從今天開始打算科普一系列我覺得有意思的東西。打算以各種像悖論的東西為主币狠，有數(shù)學(xué)的，邏輯的砾层，物理的以及哲學(xué)的漩绵。比如說羅素悖論里的那個(gè)理發(fā)師究竟應(yīng)該怎么做，『這句話是謊話』到底應(yīng)該怎么理解肛炮，海德格爾的向死而生應(yīng)該怎么理解止吐，到底什么是無窮宝踪，我們用的數(shù)學(xué)會不會有自相矛盾的地方呢，這類的問題碍扔。就是那種讓人看見了會覺得怪怪的然后開始懷疑自己懷疑世界的問題瘩燥。我個(gè)人是十分喜歡這些東西的。我覺得每次無聊的時(shí)候想想這些就會覺得這個(gè)世界還是很新鮮的不同。計(jì)劃至少每周一更吧~

第一個(gè)話題說什么呢厉膀？打算說一個(gè)我最早接觸到的一個(gè)像悖論的東西。我記得當(dāng)時(shí)差不多四年級套鹅，我在上奧數(shù)班站蝠，課間的時(shí)候我同桌給我說，你知道0.99...=1嗎卓鹿？我當(dāng)時(shí)就覺得很懵菱魔，覺得這不太可能智厌，因?yàn)槲矣X得0.99...應(yīng)該是小于1的挡篓，感覺應(yīng)該像是0.99...+0.00...01才應(yīng)該是1，感覺應(yīng)該差一個(gè)很小很小的量篡殷，就是零點(diǎn)之后無窮個(gè)零之后一個(gè)1杰妓，但這個(gè)0.00...01是什么呢藻治？我當(dāng)時(shí)回答不出來。我清楚地記得我同桌告訴我的他姐姐給的證明巷挥。他就先問我桩卵，一個(gè)數(shù)的十倍減去這個(gè)數(shù)是不是就是這個(gè)數(shù)的九倍呀？我說是呀倍宾。然后他問我雏节，那0.99...乘以10再減去它自己是多少呀？我想了想覺得應(yīng)該是9高职，所以0.99...應(yīng)該等于9除以9钩乍，也就是1了。當(dāng)時(shí)我感到十分震驚以及不服氣怔锌，因?yàn)樾r(shí)候的我總覺得這里有詭辯的地方寥粹，比如說，我當(dāng)時(shí)很不明白的是埃元，那那個(gè)很小很小的0.00...01怎么辦呢涝涤？我覺得10乘以0.00...01應(yīng)該是0.00...010，但照我同桌的說法0.00...01乘以10還是它本身亚情，這讓當(dāng)時(shí)的我很費(fèi)解妄痪，總覺得怪怪的。

過了幾天我是怎么說服我自己的呢楞件？我當(dāng)時(shí)的想法是衫生，0.99...不是數(shù)。為什么呢土浸？因?yàn)楫?dāng)時(shí)老師告訴我們一個(gè)數(shù)要么是有理數(shù)要么是無理數(shù)罪针，而0.99...不能寫成分?jǐn)?shù)（其實(shí)我當(dāng)時(shí)也不是很明白為什么不能寫成分?jǐn)?shù)，就是這樣心里勸說自己）黄伊，所以不是有理數(shù)泪酱，同時(shí)它又是個(gè)循環(huán)小數(shù)，所以不是無理數(shù)还最，那看來0.99...不是數(shù)了墓阀，這個(gè)問題問的就沒有意義了。我想到這里的時(shí)候感到了一種解脫拓轻，但隨之而來的問題還是一直困擾著小時(shí)候的我斯撮，那就是它怎么會不是一個(gè)數(shù)呢？我分明都把他寫出來了扶叉。既然這個(gè)數(shù)我寫出來但不是一個(gè)數(shù)勿锅，那我怎么知道我寫出來的其他數(shù)是數(shù)呢？再到了初中我會問自己枣氧，那些無限不循環(huán)的小數(shù)我永遠(yuǎn)都寫不出來溢十，它們怎么叫數(shù)呢？我又怎么才算真正認(rèn)識它們了呢达吞？

這些問題其實(shí)一直伴隨我度過了高中张弛。高中的時(shí)候天天刷題反而不會去想這些不太影響計(jì)算的基礎(chǔ)的問題。只不過偶爾晚自習(xí)上會想起來四年級的奧數(shù)班課間那么尷尬的五分鐘酪劫，覺得自己算的東西怪怪的吞鸭。到底什么是數(shù)都不清楚，我是在干什么呢契耿？我記得大概高一快結(jié)束的時(shí)候我買了一本微積分教科書瞒大，從那里我學(xué)會了怎么用柯西的那套語言來表達(dá)極限，學(xué)會了怎么積分搪桂，怎么看級數(shù)收斂不收斂之類的透敌。到高三的時(shí)候我再想為什么0.99...=1的時(shí)候，我是這么說服我自己的：因?yàn)槿绻麄儾幌嗟鹊脑捥咝担菓?yīng)該就是0.99...小于1了酗电，那么這兩個(gè)數(shù)之間一定還夾著一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)比前者大比后者小内列。因?yàn)樗?小撵术，那么也應(yīng)該是零點(diǎn)多少多少。同時(shí)因?yàn)橹虚g這個(gè)數(shù)不是0.99...话瞧，這個(gè)數(shù)一定會在某一位上和0.99...不一樣嫩与，但這是不可能的寝姿，因?yàn)槟菢拥脑?.99...一定會大于所謂中間這個(gè)數(shù)，矛盾划滋。這一番想法在高中的我看來可以被柯西的那一套極限的語言規(guī)范的寫出來饵筑，我也就心滿意足，對這個(gè)問題的感情上踏實(shí)多了处坪，感覺沒有那么尷尬根资。

但細(xì)細(xì)一想，其實(shí)這并沒有解決我之前提出的一些問題同窘，比如那這個(gè)0.99...到底是有理數(shù)還是無理數(shù)玄帕？我寫不出來的無理數(shù)為什么是個(gè)數(shù)？那些人類永遠(yuǎn)都寫不出來同時(shí)又不像π之類好描述的無理數(shù)為什么存在呢想邦？這些問題在彼時(shí)的我看來就像是這個(gè)世界為什么存在一樣是個(gè)虛無的哲學(xué)問題不值得回答裤纹，我只要安心算好我的導(dǎo)數(shù)大題解析幾何就好了，這個(gè)問題案狠，伴隨著許多我童年的古怪的想法服傍，被高三的一輪又一輪的復(fù)習(xí)和考試差不多碾壓成了粉末飄散在風(fēng)中了。

直到大概高考前的三四月份骂铁，我們班上唯一的一位搞過數(shù)學(xué)競賽的同學(xué)吹零，上課不聽講的時(shí)候開始讀一本我沒見過的新書。我雖然不搞數(shù)學(xué)競賽拉庵，但我一直對相關(guān)的東西很感興趣灿椅，有的競賽題也會做一做，便常會和伊交流钞支。伊手里一本看起來酷酷的新書確實(shí)給我留下很深印象茫蛹。課間問起書名，那是我第一次聽說北大的一系列數(shù)學(xué)小黃皮書烁挟。彼時(shí)伊看的是數(shù)學(xué)分析一婴洼，我很好奇的翻了翻，感覺大致內(nèi)容和我自己讀過的微積分差不多撼嗓，但細(xì)看起來有很多我不明白在干什么的東西柬采，比如，我印象最深的是經(jīng)城揖看見什么閉區(qū)間套幾個(gè)詞粉捻，我當(dāng)時(shí)甚至不明白該怎么斷句。就問這數(shù)分和微積分有什么區(qū)別“呶撸現(xiàn)在想來兩個(gè)普通的高中生很多也都是在瞎扯肩刃，他說了一些我都覺得沒有道理，直到講到他正在看的，戴德金分割盈包。

這是一個(gè)我從來沒聽說過的名詞沸呐，戴德金分割，這聽起來很酷续语，像是武俠小說里的一套招術(shù)垂谢，但不知道是干什么的厦画。是干什么的呢疮茄？現(xiàn)在想想他當(dāng)時(shí)給我講的實(shí)在是不對，不過這也是可以理解的根暑，都是身邊沒有很好的教育資源的高中生嘛力试，能自己湊到一起討論數(shù)分已經(jīng)是精神可嘉了。

話休閑絮排嫌，這個(gè)戴德金分割到底是什么呢畸裳？這就又和我之前說到的數(shù)是什么扯上關(guān)系了。戴德金分割其實(shí)就是用來解釋實(shí)數(shù)是什么的一種方法淳地。之前不是問了嗎怖糊，我們怎么知道那些古怪的無理數(shù)是不是數(shù)呢？比如說颇象，我永遠(yuǎn)寫不完根號二伍伤，那我怎么知道根號二存在呢？這個(gè)問題其實(shí)直接導(dǎo)致了所謂的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)遣钳，當(dāng)古希臘的西帕索斯發(fā)現(xiàn)根號二不可能被寫成兩個(gè)自然數(shù)組成的分?jǐn)?shù)的時(shí)候扰魂，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的同學(xué)們都感到十分震驚，世界上竟然還有如此奇怪的數(shù)蕴茴，就把西帕索斯扔到了大海里劝评，善哉啊善哉。

那么兩千年后的戴德金是怎么幫助西帕索斯的呢倦淀？戴德金其實(shí)是說蒋畜，給定了你們畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的有理數(shù)，現(xiàn)在讓我們來創(chuàng)造實(shí)數(shù)吧~實(shí)數(shù)是什么呢撞叽？是有理數(shù)集合的一個(gè)劃分姻成！什么是一個(gè)集合的劃分呢？通俗的講就是把一個(gè)集合切成兩個(gè)的方法能扒。比如說把世界上所有的小貓和小狗分成所有小貓和所有小狗佣渴，就是對『世界上所有小貓小狗』這個(gè)集合的一個(gè)劃分了。

我知道初斑，這初聽起來像是瘋話--說好的數(shù)呢辛润？把有理數(shù)切成兩半這算個(gè)什么回答蛤。

但這就是數(shù)學(xué)。

通過巧妙的形式上的構(gòu)造來規(guī)避本體論問題砂竖，這大概可以概括那個(gè)時(shí)代許多數(shù)學(xué)家的工作真椿，但這還是后話，如果我能堅(jiān)持寫下去的話乎澄，我們會不停地回到這個(gè)論點(diǎn)上來突硝。

簡單地思考就能告訴我們，這個(gè)構(gòu)造是正確的（比如說切法相同我們得到的數(shù)是唯一的）置济，也是十分有效的解恰。比如說，實(shí)數(shù)里的一個(gè)有理數(shù)是什么呢浙于？戴德金的構(gòu)造告訴我們护盈，應(yīng)該是一種切法。怎么切呢羞酗？最自然的想法就是腐宋，有理數(shù)在哪里就切哪里。比如說檀轨，實(shí)數(shù)里的2.1是什么胸竞，戴德金告訴我們，是把所有有理數(shù)切成小于2.1和大于等于2.1的兩塊這么一種切法参萄；實(shí)數(shù)里的9.9是什么卫枝？是把所有有理數(shù)切成小于9.9和大于等于9.9的兩塊這么一種切法。我們可以同樣的定義這種切法之間的加減乘除拧揽，毫無問題剃盾。最后西帕索斯終于要問了，實(shí)數(shù)里的根號二到底是什么淤袜？這個(gè)時(shí)候我們終于可以回答了痒谴，根號二是有理數(shù)的一種切法，就是把有理數(shù)切成兩塊铡羡，一塊是所有平方之后大于等于根號二的有理數(shù)积蔚，剩下的有理數(shù)都在另一塊里。

這就是根號二了烦周。

『那什么是0.99...呢尽爆？』我內(nèi)心的小學(xué)生一臉不服的地問到，『戴德金读慎，你能切出0.99...嗎漱贱？』

可以，并且可以證出來0.99...=1夭委，怎么說幅狮？其實(shí)就比一下那兩種切法是不是相同了。比如我們看根據(jù)0.99...切出來數(shù)值比較大的那一塊，再比較根據(jù)1切出來數(shù)值比較大的那一塊崇摄，這兩塊一樣嗎擎值？如果不一樣的話只可能1的那塊少一點(diǎn)，但這說明什么逐抑？說明0.99...和1之間還夾著一些有理數(shù)鸠儿，但根據(jù)之前我說的高三時(shí)候的想法，這顯然是不可能的厕氨，證明完畢了进每，給人感覺什么都沒發(fā)生一樣，但問題終于解決了腐巢。

事實(shí)上品追，現(xiàn)在一般教科書上常用的構(gòu)造實(shí)數(shù)的方法有兩種，一種是我們剛說過的戴德金分割冯丙，另一種是根據(jù)柯西序列的等價(jià)類來定義的。我個(gè)人其實(shí)更喜歡第二種遭京，但是要解釋清楚什么是柯西序列會涉及到一些無趣但必要的小細(xì)節(jié)胃惜，寫出來就沒什么意思了。但大致想法就是哪雕，把實(shí)數(shù)定義成一類特殊的有理數(shù)列的等價(jià)類船殉。比如說π就可以被定義為極限和 3，3.14斯嚎，3.1415利虫，3.1415926,...這個(gè)數(shù)列的極限相同的有理數(shù)列的等價(jià)類。這樣的話因?yàn)?.9, 0.99, 0.999, 0.9999,...這個(gè)有理數(shù)列和1, 1, 1, 1, ...這個(gè)有理數(shù)列的極限相同堡僻，我們很自然的就有0.99...和1是同一個(gè)實(shí)數(shù)這個(gè)說法了糠惫。無論如何，為什么0.99...=1以及什么是數(shù)這類的問題終于解決了钉疫。

硼讽。

。

牲阁。

固阁。

。

問題真的解決了嗎城菊？

我們來回憶一下备燃。

Q: 我們剛剛定義的實(shí)數(shù)都是根據(jù)有理數(shù)來的，有理數(shù)是什么凌唬？

A: 這個(gè)我們從小就知道并齐，一個(gè)整數(shù)除以另一個(gè)非零的整數(shù)就得到一個(gè)有理數(shù)。

Q: 除法是什么？整數(shù)又是什么冀膝？

A: 這個(gè)我們小學(xué)就知道唁奢，除法是乘法的逆運(yùn)算，整數(shù)是負(fù)數(shù)和自然數(shù)窝剖。

Q: 乘法是什么麻掸？負(fù)數(shù)是什么？自然數(shù)是什么赐纱？

A: 這個(gè)我們二年級就知道脊奋，三乘二就是三個(gè)二加起來，負(fù)數(shù)就是一些和正數(shù)加起來是零的東西疙描，自然數(shù)诚隙，自然數(shù)就是零一二三四五六七等等等等呀，這是要問什么起胰。

Q: 那么加法是什么久又？以及你還是沒有回答自然數(shù)是什么。

A: 效五。地消。。你把一個(gè)蘋果和兩個(gè)蘋果放在一起就是三個(gè)蘋果畏妖，所以一加二等于三脉执，你數(shù)蘋果用到的數(shù)就是自然數(shù)。

Q: 我不懂你在說什么戒劫，所以加法就是把蘋果放在一起這個(gè)動作嗎半夷？我放梨可以嗎？我放飛機(jī)可以嗎迅细？我放火可以嗎巫橄？以及我數(shù)蘋果的時(shí)候就是可見一定樣式的蘋果然后念出一個(gè)詞語，我念出的那個(gè)詞語可以是很混亂的疯攒，而且天下沒有那么多的蘋果嗦随，所以我把這個(gè)世界上的蘋果數(shù)完就可以得到最大的那個(gè)自然數(shù)嗎？

A: 敬尺。枚尼。。

Q: 一是蘋果嗎砂吞？一百是飛機(jī)嗎署恍？世界上的蘋果最大嗎？

這像是人們一生中偶爾會和自己進(jìn)行的對話蜻直。一是蘋果嗎盯质，一百是飛機(jī)嗎袁串，這問題聽起來深有禪意。實(shí)際上這是弗雷格的邏輯主義會遇到的一個(gè)經(jīng)典的問題呼巷，叫凱撒問題囱修，二是凱撒嗎？這個(gè)看起來荒謬的問題卻在很長一段時(shí)間內(nèi)所有的數(shù)學(xué)家都無法回答王悍。數(shù)到底是什么破镰？老子說道生一，一生二等等压储，這聽起來是在告訴我們自然數(shù)是道所衍生出來介于道和我們這個(gè)世界之間的東西鲜漩。

這種說法其實(shí)和柏拉圖的哲學(xué)恰好重合。我們知道柏拉圖很著名的一種想法就是在我們這個(gè)世界之上還有一個(gè)Form的世界集惋，那個(gè)世界里充滿了各種完美的形式孕似。桌子為什么是桌子？柏拉圖說因?yàn)槲覀冞@個(gè)世界的桌子有了Form世界里那個(gè)桌子的形式刮刑。柏拉圖所向往的本體論的真善美等等都在那個(gè)Form世界里面喉祭。在他的學(xué)說里數(shù)在哪里呢？在柏拉圖看來为朋，在一個(gè)高于我們塵世但是低于Form世界的數(shù)學(xué)王國里面臂拓。所以我們能看見柏拉圖和老子（的一種解說）對數(shù)學(xué)的看法是有些相似的-- 那是一種超越了我們這個(gè)有限而且不完美的塵世的存在。就這樣习寸，他們給了數(shù)學(xué)一個(gè)很美好的本體論。

從古希臘到當(dāng)代傻工，很多很多的哲學(xué)家們都嘗試過給數(shù)學(xué)一個(gè)令人信服的本體論的根本霞溪。比如康德就覺得數(shù)學(xué)是由我們對時(shí)空的直覺來的等等。我讀康德經(jīng)常讀懵中捆，也就不多瞎說了鸯匹。總之?dāng)?shù)的本體是什么泄伪，引得許多哲學(xué)家拋頭顱灑熱血地思考殴蓬。

然而我們說過，通過巧妙的構(gòu)造來規(guī)避本體論蟋滴，是上個(gè)世紀(jì)初一票數(shù)學(xué)家的工作的主旨染厅。這些Form什么的太玄了，看不見摸不著津函，我們怎么具體地知道它的性質(zhì)肖粮？

最開始成功的嘗試來自于皮亞諾。皮亞諾的意思是尔苦，我們先不管數(shù)是什么涩馆，我們先說數(shù)應(yīng)該滿足什么性質(zhì)行施，于是就有了所謂皮亞諾算數(shù)體系，這個(gè)體系里規(guī)定了最基礎(chǔ)的比如一個(gè)東西是另一個(gè)東西的后繼的概念魂那，以及最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)歸納法的概念等等蛾号。有了后繼的概念，我們就可以定義+1涯雅，有了+1我們就可以定義最基礎(chǔ)的加法鲜结，有了加法，就有了最基本的乘法斩芭，然后通過一些數(shù)對的等價(jià)類轻腺，我們就能定義負(fù)數(shù)，減法划乖，分?jǐn)?shù)和除法啦~我們也就有了有理數(shù)啦贬养。

然而，皮亞諾算數(shù)體系只是說了我們有一套這樣的體系琴庵，但有沒有滿足這套體系的東西误算，數(shù)學(xué)家們其實(shí)無法給出回答。如果宇宙中有一群無窮的兔子滿足這套體系的話迷殿，我們說1234的時(shí)候可能說的就是那些兔子儿礼。但如果哪里都沒有滿足這套體系的東西怎么辦？這樣的話千百年來數(shù)學(xué)家們說的是不是都是廢話庆寺？

這回輪到大名鼎鼎的馮諾依曼來通過巧妙的構(gòu)造來規(guī)避本體論了蚊夫。馮諾依曼告訴我們，滿足這個(gè)體系的東西是有的懦尝，這東西是什么呢知纷？說出來可能會讓人失望-- 空集。

定義0為空集陵霉，1為以0為唯一元素的集合琅轧，2為以0和1為元素的集合，等等踊挠。

無窮大生于虛無乍桂。

此中有深意嗎？

也許有效床，但數(shù)學(xué)只能暗示出來那層深意睹酌。

想要挑明了說那層深意，P. Benacerraf告訴我們是行不通的扁凛。他說什么呢忍疾？

他其實(shí)只是注意到了另一個(gè)人對于數(shù)的定義-- 策梅洛。這個(gè)人在大眾眼里可能完全不出名谨朝，但是所有數(shù)學(xué)系出身的同學(xué)們應(yīng)該都對他相當(dāng)熟悉卤妒，他就是ZFC里的那個(gè)Z.

這個(gè)ZFC是什么甥绿？

這是一套公理，給出了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募险摰幕A(chǔ)则披，數(shù)學(xué)的根基共缕。比如他告訴我們至少有一些集合存在，集合的并集還是集合等等士复。

為什么要有這么一套看起來毫無意義的公里體系呢图谷？這些不是自明的嗎？

這其實(shí)又涉及到了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)阱洪，希望以后有機(jī)會詳細(xì)展開寫一寫便贵，這是我很喜歡的一個(gè)話題。簡單來說就是為了回應(yīng)羅素悖論冗荸，排除掉一些奇怪的樸素集合論里的東西承璃，告訴我們在集合論里什么算是一個(gè)合理的句子以及什么不是。

策梅洛還干什么了呢蚌本？

他還給出了數(shù)的另一種定義盔粹。定義零是空集，一是只以零為元素的集合程癌，二是只以一為元素的集合舷嗡，等等等等。我們得到了另一套完整自洽的數(shù)的定義嵌莉。

這個(gè)時(shí)候Benacerraf要問了进萄，數(shù)到底是什么？二到底包不包含零锐峭？按照馮諾依曼那么說二就包含零垮斯，按照策梅洛那么說二就不包含零。

但是柏拉圖告訴我們只祠，二應(yīng)該是在一個(gè)超越了我們這個(gè)世界的一個(gè)數(shù)學(xué)世界里的是在的物體，一也是扰肌，零也是抛寝，一個(gè)物體包不包含另一個(gè)物體怎么會有兩個(gè)互相矛盾的答案呢？

Benacerraf于是說曙旭，柏拉圖錯(cuò)了盗舰。

我們在用數(shù)學(xué)的時(shí)候有時(shí)會假定數(shù)學(xué)物體以某種超越的形式存在，但這無法回答上面的問題桂躏。

Benacerraf說钻趋，數(shù)應(yīng)當(dāng)是結(jié)構(gòu)。這便是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義的最主要的幾個(gè)開山之作之一了〖料埃現(xiàn)代數(shù)學(xué)家的心里大多也就是柏拉圖主義和結(jié)構(gòu)主義兩種感覺交織在一起的蛮位。

結(jié)構(gòu)是什么呢较沪？

顧名思義，結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)是單純的抽象的東西失仁，至少不是像柏拉圖說的那種實(shí)在的超越的東西尸曼。

這在數(shù)學(xué)實(shí)踐上的表現(xiàn)是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的范疇化，什么意思萄焦？之前我們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不是集合論嗎控轿，我們高中第一課就是這么教的對不對？現(xiàn)在我們說拂封，好茬射，ZFC集合論實(shí)際上在邏輯的角度說很好，可以讓我們合理地討論數(shù)學(xué)冒签，但是在抛，當(dāng)我們假定空集存在的時(shí)候，我們總會隱隱約約感覺空集應(yīng)當(dāng)是像某種柏拉圖式的東西一樣存在的镣衡，我們能不用這么一個(gè)柏拉圖式的東西而改用單純的結(jié)構(gòu)嗎霜定？

Lawvere說可以的，用范疇廊鸥。

什么是范疇望浩？范疇這個(gè)詞自康德開始哲學(xué)家們就一直在用，但是數(shù)學(xué)家們用起來已經(jīng)是1950年之后的事情了惰说。數(shù)學(xué)里磨德，一些資料和一些資料間的箭頭就構(gòu)成了一個(gè)范疇。這個(gè)概念里面那些資料是什么完全無所謂吆视，重要的是這些箭頭的關(guān)系典挑。箭頭們之間的關(guān)系是一個(gè)豐富的結(jié)構(gòu)，我們可以再去研究這些結(jié)構(gòu)這間的箭頭組成的結(jié)構(gòu)之間的箭頭組成的結(jié)構(gòu)之間的箭頭...

就像這樣啦吧，Lawvere給出了一個(gè)集合范疇的公理體系您觉，在這里面還是可以定義并集和笛卡爾積，函數(shù)之類的經(jīng)典的集合論的東西授滓，他還給出了我們熟悉的皮亞諾體系和選擇公理在這套集合范疇里長什么樣子琳水，看起來一切都完美了。

還是有一個(gè)小問題般堆，集合范疇里的資料到底是什么在孝？

Lawvere看起來是把最基本的一些映射當(dāng)做了這些資料，可是映射是什么淮摔，Lawvere并沒有給出回答私沮，他只是說映射應(yīng)該是有值域和定義域的，它們又是什么呢和橙？這里把他們處理成值域和定義域上的恒等映射仔燕，所以也就是某種結(jié)構(gòu)了造垛。

但是假定有映射存在總是在某種方面假定了類似于集合的東西存在。

哲學(xué)家Colin McLarty是這樣評價(jià)Lawvere的集合范疇里的那些像是集合的東西的涨享，我來簡單翻譯一下：

『但他認(rèn)為集合是存在的筋搏，沒有這些形式化的東西我們也了解他們，我們能在公理化的這個(gè)過程中學(xué)到很多東西厕隧。這個(gè)集合范疇在數(shù)學(xué)實(shí)踐的整體中客觀地存在著-- 不是在一個(gè)柏拉圖式的天堂奔脐，也不僅僅是某個(gè)個(gè)體的主觀經(jīng)驗(yàn)。這種歷史（辯證）實(shí)在主義在Lawvere的文章之中一以貫之吁讨∷栌』

發(fā)展到了這里其實(shí)已經(jīng)可以和當(dāng)代的數(shù)學(xué)接上軌了，集合范疇的許多性質(zhì)到現(xiàn)在也是一個(gè)活躍的課題建丧。我從四年級奧數(shù)班課間開始的對于什么是數(shù)的探索排龄，歷經(jīng)十年也就走到了這里，但這當(dāng)然不會是終點(diǎn)翎朱。