xù)$
$F e^{-ka} = D cos(la)$
$\partial_x \psi$ 連續(xù)：
$-k F e^{-ka} = -l D \sin(la)$

將上面兩個(gè)公式相除
$\Rightarrow -k = -l \tan(la)$
允許能級（allowed energies)
別忘了，其中 $k=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}方篮，l^2=(E+V_0)\frac{2m}{\hbar^2}$
- $\frac k l = \tan{la}$
- 令 $z=la$
  那么 $z^2= \frac{2ma^2}{\hbar^2} (E+V_0)$
  接下來化簡： $\frac k l = \sqrt{\frac{2mE/\hbar^2}{z^2/a^2}}= ... = \sqrt{\frac{z_0^2}{z^2}-1}$
  其中 $z_0^2 = \frac{2ma^2 V_0}{\hbar^2}$
  最后得到我們的關(guān)系式：
  $\tan(z)= \sqrt{\frac{z_0^2}{z^2}-1}$

3.總結(jié)

上面得到名秀，假設(shè)波函數(shù)為偶函數(shù)：
$k = l \tan(la)$
假設(shè)波函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)：
$k = -l \cot(la)$

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說明：上圖藍(lán)色線為右邊的那條勢阱邊界，紅色為tan函數(shù)藕溅，藍(lán)色為-cot函數(shù)匕得，橫坐標(biāo)為z，縱坐標(biāo)為勢壘高度巾表。藍(lán)色與其他兩條顏色線的交點(diǎn)為方程的解汁掠。

假如勢壘很寬，如上圖所示集币，z0很大的話
$z = \frac{n\pi} z, n = 1,2,3... \Rightarrow E_n + V_0 = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{4 \cdot 2 ma^2}$
如果勢壘非常窄考阱，如下圖所示，此時(shí)至少有一個(gè)束縛態(tài)（交點(diǎn)）

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