1.1-1.2 隨機(jī)現(xiàn)象妓柜、概率的概念與性質(zhì)

第一章 隨機(jī)事件與概率

1.1 隨機(jī)現(xiàn)象與數(shù)據(jù)

確定性現(xiàn)象

  • 什么是確定雀摘?
    • 可重復(fù)驗(yàn)證
  • 什么是必然勋又?
    • 與預(yù)測(cè)相一致

隨機(jī)現(xiàn)象

  • 個(gè)別實(shí)驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)不確定性苦掘,大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象
    • 隨機(jī)就是“不確定”?
    • 真正的“隨機(jī)”是什么樣的楔壤?

概率論 (Theory of Probability):揭示和研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科
統(tǒng)計(jì)學(xué) (Statistics):通過收集鹤啡、整理分析數(shù)據(jù)等手段以達(dá)到推斷預(yù)測(cè)考察對(duì)象本質(zhì)或未來的學(xué)科

數(shù)理統(tǒng)計(jì)為概率論面向?qū)嶋H問題提供聯(lián)系橋梁
概率論為數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法合理性提供理論保證

1.2 隨機(jī)事件


  • 隨機(jī)試驗(yàn):對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀測(cè)
  • 總體:試驗(yàn)中關(guān)心的某個(gè)數(shù)量指標(biāo)
  • 個(gè)體樣品:總體中的某個(gè)具體取值
  • 樣本:從總體中獨(dú)立蹲嚣、重復(fù)地取出的若干樣品递瑰,取出的樣品數(shù)量稱為樣本的容量
  • 基本事件(樣本點(diǎn)):試驗(yàn)產(chǎn)生的基本結(jié)果祟牲,用\omega表示
  • 樣本空間:全體樣本點(diǎn)的集合,用\Omega表示
  • 事件:(滿足一定條件的)樣本點(diǎn)的集合抖部,一般用大寫字母A,B,C,...表示说贝,若試驗(yàn)結(jié)果的樣本點(diǎn)屬于該集合,則稱該事件發(fā)生
  • 事件域\Omega中全體事件構(gòu)成的集合慎颗,記為
    \mathscr { F } = \{ A | A \subset \Omega\}
  • 自行了解如下的概念:平均數(shù)(平均值)乡恕、中位數(shù)眾數(shù)俯萎、方差傲宜、標(biāo)準(zhǔn)差極差夫啊、變異系數(shù)差

例1:擲一個(gè)骰子函卒,觀察得到的點(diǎn)數(shù)
樣本點(diǎn):1,2,3,4,5,6
樣本空間:\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}
事件A_1:出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3,可表示為
A_1=\{1,2,3\}
事件A_2:出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)撇眯,可表示為
A_2=\{2,4,6\}
例2:拋兩個(gè)骰子报嵌,觀察得到的總點(diǎn)數(shù)
樣本點(diǎn):2,3,4,...,12
樣本空間:\Omega=\{2,3,4,...,12\}

例3:拋兩個(gè)骰子,觀察點(diǎn)數(shù)的組合
樣本點(diǎn):(m,n)熊榛,其中m=1,2,...,6,\,n=1,2,...,6
樣本空間:\Omega=\{(m,n)|m=1,2,...,6,\,n=1,2,...,6\}

注意 例2和例3雖然都是擲兩個(gè)骰子沪蓬,但由于觀測(cè)的方式不同,所以是不同的(隨機(jī))試驗(yàn)来候!

例4:試驗(yàn)E:研究某地一段時(shí)間的氣溫變化情況跷叉,連續(xù)觀察3天的日最低氣溫與最高氣溫.
E的樣本空間:
\Omega = \left\{ \left[ \left( t _ { 1 } , T _ { 1 } \right) , \left( t _ { 2 } , T _ { 2 } \right) , \left( t _ { 3 } , T _ { 3 } \right) \right] | t _ { i } , T _ { i } \in \mathbb{R} , t _ { i } \leq T _ { i } , i = 1,2,3 \right\}
事件A“連續(xù)3天氣溫都在28 ^ { \circ } \mathrm { C }36 ^ { \circ } \mathrm { C }之間”
A = \left\{ \left[ \left( t _ { 1 } , T _ { 1 } \right) , \left( t _ { 2 } , T _ { 2 } \right) , \left( t _ { 3 } , T _ { 3 } \right) \right] | 28 \leq t _ { i } \leq T _ { i } \leq 36 , i = 1,2,3 \right\}
事件B“連續(xù)3天最高氣溫超過40 ^ { \circ } \mathrm { C }
B = \left\{ \left[ (t _ { 1 } , T _ { 1 } \right) , \left( t _ { 2 } , T _ { 2 } \right) , \left( t _ { 3 } , T _ { 3 } \right) \right] | t _ { i } \leq T _ { i } , T _ { i } > 40 , i = 1,2,3 \}
有沒有其他的方法來表示以上的兩個(gè)事件?


基本事件:?jiǎn)蝹€(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成的事件营搅,也即\{\omega\}
必然事件:每次試驗(yàn)中都會(huì)發(fā)生的事件云挟,也即\Omega
不可能事件:每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生的事件,也即\Phi(空集)
對(duì)立事件:事件A不發(fā)生的事件转质,記為\overline { A }园欣,顯然
\overline { \Omega } = \Phi, \quad \overline { \Phi } = \Omega, \quad \overline{\overline { A }} = A


事件的關(guān)系與運(yùn)算

  • A \subset B \Leftrightarrow A\text{發(fā)生則}B\text{必發(fā)生}

  • A \cup B = \{ \omega | \omega \in A or \omega \in B \} \Leftrightarrow A,B 至少有一個(gè)會(huì)發(fā)生,稱為事件A,B和事件

  • A \cap B = \{ \omega | \omega \in A and \omega \in B \} \Leftrightarrow A , B 同時(shí)發(fā)生休蟹,稱為事件A,B積事件

    • 有限個(gè)事件的積事件可列個(gè)事件的積事件
      \begin{array} { l } { \bigcap \limits_ { k = 1 } ^ { n } A _ { k } = \{ \omega | \omega \in A _ { k } , k = 1,2 , \cdots , n \} } \\ { \bigcap \limits_ { k = 1 } ^ { \infty } A _ { k } = \{ \omega | \omega \in A _ { k } , k = 1,2 , \cdots \} } \end{array}
  • A - B = \{ \omega | \omega \in A , \omega \notin B \} \Leftrightarrow A發(fā)生但B不發(fā)生沸枯,稱為事件A,B差(事件)

    • 特別地,若A \supset B赂弓,則稱A-B真差
  • A \cap B = \Phi绑榴,則稱A,B互不相容互斥,也即A,B不會(huì)同時(shí)發(fā)生

  • 逆事件(或對(duì)立事件):若
    A \cup B = \Omega\;\text{且}\;A \cap B = \Phi
    或者說
    A = \Omega - B = \overline { B } , \quad B = \Omega - A = \overline { A }

事件的運(yùn)算規(guī)律

  • 交換律A \cup B = B \cup A , \quad A \cap B = B \cap A

  • 結(jié)合律
    \begin{array} { l } { A \cup ( B \cup C ) = ( A \cup B ) \cup C } \\ { A \cap ( B \cap C ) = ( A \cap B ) \cap C } \end{array}

  • 分配律
    \begin{array} { l } { A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B ) \cup ( A \cap C ) } \\ { A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C ) } \end{array}

  • De Morgan律\overline { A \cup B } = \overline { A } \cap \overline { B } , \quad \overline { A \cap B } = \overline { A } \cup \overline { B }

\overline{\bigcup _ { k = 1 } ^ { n } A _ { k }} = \bigcap _ { k = 1 } ^ { n } \overline { A } _ { k } , \quad \overline{\bigcap _ { k = 1 } ^ { n } A _ { k }} = \bigcup _ { k = 1 } ^ { n } \overline { A } _ { k }


課后思考題:習(xí)題一:1盈魁,2翔怎,3,4,5

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