多層次模型被設(shè)計(jì)來分析階層結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)格带，所謂階層（hierarchy）是指由較低層次的觀察數(shù)據(jù)嵌套（nested in）在較高層次之內(nèi)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)所組成聚请。例如學(xué)生嵌套在學(xué)校之內(nèi)坛猪，員工嵌套在公司之內(nèi)谐宙，重復(fù)測(cè)量嵌套在個(gè)體之內(nèi)掰邢。最低層次的測(cè)量稱為微觀層次（micro level）毒费，其他高層次的測(cè)量則屬于宏觀層次（macro level）丙唧，宏觀層次通常由不同的組別（groups）構(gòu)成，更正式的說法是不同的脈絡(luò)（contexts）觅玻∠爰剩【ps:個(gè)人認(rèn)為使用 組別（group）更恰當(dāng)也更易于理解】
脈絡(luò)模型（contextual model）指的是兼具微觀與宏觀層次的模型，脈絡(luò)模型有時(shí)僅有兩個(gè)層次溪厘，如學(xué)生嵌套于學(xué)校胡本，但是也會(huì)超出兩個(gè)層次，如學(xué)生嵌套于班級(jí)畸悬，班級(jí)嵌套于學(xué)校等等侧甫，還可以再往上追層次。所以以此看來現(xiàn)實(shí)生活中的層次是無所不在的蹋宦∨冢【ps:這里的宏觀與微觀只是相對(duì)的概念】
如果一個(gè)模型包含了不同層次的測(cè)量變量，稱為多層次模型（mutilevel model）冷冗。在多層次模型中守屉，宏觀高層所對(duì)應(yīng)的每一個(gè)組都可以估計(jì)出一條低層的直線方程，每條直線方程都有相同的自變量和因變量蒿辙，但是回歸系數(shù)不同拇泛，所有的方程被一個(gè)高層模型所聯(lián)結(jié)滨巴，在高層次模型中，第一層次的回歸系數(shù)可以被第二層次的解釋變量所解釋【如收入對(duì)主觀幸福感的效應(yīng)可以被省份變量所解釋】俺叭。
每一個(gè)組進(jìn)行個(gè)別回歸分析之后恭取，再以高層變量來解釋第一層系數(shù)，將第一層各組的回歸系數(shù)作為第二層的結(jié)果變量進(jìn)行分析绪颖，稱為斜率結(jié)果（slope-as-outcome）分析秽荤。
在階層數(shù)據(jù)分析當(dāng)中，分組不一定是一群個(gè)體的集合柠横。個(gè)體也可能是宏觀層次的觀察單位窃款，而不必然是微觀層次的數(shù)據(jù)。如果分析的數(shù)據(jù)是個(gè)體重復(fù)觀測(cè)的數(shù)據(jù)牍氛，研究者所測(cè)量的數(shù)據(jù)是嵌套在個(gè)體之內(nèi)晨继，而且彼此之間具有相關(guān)。此時(shí)搬俊，組內(nèi)相關(guān)所測(cè)量的是同一個(gè)個(gè)體后面的行為與他之前的行為之間相似程度紊扬。例如：如果對(duì)學(xué)校的學(xué)生具有重復(fù)測(cè)量的數(shù)據(jù)，即形成一個(gè)三階層的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)唉擂。重復(fù)數(shù)是第一層餐屎，嵌套于學(xué)生之中，成為第二層玩祟，學(xué)生嵌套于學(xué)校之中成為第三層腹缩。【成長分析空扎，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與 panel data 相似藏鹊，經(jīng)典案例：對(duì)豬的成長期重量的測(cè)量，對(duì)豬的重復(fù)測(cè)量嵌套于豬之中转锈，個(gè)體的豬嵌套于豬的類型之中】
組內(nèi)相關(guān)一般以rho來表示盘寡，表示組內(nèi)的同質(zhì)性，組內(nèi)相關(guān)更正式的定義是指當(dāng)數(shù)據(jù)具有兩個(gè)層級(jí)的結(jié)構(gòu)時(shí)撮慨，高層次觀察單位之間的組間方差占結(jié)果變量方差的比例竿痰，不論從哪一個(gè)方面來界定組內(nèi)相關(guān)所反映的都是組內(nèi)相依性的存在，一旦組內(nèi)存在相關(guān)性甫煞，傳統(tǒng)線性模型對(duì)于觀測(cè)值需為獨(dú)立的假設(shè)即遭到了違反菇曲，會(huì)使得一型錯(cuò)誤率（alpha水平）上升。當(dāng)組內(nèi)相關(guān)存在時(shí)抚吠，30個(gè)在同一班級(jí)的學(xué)生已非30個(gè)獨(dú)立的個(gè)體常潮，由于傳統(tǒng)線性模型的ANOVA顯著性檢驗(yàn)是以觀察值的獨(dú)立性為基礎(chǔ)，當(dāng)組內(nèi)相關(guān)存在時(shí)楷力，將造成傳統(tǒng)線性模型的顯著性檢驗(yàn)過于寬松喊式。Barcikowski（1988）指出在多數(shù)的ANOVA檢定中孵户，參數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤都是被低估的，一個(gè)很小的組內(nèi)相關(guān)（rho=0.01）都可能造成Ⅰ型錯(cuò)誤率（alpha=0.05）的實(shí)質(zhì)擴(kuò)大岔留。對(duì)于一個(gè)大樣本（N=100）來說夏哭，rho=0.01的低度組內(nèi)相關(guān)即會(huì)使得Ⅰ型錯(cuò)誤率由0.05提高到0.17.對(duì)于一個(gè)小樣本（N=10），rho=0.2的組內(nèi)相關(guān)會(huì)使Ⅰ型錯(cuò)誤率由0.05膨脹到0.28献联。因此組內(nèi)相關(guān)存在時(shí)竖配，必須考慮多層次線性模型。準(zhǔn)則是rho>0.138急需要使用多層次模型里逆。
1进胯、隨機(jī)與固定效應(yīng)
2、隨機(jī)與固定變量原押。隨機(jī)變量（random variable）指的是一個(gè)變量的數(shù)值是來自于幾率分配胁镐。固定變量（fixed variable）指的是一個(gè)變量的數(shù)值是已知的，是固定的數(shù)值诸衔。
3盯漂、隨機(jī)與固定系數(shù)。在傳統(tǒng)的回歸模型中笨农，斜率與截距均被假設(shè)為固定的數(shù)值而不會(huì)變動(dòng)就缆，系數(shù)的數(shù)值是從觀察數(shù)據(jù)中所估計(jì)得出，而隨機(jī)系數(shù)指的是系數(shù)的數(shù)值服從某一概率的函數(shù)分布谒亦，在隨機(jī)系數(shù)模型中违崇，第一階層的回歸模型系數(shù)被用隨機(jī)系數(shù)來處理。
? ? ? 以斜率（slope）為例诊霹，斜率的隨機(jī)系數(shù)被區(qū)分為兩個(gè)部分：第一是整體斜率（overall slope）的數(shù)值，是從所有的個(gè)體中估計(jì)得出渣淳，不在乎這些個(gè)體屬于哪個(gè)組脾还，第二則是斜率方差（slope variance），表示每一組的斜率與整體斜率有所差異的變動(dòng)情形入愧。在多層次模型中鄙漏，若為隨機(jī)系數(shù)模型，則允許各組從平均數(shù)處存在變異棺蛛，不論是截距或斜率上的變異（因?yàn)殡S機(jī)系數(shù)模型包含隨機(jī)截距模型）怔蚌，進(jìn)而可以估計(jì)變異情形。
【跨層級(jí)的交互作用】：關(guān)于模型中跨層級(jí)交互項(xiàng)的說明旁赊，低層變量與高層變量的交互桦踊，如學(xué)生的性格特性與學(xué)校特征（教學(xué)風(fēng)格）之間的交互：學(xué)生個(gè)人的性格與學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系受到一定類型的教學(xué)風(fēng)格的強(qiáng)化或者削弱影響。學(xué)生是微觀層次而老師是宏觀層次终畅，老師與學(xué)生之間的交互作用即微觀與宏觀的跨層級(jí)交互作用籍胯。
通常我們做回歸并沒有考慮系統(tǒng)層次對(duì)微觀個(gè)體的影響竟闪，會(huì)使用下面幾種回歸的方式：
【整體回歸】：即把所有的數(shù)據(jù)全部拉到一起跑出一個(gè)回歸方程，這意味著我們并不預(yù)期高層次的差別對(duì)于因變量會(huì)有什么影響杖狼，一個(gè)截距一個(gè)系數(shù)炼蛤。
【聚合回歸】：將高層的各組 x 和 y 分別求取平均數(shù)，有幾組就得到幾個(gè) x 和 y蝶涩，用這些平均出的x-y進(jìn)行回歸理朋，得到一個(gè)方程，很明顯聚合回歸忽略了所有組內(nèi)的變異（只用一個(gè)平均數(shù)代替組的 值）绿聘，因此流失了大量可能是很重要的變異嗽上。
【脈絡(luò)模型】：把個(gè)體層次的變量取組平均數(shù)之后，作為脈絡(luò)變量（其實(shí)就是分組變量）斜友，與低層自變量同時(shí)作為自變量加入回歸方程炸裆。顯然會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的多重共線性（multicollinearity）問題，個(gè)體解釋變量與分組層次的各平均數(shù)之間高度相關(guān)鲜屏。再一個(gè)問題就是這里無論是自變量（就算是聚合而成的各組均數(shù)仍然是個(gè)體層次的測(cè)量）還是因變量仍然還停留在個(gè)體層次烹看，忽略了數(shù)據(jù)的嵌套結(jié)構(gòu)。
【Cronbach 模型】：在脈絡(luò)模型的基礎(chǔ)上洛史，將個(gè)體層次的解釋變量進(jìn)行對(duì)中處理（X-Xba）惯殊，原始數(shù)據(jù)以組平均數(shù)為中心轉(zhuǎn)換成離差分?jǐn)?shù)（deviation score），經(jīng)過對(duì)中處理的個(gè)體分?jǐn)?shù)與經(jīng)過對(duì)中處理的分組層次分?jǐn)?shù)為正交關(guān)系（不相關(guān)）也殖，避免了共線性問題土思。但這種分析仍然以低層次的數(shù)據(jù)來處理，導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)誤被低估忆嗜，造成顯著性檢驗(yàn)的Ⅰ型錯(cuò)誤膨脹己儒。
【協(xié)方差分析ANCOVA】協(xié)方差分析中，個(gè)體的差異是被忽略的捆毫，或被視為干擾項(xiàng)闪湾，所強(qiáng)調(diào)的是組間的效果。在ANCOVA中绩卤，個(gè)體解釋變量的功能是協(xié)變量（covariate）途样，而分組變量則是分析的重點(diǎn)。這源自于實(shí)驗(yàn)法濒憋，所以這里分組常常指的是實(shí)驗(yàn)組和控制組何暇。ANCOVA的假設(shè)是各組都有相同的斜率，而截距不同凛驮。
10個(gè)學(xué)校產(chǎn)生10個(gè)截距與10個(gè)斜率裆站，我們希望以一個(gè)變量（高層變量）去解釋所有這些斜率與截距的變化咧织，完成整合扎即。最好的辦法就是利用Random Coefficition 隨機(jī)系數(shù)模型亏掀，不但保留了個(gè)別學(xué)校的特殊性也兼顧了各校間的共通性捞附。
RC模型就是完成截距隨機(jī)變化與斜率隨機(jī)變化的整合，用一個(gè)模型來同時(shí)表示截距和斜率的變化胳嘲。
在由此可知RC 模型由兩部分組成：平均數(shù)（固定部分）與方差（隨機(jī)部分）厂僧。RC模型的隨機(jī)部分由宏觀層次的方差來描述，反應(yīng)了統(tǒng)計(jì)模型從一個(gè)宏觀模型會(huì)發(fā)生變動(dòng)了牛、變化的程度颜屠。
在RC模型中，系數(shù)被視為帶有方差的主效應(yīng)鹰祸，這一方差代表了所有組關(guān)于總水平或者說是主效應(yīng)的離差甫窟。更具體來說，所謂隨機(jī)系數(shù)就是一個(gè)固定成份（fixed components）加上一個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)（disturbances）所組成蛙婴。
Reference: ? Ita kreft & Jan De Leeuw粗井，2007，《多層次模型分析導(dǎo)論》街图，邱皓政譯浇衬，重慶：重慶大學(xué)出版社。
