2020-03-25

第一章數(shù)值計算中的誤差

誤差的來源與分類

誤差分類
$誤差 = \begin{cases}固有誤差 = \begin{cases}模型誤差（模型簡化帶入）\\測量誤差（參數(shù)測量帶入）\end{cases}\\ 計算誤差 = \begin{cases}截斷誤差（求解近似帶入）\\舍入誤差（硬件設(shè)施帶入）\end{cases} \end{cases}$

固有誤差 求解工程問題的數(shù)學(xué)模型本身具有的誤差，無法避免。
模型誤差 由于“簡單化”和“理想化”而產(chǎn)生的誤差(如G=mg中g(shù)用數(shù)值表示)扎即。
測量誤差 參數(shù)測量過程中帶入的誤差。
計算誤差 數(shù)值方法求得的近似解與精確解之間的誤差。
截斷誤差 求解過程中近似代替等簡化處理方式產(chǎn)生的誤差(如Taylor展式進行“截斷”)坟比。
舍入誤差 由于計算機只能進行有限位的小數(shù)計算而產(chǎn)生的誤差(如2/3≈0.666667)。

基本概念

絕對誤差： $E=x-x^{*}$ 嚷往；
其中葛账， $x$ 為近似值； $x^*$ 為精確值皮仁； $E$ 為絕對誤差籍琳。

絕對誤差限： $\varepsilon \ge |x-x^*|$ ；
其中贷祈， $\varepsilon$ 為 $x$ 的絕對誤差限趋急。

相對誤差： $RE=\frac E {x^*}=\frac {x-x^*}{x^*}$ ;
其中， $RE$ 為 $x$ 的相對誤差势誊。

相對誤差限： $\varepsilon _r= \frac {\varepsilon}{x^*} \ge \frac{|x-x^*|}{x^*}=|RE|$ ;
其中呜达， $\varepsilon _r$ 為相對誤差限。由于精確值 $x^*$ 不可知粟耻，所以常用 $x$ 替代查近，則相對誤差限為： $\varepsilon _r = \frac {\varepsilon}{|x|}$

n 位有效數(shù)字：從左端第一位非零數(shù)字往右數(shù)至第 n+1 位數(shù)字眉踱，并對第 n+1 位數(shù)字進行四舍五入而得到的近似數(shù)。
補充規(guī)則：當取舍的數(shù)字為 5 時霜威，使近似數(shù)的最后數(shù)字為偶數(shù)谈喳。如： $2.765450 \approx 2.7654$ 。

相對誤差與有效數(shù)字的關(guān)系：

設(shè)近似值 $x=\pm \, 0.{a_1}{a_2}{a_3}...{a_n}\times 10^{-n+1}$ 有 n 位有效數(shù)字戈泼，則其相對誤差限為： $\varepsilon _r \le \frac{1}{2(a_1 +1)} \times 10^{-n+1}$ 婿禽。
設(shè)近似值 $x=\pm \, 0.{a_1}{a_2}{a_3}...{a_n}\times 10^{-n+1}$ 的相對誤差限為 $\varepsilon _r \le \frac{1}{2(a_1 +1)} \times 10^{-n+1}$ ，則其至少有 n 位有效數(shù)字大猛。
相對誤差越小谈宛，則有效數(shù)字越多。反之胎署，有效數(shù)字越少吆录，相對誤差越大。

例題用 4 位浮點數(shù)計算 $\frac{1}{759}-\frac{1}{760}$ 琼牧，假設(shè)已知數(shù)為精確值恢筝。
解：方法一： $原式=0.1318 \times 10^{-2} -0.1316 \times 10^{-2}=0.2 \times 10^{-5}$ 。計算結(jié)果僅有 1 位有效數(shù)字巨坊。
方法二： $原式=\frac{1}{759 \times 760}=\frac{1}{0.5768 \times 10^6}=0.1734 \times 10^{-5}$ 撬槽。計算結(jié)果包含 4 位有效數(shù)字。

誤差的分析方法

向前誤差分析方法：存儲每次計算產(chǎn)生的誤差并累積起來趾撵。
向后誤差分析方法：將計算誤差歸結(jié)為初始數(shù)據(jù)的影響侄柔，即假設(shè)初始數(shù)據(jù)存在一定誤差或擾動，并使這一誤差等效于計算過程中產(chǎn)生的誤差占调。

1.2 數(shù)值運算時誤差的傳播

1.2.1 一元函數(shù)計算的誤差傳播

設(shè) $x$ 是 $x^*$ 的近似值暂题，則計算結(jié)果誤差 $E(f(x))=f(x)-f(x^*)$ ，由 Taylor 公式有：
$f(x^*)=f(x)+f'(x)(x^*-x)+\frac {f''(\xi)}{2}(x^*-x)^2\\ E(f(x))=f'(x)(x-x^*)-\frac{f''(\xi)}{2}(x-x^*)^2\\ |E(f(x))|\le\varepsilon(f(x))\le \lvert f'(x) \rvert \varepsilon(x)+\lvert \frac{f''(\xi)}{2}\rvert \varepsilon ^2(x)$

忽略第二項高階無窮小后究珊，可得函數(shù) $f(x)$ 的誤差限估計式： $\varepsilon(f(x)) \approx |f'(x)|\varepsilon(x)$

1.2.2 二元函數(shù)計算的誤差傳播

$\varepsilon(f(x,y)) \approx |\frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{x}}| \varepsilon(x) +|\frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}|\varepsilon(y)$

1.3 數(shù)值計算時應(yīng)注意的問題

1.3.1 避免相近的數(shù)作減法運算

1.3.2 避免分式中分母的絕對值遠小于分子的絕對值

1.3.3 防止大數(shù)“吃”小數(shù)

1.3.4 簡化計算量

1.3.5 病態(tài)問題數(shù)值算法的穩(wěn)定性

最后編輯于：2020.03.29 17:16:30

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