2016年同等學(xué)力申碩計(jì)算機(jī)綜合試題解析--數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

聲明：題目是我從同學(xué)分享那獲取的，有可能出現(xiàn)抄錯(cuò)題目的情況譬淳。試題解析是本人自己做的徘溢，再根據(jù)教材理論來完成本文編寫景东，符號太多編寫工作量大砂轻，如發(fā)現(xiàn)答案有錯(cuò)誤或者不夠準(zhǔn)確請及時(shí)給我留言討論，如需轉(zhuǎn)載請表明出處斤吐。感謝所有提出意見和建議搔涝，以及幫助過我的朋友。如果覺得還行和措，歡迎點(diǎn)贊轉(zhuǎn)發(fā)庄呈，謝謝！

一派阱、用邏輯符號表達(dá)下列語句（每小題 2 分诬留，共 4 分）?

1. 所有正數(shù)都可以開平方(注：所設(shè)論域均為包含一切事物的集合，下同)。

解析：S(x) : x是數(shù)文兑，P(x) ：x是正數(shù)盒刚，? Q(x)：x 可以開方

$\forall x ( S(x) \land P(x) \rightarrow Q(x))$

2. 沒有最大的自然數(shù)。

解析：S(x) : x是數(shù)绿贞，P(x) ：x是自然數(shù)因块，Q(x,y): y是 x集合中最大的數(shù)

$\forall x ┐\exists y (S(x)\land P(x) \land S(y) \land P(y) \rightarrow Q(x,y))$

二、填空題（第1小題2分籍铁，其他每小題3分涡上，共14分）

1.如果 $\frac{1}{(1-2x)^2} = \sum\nolimits_{k=0}^∞a_{k} x ^k$ ,則 $a_{k}$ =__ $(k+1)2^k$ _____

解析：該題考的是牛頓二項(xiàng)式擴(kuò)展公式。 $\frac{1}{(1-2x)^2} = (1-2x)^{-2} = \sum\nolimits_{k=0}^∞ C_{(n+k-1,k)} 2^k x^k ,(n = 2 )$ , $a_k = C_{(2+k-1,k)} 2^k = C_{(k+1,k)}2^k = (k+1)2^k$

2拒名、n 個(gè)男同學(xué)和 n 個(gè)女同學(xué)參加舞會吩愧，當(dāng)?shù)谝皇孜枨懫饡r(shí)，每個(gè)男同學(xué)要找一位女同學(xué)跳舞靡狞，n 個(gè)男同學(xué)一共有__n!_____種方法選擇女同學(xué)耻警。當(dāng)?shù)诙孜枨懫饡r(shí)，要求每個(gè)人都要更換舞伴甸怕，這時(shí) n 個(gè)男同學(xué)選擇女同學(xué)的方法數(shù)是___ $n!\sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{1}{i!}$ ____

解析：第一空甘穿，考的是n個(gè)那同學(xué)的全排列 $A_n = n!$ ，可以這樣理解梢杭，女生站一排男生站一排一對一温兼，面對面，女生不動武契，男生全排列去是適配募判，因此就是n！種了咒唆；

第二空届垫，根據(jù)題干要求每個(gè)人都更換舞伴，因此考的是完全錯(cuò)排全释， $D_n = n!(1-\frac{1}{1!} +\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}...(-1)^n\frac{1}{n!} ) = n!\sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{1}{i!}$

3装处、設(shè) G 是 n 個(gè)頂點(diǎn)的簡單連同平面圖且每個(gè)面的度數(shù)（也稱次數(shù)）都是 3，則此圖的邊數(shù)是___3n-6__________.

解析：根據(jù)題干中的信息浸船，可以用歐拉公式去解題： v-e+r =2, d/2 = e, 其中 d代表度妄迁，v是點(diǎn)數(shù)，e是邊數(shù)李命，r是面數(shù)登淘。而此題v=n，d=3r封字，代入歐拉公式n-e+r = 2黔州，且 3r/2 = e耍鬓。r=2e/3 ，代入前式得 n-e+2e/3 = 2, 得e = 3n-6辩撑。

4界斜、設(shè) G 是有 n 個(gè)頂點(diǎn)的圈，如果 n 是奇數(shù)合冀，則 G 的正常邊著色數(shù)是______3_______.

解析：根據(jù)【定理】奇圈和奇數(shù)階輪圖都是3-色圖各薇，而偶數(shù)階輪圖都是4-色圖。因此本題為3君躺。

5峭判、設(shè) $a_n$ 滿足的遞推關(guān)系和初始條件分別為 $a_n =3a_{n-1}+1，a_1=2$ 棕叫，則 $a_n$ 的精確表達(dá)式是____ $\frac{5}{2} 3^{n-1} - \frac{1}{2}$ _________.

解析：利用遞推關(guān)系公式求解林螃； $a_n =3a_{n-1}+1, a_{n-1} = 3a_{n-2} +1$ ,兩試相減得到 $a_n - a_{n-1}=3a_{n-1}-3a_{n-2} \Rightarrow a_n - 4a_{n-1}+3a_{n-2}=0.$ 則此遞推關(guān)系的特征方程為 $q^2-4q+3=0 \Leftrightarrow (q-1)(q-3)=0 , q_1 = 1,q_2 = 3.$ 特征根無重復(fù)根，因此該遞推關(guān)系的一般式子為 $H_{(n)} = C_1 q_1^n + C_2 q_2^n$ 俺泣， $a_1=2, a_2=7$ 代入式子中得到 $C_1,C_2$ 的解疗认，即 $C_1 = - \frac{1}{2 } ，C_2 = \frac{5}{6}$ 代入一般式伏钠，因此得横漏， $a_{n} = \frac{5}{2} 3^{n-1} - \frac{1}{2}$

三、計(jì)算題（共 12 分）

1. (3 分) 設(shè)集合 A={1,2} , B={a,b,c} 熟掂。

????? (1)問從 A 到 B 有多少個(gè)單射函數(shù)缎浇。

????? (2)試寫出從 A 到 B 所有非單射的函數(shù)。

解析：（1） |A|=2赴肚，|B|=3素跺，2<3, 則從A到B的單射函數(shù)個(gè)數(shù)為 $A_{(3,2)}=3*2=6$ ,單射函數(shù)可以記為： $f_1 = \{ <1,a>,\},f_2 = \{ ,\},f_3 = \{ ,\}$

$f_4 = \{ <1,b>,\},f_5 = \{ ,\},f_6 = \{ ,\}$

(2) A到B的所有函數(shù)個(gè)數(shù)為 $|B|^{|A|} = 3^2 = 9$ ,單射函數(shù)有6個(gè)，因此剩下還有3個(gè)非單射函數(shù)：

$f_7 = \{ <1,a>,\},f_8 = \{ ,\},f_9 = \{ ,\}$

2. (3 分)已知集合 A={1,2,…,6}上的等價(jià)關(guān)系 R 定義為： R= $I_{A}$ ∪ {<1,5>,<5,1>,<2,3>,<3,2>,<2,6>,<6,2>,<3,6>,<6,3>} 求出由 R 誘導(dǎo)的 A 的劃分(即由 R 的商集誘導(dǎo)的劃分)誉券。

解析：【定理】非空集合S關(guān)于它上面的任何等價(jià)關(guān)系R的商集具有下列特點(diǎn)：S/R ≠ ?指厌；若A∈S/R，則A ≠ ?踊跟；若A踩验，B∈S/R，A≠B琴锭，則A∩B = ?.

【定義】設(shè)A為非空集合晰甚，若存在A的一個(gè)子集族 $A ^ `$ 滿足： $? \notin A ^ `衙传；\cup A ^ ` = A决帖；\forall x,y \in A ^ ` \land x\neq y \rightarrow x \cap y = ?$ , 則稱 $A ^ `$ 是A的一個(gè)劃分， $A ^ `$ 中元素稱為劃分塊蓖捶。

$R=I_{A} ∪ \{<1,5>,,,,,,, \}$ 地回， $A/R = \{\{1,5\},\{2,3,6\},\{4\}\}$

?因此R 誘導(dǎo)的 A 的劃分為 $\{\{1,5\},\{2,3,6\},\{4\}\}$ 。

3. (6 分)已知 A 是由 54 的所有因子組成的集合，設(shè)%為 A 上的整除關(guān)系刻像。

???? (1)畫出偏序集<A畅买，%>的哈斯圖。

???? (2)確定 A 中最長鏈的長度细睡，并按字典序?qū)懗?A 中所有最長的鏈谷羞。

???? (3)A 中元素至少可以劃分成多少個(gè)互不相交的反鏈，并完整寫出這些反鏈溜徙。

解析：（1） 54的整除所有因子集合A = {1湃缎，2，3蠢壹，6嗓违，9，18图贸，27蹂季，54}，哈斯圖如下：

哈斯圖

（2）在哈斯圖中顯示出來最長鏈長度為5疏日，它們分別如下：

$B_1 = \{1,2,6,18,54\} ; B_2 = \{1,3,6,18,54\} ; B_3 = \{1,3,9,18,54\} ; B_4 = \{1,3,9,27,54\} ;$

（3）反鏈的定義 $\forall x \forall y(x \in B \land y \in B \land x \neq y ) \rightarrow$ x與y不可比偿洁。由【定理】設(shè) $<A, \preceq >$ 為一個(gè)偏序集，若A的最長鏈的長度為n制恍，則A存在n個(gè)劃分塊的劃分父能，每個(gè)塊都是反鏈。因此該題有5個(gè)互不相交的反鏈净神，這些反鏈?zhǔn)?b>{{1}何吝，{2，3}鹃唯，{6爱榕，9}，{18坡慌，27}黔酥，{54}}。

四洪橘、解答題（每小題 5 分跪者，共 10 分）

1、求方程 $t_1+t_2+t_3+t_4=20$ 整數(shù)解的個(gè)數(shù)熄求，其中 $t_1$ ≥ 3渣玲，t2 $t_2$ ≥ 1， $t_3$ ≥ 0弟晚， $t_4$ ≥ 5 .

解析：該題主要考察的是組合的母函數(shù)忘衍，解的個(gè)數(shù)即 $x^{20}$ 的系數(shù)逾苫。則本題的母函數(shù)表示如下： $G(x) = (x^3+x^4+x^5+...)(x+x^2+x^3+...)(1+x+x^2+...)(x^5+x^6+x^7+...)$

$= x^3(1+x+x^2+...)x(1+x+x^2+...)(1+x+x^2+...) x^5(1+x+x^2+...)=x^9(1+x+x^2+...)^4 =x^9(1-x)^{-4}$

$=x^9 \sum_{k=0}^ ∞ C_{(4+k-1,k)}x^k =x^9 \sum_{k=0}^ ∞ C_{(3+k,k)}x^k =x^9 \sum_{k=0}^ ∞ C_{(3+k,3)}x^k$ ，要求 $x^{20}$ 的系數(shù)枚钓，即k=20-9=11铅搓， $C_{(14,3)} = \frac{14*13*12}{1* 2*3 } = 364$ ，即解的個(gè)數(shù)為364個(gè)搀捷。

2.設(shè)s={ $∞\cdot 2,∞\cdot 4,∞\cdot 5,∞\cdot 7,∞\cdot 9$ } 是給定的重集星掰，其中2，4嫩舟，5蹋偏，7，9是s中的五個(gè)不同元素至壤，且每個(gè)元素在集合中可以有無窮多威始。設(shè) $h_n$ 表示從s中取n個(gè)元素（可以重復(fù)取）且要求2和4出現(xiàn)偶數(shù)次的排列數(shù)像街，求 $h_n$

解析：該題考的是重集排列問題黎棠，即考指數(shù)型母函數(shù)。母函數(shù)表示如下： $G_{(x)} = (1+\frac{x}{1!} +\frac{x^2 }{2!} +\frac{x^3 }{ 3!} +... ) ^3 (1 +\frac{x^2 }{2!} +\frac{x^4 }{ 4!} +... ) ^2$

$= (e^x) ^3 (\frac{e^x + e^{-x}}{2} ) ^2 = \frac{1}{4} e^{3x}(e^{2x}+ 2 +e^{-2x}) = \frac{1}{4} (e^{5 x}+ 2e^{ 3x } +e^{x})$

$= \frac{1}{4} (e^{5 x}+ 2e^{ 3x } +e^{x})=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^∞(5^k+2*3^k + 1) \frac{x^k}{k!}$

則此時(shí) $a_{n} = \frac { 1 }{ 4 }(5^n + 2*3^n + 1)$ 即該題的排列數(shù)為 $\frac{1}{4}(5^n+2*3^n + 1)$ 镰绎。