? ? ? ? 2004年端三，英國的科學期刊《物理世界》舉辦了一個活動：讓讀者選出科學史上最偉大的公式舷礼。結果，麥克斯韋方程組力壓質能方程郊闯、歐拉公式妻献、牛頓第二定律、勾股定理团赁、薛定諤方程等”方程界“的巨擘育拨，高居榜首。

麥克斯韋方程組以一種近乎完美的方式統(tǒng)一了電和磁欢摄，并預言光就是一種電磁波熬丧，這是物理學家在統(tǒng)一之路上的巨大進步。很多人都知道麥克斯韋方程組怀挠，知道它極盡優(yōu)美析蝴，并且描述了經(jīng)典電磁學的一切。但是绿淋，真正能看懂這個方程組的人卻不多闷畸，因為它不像質能方程、勾股定理這樣簡單直觀吞滞，等式兩邊的含義一眼便知佑菩。畢竟，它是用積分和微分的形式寫的裁赠，而大部分人要到大學才正式學習微積分殿漠。

不過大家也不用擔心，麥克斯韋方程組雖然在形式上略微復雜佩捞，但是它的物理內涵確是非常簡單的凸舵。而且，微積分也不是特別抽象的數(shù)學內容失尖，大家只要跟著思路走啊奄，看懂這個“最偉大“的方程也不會是什么難事~

01電磁統(tǒng)一之路

? ? ? ? 電和磁并沒有什么明顯的聯(lián)系，科學家一開始也是獨立研究電現(xiàn)象和磁現(xiàn)象的掀潮。這并不奇怪菇夸，誰能想到閃電和磁鐵之間會有什么聯(lián)系呢？

? ? ? ? 1820年仪吧，奧斯特在一次講座上偶然發(fā)現(xiàn)通電的導線讓旁邊的小磁針偏轉了一下庄新，這個微小的現(xiàn)象并沒有引起聽眾的注意，但是可把奧斯特給高興壞了。他立馬針對這個現(xiàn)象進行了三個月的窮追猛打择诈，最后發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應械蹋，也就是說電流也能像磁鐵一樣影響周圍的小磁針。

? ? ? ? 消息一出羞芍，物理學家們集體炸鍋哗戈，立馬沿著這條路進行深入研究。怎么研究呢荷科？奧斯特只是說電流周圍會產(chǎn)生磁場唯咬，那么這個電流在空間中產(chǎn)生的磁場是怎么分布的呢？比方說一小段電流在空間某個地方產(chǎn)生的磁感應強度的多大呢畏浆？這種思路拓展很自然吧胆胰，定性的發(fā)現(xiàn)某個規(guī)律之后必然要試圖定量地把它描述出來，這樣我不僅知道它刻获，還可以精確的計算它蜀涨，才算完全了解。

? ? ? ? 三個月蝎毡，在奧斯特正式發(fā)表他的發(fā)現(xiàn)僅僅三個月之后勉盅，畢奧和薩伐爾在大佬拉普拉斯的幫助下就找到了電流在空間中產(chǎn)生磁場大小的定量規(guī)律，這就是著名的畢奧-薩伐爾定律顶掉。也就是說草娜，有了畢奧-薩伐爾定律，我們就可以算出任意電流在空間中產(chǎn)生磁場的大小痒筒，但是這種方法在實際使用的時候會比較繁瑣宰闰。

? ? ? ? 又過了兩個月之后，安培發(fā)現(xiàn)了一個更實用更簡單的計算電流周圍磁場的方式簿透，這就是安培環(huán)路定理移袍。順便赁温，安培還總結了一個很實用的規(guī)律來幫你判斷電流產(chǎn)生磁場的方向塑径，這就是安培定則（也就是高中學的右手螺旋定則）。

? ? ? ? 至此购对，電生磁這一路的問題“似乎”基本解決了啡浊，我們知道電流會產(chǎn)生磁場觅够，而且能夠用安培環(huán)路定理（或者更加原始的畢奧-薩伐爾定律）計算這個磁場的大小，用安培定則判斷磁場的方向巷嚣。那么喘先，我們現(xiàn)在知道怎么單獨描述電和磁，知道了電怎么生磁廷粒，秉著對稱的思想窘拯，我怎么樣都要去想：既然電能夠生磁红且，那么磁能不能生電呢？

? ? ? ? 由于種種原因涤姊，奧斯特在1820年發(fā)現(xiàn)了電生磁暇番，人類直到11年后的1831年，才由天才實驗物理學家法拉第發(fā)現(xiàn)了磁生電的規(guī)律思喊，也就是電磁感應定律壁酬。法拉第發(fā)現(xiàn)磁能生電的關鍵就是：他發(fā)現(xiàn)靜止的磁并不能生電，一定要變化的磁才能生電搔涝。

? ? ? ? 發(fā)現(xiàn)電磁感應定律之后，我們知道了磁如何生電和措，有了安培環(huán)路定理庄呈，我們就知道電流如何產(chǎn)生磁場。咋一看派阱，有關電磁的東西我們好像都有解決方案了诬留。其實不然，我們知道安培環(huán)路定理是從奧斯特發(fā)現(xiàn)了電流周圍會產(chǎn)生磁場這一路推出來的贫母，所以它只能處理電流周圍表示磁場的情況文兑。

? ? ? ? 但是，如果沒有電流呢腺劣？如果我壓根就沒有導線讓你可以形成電流绿贞，如果僅僅是電場發(fā)生了變化，那么這樣能不能產(chǎn)生磁場呢橘原？大家不要覺得我胡攪蠻纏籍铁，你想想，根據(jù)電磁感應定律趾断，變化的磁場是可以產(chǎn)生電場的拒名。所以，我會反過來猜想變化的電場能否產(chǎn)生磁場并不奇怪芋酌。而這增显，正好是安培環(huán)路定理缺失的部分。

? ? ? ? 于是脐帝，麥克斯韋就對安培環(huán)路定理進行了擴充同云，把變化的電場也能產(chǎn)生磁場這一項也添加了進去，補齊了這最后一塊短板堵腹。

到這里梢杭，電和磁的統(tǒng)一之路就走得差不多了，麥克斯韋方程組的基本形式也呼之欲出了秸滴。這里我先讓大家考慮一下：我們都知道麥克斯韋方程組描述了經(jīng)典電磁學的一切武契，而且它是由四個方程組成的。那么，如果讓你選擇四個方程來描述電磁里的一切咒唆，你大致會選擇四個什么樣的方程呢届垫？

此處思考一分鐘……

? ? ? ? 我不知道大家是怎么考慮的，反正我覺得下面這條思路是很自然的：如果要用四個方程描述電磁的一切全释，那么我就用第一個方程描述電装处，第二個方程描述磁，第三個方程描述磁如何生電浸船，第四個方程描述電如何生成磁妄迁。嗯，好巧李命，麥克斯韋方程組就是這樣的～

? ? ? ? 所以登淘，我們學習麥克斯韋方程組，就是要看看它是如何用四個方程優(yōu)雅自洽地描述電封字、磁黔州、磁生電、電生磁這四種現(xiàn)象的阔籽。接下來我們就來一個個地看流妻。

02庫侖的發(fā)現(xiàn)

? ? ? ? 在奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應之前，人類已經(jīng)單獨研究電研究了好長時間笆制，人們發(fā)現(xiàn)電荷有正負兩種绅这，而且同性相斥，異性相吸在辆。后來庫倫發(fā)現(xiàn)了電荷之間相互作用的定量關系君躺，他發(fā)現(xiàn)電荷之間的作用力跟距離的平方成反比的。也就是說开缎，如果我把兩個電荷之間的距離擴大為原來的兩倍棕叫，這兩個電荷之間的作用力就會減少為原來的四分之一，擴大為三倍就減少為九分之一奕删。

? ? ? ? 這個跟引力的效果是一樣的俺泣，引力也是距離擴大為原來的兩倍，引力的大小減少為原來的四分之一完残。為什么大自然這么偏愛“平方反比”規(guī)律呢伏钠？因為我們生活在一個各向同性的三維空間里。

? ? ? 什么意思谨设？我們可以想想：假設現(xiàn)在有一個點源開始向四面八方傳播熟掂，因為它攜帶的能量是一定的，那么在任意時刻能量達到的地方就會形成一個球面扎拣。而球面的面積公式S=4πr2（r為半徑）赴肚，它是跟半徑的平方r2成正比的素跺，這也就是說：我們同一份能量在不同的時刻要均勻的分給4πr2個部分，那么每個點得到的能量就自然得跟4πr2成反比誉券，這就是平方反比定律的更深層次的來源指厌。

? ? ? ? 因此，如果我們生活在四維空間里踊跟，我們就會看到很多立方（三次方）反比的定律踩验，而這也是科學家們尋找高維度的一個方法。許多理論（比如超弦理論）里都有預言高維度商玫，科學家們就去很小的尺度里測量引力箕憾，如果引力在一個很小的尺度里不再遵循平方反比定律，那就很有可能是發(fā)現(xiàn)了額外的維度拳昌。

? ? ? ? 好了袭异，從更深層次理解了靜電力遵循平方反比定律后，要猜出靜電力的公式就是很簡單的事情了地回。因為很明顯的扁远，兩個電荷之間的靜電力肯定跟兩者的電荷量有關俊鱼，而且還是電荷越大靜電力越大刻像，加上距離平方反比規(guī)律，兩個電荷之間的靜電力大致就是下面這樣的了：

? ? ? ? 這就是我們中學學的庫倫定律：兩個電荷之間的靜電力跟兩個電荷量的乘積成正比并闲，跟它們距離的平方成反比细睡，剩下的都是常數(shù)。q1帝火、q2就是兩個電荷的電荷量溜徙，ε0是真空的介電常數(shù)（先不管它是啥意思，知道是個跟電相關的常數(shù)就行了）犀填，我們熟悉的球面積公式S=4πr2赫然出現(xiàn)在分母里蠢壹，這是三維空間平方反比規(guī)律的代表。

? ? ? ? 庫倫定律是一個實驗定律九巡，也就說庫倫做了很多實驗發(fā)現(xiàn)兩個電荷之間確實存在著一個這么大小的靜電力图贸，但是它并沒有告訴你這個靜電力是如何傳遞的。兩個并沒有接觸的物體之間存在某種力冕广，一個常見的想法就是這兩個物體之間存在著某種我們看不見的東西在幫它們傳遞作用力疏日，那么這種東西是什么呢？有人認為是以太撒汉，有人認為是某種彈性介質沟优，但是法拉第說是力線，而且這種力線不是什么虛擬的輔助工具睬辐，而是客觀的物理實在挠阁。它可以傳遞作用力宾肺，也可以具有能量。這些思想慢慢形成了我們現(xiàn)在熟知的場鹃唯。

03電場的疊加

? ? ? ? 有了場爱榕，我們就可以更加細致的描述兩個電荷之間的相互作用了。為什么兩個電荷之間存在這樣一個靜電力呢坡慌？因為電荷會在周圍的空間中產(chǎn)生一個電場黔酥，這個電場又會對處在其中的電荷產(chǎn)生一個力的作用。這個電場的強度越大洪橘，電荷受到的力就越大跪者，正電荷受力的方向就是這點電場的方向。所以熄求，電場具有大小和方向渣玲，這是一個矢量。

? ? ? ? 為了直觀形象的描述電場弟晚，我們引入了電場線忘衍。電場線的密度剛好就代表了電場強度的大小，而某點電場線的切線方向就代表了該處電場的方向卿城。一個正電荷就像太陽發(fā)光一樣向四周發(fā)射電場線枚钓，負電荷就匯集電場線。

? ? ? ? 這些內容大家在中學的時候應該都學了瑟押，我就一筆帶過搀捷，接下來我們考慮一個稍微復雜一點的問題：庫倫定律告訴了我們兩個點電荷之間靜電力的大小，那么我們就可以根據(jù)這個求出一個點電荷周圍的電場強度多望。然而嫩舟，一個點電荷是最簡單的情況，如果帶電源再復雜一點呢怀偷？如果我有很多個電荷家厌，或者說我直接就是一塊形狀不規(guī)則的帶電體，這時候我們要怎么求它產(chǎn)生的電場呢椎工？

? ? ? ? 一個很簡單自然的想法就是：如果有很多個電荷饭于，我就把每個電荷在這點產(chǎn)生的電場強度算出來，再把它們疊加起來就行了晋渺。如果這是一個連續(xù)的帶電體（比如一根帶電的線）镰绎，那我們就再次舉起牛頓爵爺留給我們的微積分大刀，嘩啦啦地把這個帶電體切成無數(shù)個無窮小的部分木西，這樣每一個無窮小的部分就可以看做一個點電荷畴栖，然后把這無數(shù)個點電荷在那點產(chǎn)生的電場強度疊加起來（就是積分）就行了。

? ? ? ? 我們上面的思路其實就是秉著“萬物皆可切成點八千，萬物皆可積”的精神吗讶，強行讓庫倫定律和微積分聯(lián)姻燎猛，“硬算”出任何帶電體在任意位置的場強。這在原理上是行得通的照皆，沒問題重绷，但是在具體操作上就很復雜了，有沒有更簡單優(yōu)雅一點的辦法呢膜毁？

? ? ? 有昭卓，不過這需要我們換個角度看問題。物理學研究物體運動變化的規(guī)律瘟滨，但是物體時時刻刻都處在變化之中候醒，你要怎么去尋找它的規(guī)律呢？這里就涉及到科學研究的一個重要思想：把握變化世界里那些不變的東西杂瘸。

? ? ? ? 牛頓發(fā)現(xiàn)一切物體在運動中都有某種共同不變的東西倒淫，不管物體怎樣運動，受到什么樣的力败玉，這個東西只由物體的密度和體積決定敌土，于是牛頓從中提煉出了質量的概念（當然，現(xiàn)在質量是比密度體積更基本的概念）运翼；科學家們發(fā)現(xiàn)物體在各種變化的過程中有某種守恒的東西返干，于是提煉出了能量的概念。那么南蹂，帶電體在周圍空間中產(chǎn)生電場的過程犬金，能不能也提煉出某種不變的東西呢念恍？

04通量的引入

? ? ? ? 我們先不管電六剥，先來看看我們更熟悉的水。畢竟水流和電流有某種相似之處峰伙，

? ? ? ? 我在一個水龍頭的出口處裝一個噴頭疗疟，讓水龍頭向周圍的空間噴射水流（就像正電荷噴射電場線一樣），然后我用一個完全透水（水能夠自由的穿過塑料袋）的塑料袋把水龍頭包起來瞳氓。那么策彤，從水龍頭出來的所有的水都必須穿過這個塑料袋，然后才能去其他地方匣摘，穿過這個塑料袋的表面是所有水的必經(jīng)之路店诗。

? ? ? ? 這個看似平常的現(xiàn)象后面卻隱藏了這樣一個事實：無論塑料袋有多大，是什么形狀音榜，只要你是密封的庞瘸。那么，從水龍頭流出的水量就一定等于通過這個塑料袋表面的水量赠叼。

? ? ? ? 從這里擦囊，我們就抽象出來了一個非常重要的概念：通量违霞。通量，顧名思義瞬场，就是通過一個曲面的某種流量买鸽，通過塑料袋表面的水的流量就叫塑料袋的水通量。這樣上面的例子我們就可以說成水龍頭的出水量等于塑料袋的水通量了贯被。

? ? ? ? 好眼五，水的事就先說到這里，我們再回過頭來看看電彤灶。還是用上面的實驗弹砚，現(xiàn)在我們把水龍頭換成一個正電荷，我們還是用一個完全透電（對電沒有任何阻力）的塑料袋套住一個正電荷枢希，那會發(fā)生什么呢桌吃？水龍頭的噴頭散發(fā)的是水流，正電荷“散發(fā)”的是電場線苞轿；通過該塑料袋的水流量叫塑料袋的水通量茅诱，那么電場線通過塑料袋的數(shù)量自然就叫塑料袋的電通量。對于水通量搬卒，我們知道它等于水龍頭的出水量瑟俭，那么塑料袋的電通量等于什么呢？

? ? ? ? 我們知道契邀，之所以會有電場線摆寄，是因為空間中存在電荷。而且坯门，電荷的電量越大微饥，它產(chǎn)生的電場強度就越大，電場線就越密古戴，那么穿過塑料袋的電場線的數(shù)量就越多欠橘，對應的電通量就越大。所以现恼，我們雖然無法確定這個電通量的具體形式肃续，但是可以肯定它一定跟這個塑料袋包含的電荷量有關，而且是正相關叉袍。

? ? ? ? 這就是在告訴我們：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面內包含電荷總量是成正比的始锚，電荷量越大，通過這個任意閉合曲面的電通量就越大喳逛，反之亦然瞧捌。這就是麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律的核心思想。

? ? ? ? 把這個思想從電翻譯到水上面去就是：通過一個閉合曲面的水量是這個曲面內包含水龍頭水壓的量度艺配，水壓越大察郁，水龍頭越多衍慎，通過這個閉合曲面的水量就越大。這幾乎已經(jīng)接近“廢話”了~所以皮钠，大家面對那些高大上的公式方程的時候不要先自己嚇自己稳捆，很多所謂非常高深的思想，你把它用人話翻譯一下麦轰，就會發(fā)現(xiàn)它非常簡單自然乔夯。

? ? ? ? 我們再來審視一下高斯電場定律的核心思想：通過一個閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比。那么款侵，我們要怎么樣把這個思想數(shù)學化呢末荐？電荷的總量好說，就是把所有電荷的帶電量加起來新锈，那么通過一個閉合曲面的電通量要怎么表示呢甲脏？

05電場的通量

我們先從最簡單的情況看起。

? ? ? 問題1：我們假設空間里有一個電場強度為E的勻強電場妹笆，然后有一個面積為a的木板跟這個電場方向垂直块请，那么，通過這個木板的電通量Φ要怎么表示呢拳缠？

? ? ? ? 我們想想墩新，我們最開始是從水通過曲面的流量來引入通量的，到了電這里窟坐，我們用電場線通過一個曲面的數(shù)量表示電通量海渊。而我們也知道，電場線的密度代表了電場強度的大小哲鸳。所以臣疑，我們就能很明顯的發(fā)現(xiàn)：電場強度越大，通過木板的電場線數(shù)量越多帕胆；木板的面積越大朝捆，通過木板的電場線數(shù)量越多般渡。而電場線的數(shù)量越多懒豹，就意味著電通量越大。

? ? ? ? 因為電場強度E是一個矢量（有大小和方向）驯用，所以我們用E的絕對值|E|來表示E的大小脸秽，那么我們直接用電場強度的大小|E|和木板面積a的乘積來表示電通量的大小是非常合理的。也就是說蝴乔，通過木板的電通量Φ=|E|×a记餐。

? ? ? 木板和電場線方向相互垂直是最簡單的情況汹桦，如果木板和電場的方向不垂直呢印蓖？

? ? ? ? 問題2：還是上面的木板和電場，如果木板跟電場的方向不是垂直的，它們之間有一個夾角θ睛蛛，那這個電通量又要怎么求呢？

? ? ? 如上圖厅目，首先妖碉，我們能直觀地感覺到：當木板不再和電場方向垂直的時候，這個木板被電場線穿過的有效面積減小了审轮。原來長度為AB的面都能擋住電場線肥哎，現(xiàn)在，雖然還是那塊木板疾渣，但是真正能夠有效擋住電場線的變成了BC這個面篡诽。

? ? ? ? 然后，我們再來談一談曲面的方向榴捡，可能很多人都認為曲面的方向就是定義為AB的方向杈女。其實不是的，我們是用一個垂直于這個平面的向量的方向表示這個平面的方向吊圾，這個向量就叫這個平面的法向量碧信。如上圖所示，我畫了一個跟木板垂直的法向量n街夭，那么這個法向量n和電場E的夾角才是木板這個平面和電場的夾角θ砰碴。

? ? ? ? AB、BC和θ之間存在一個非常簡單的三角關系：BC=AB×cosθ（因為夾角θ跟角ABC相等板丽，cosθ表示直角三角形里鄰邊和斜邊的比值）呈枉。而我們有知道垂直的時候通過木板的電通量Φ=|E|×|a|，那么埃碱，當它們之間有一個夾角θ的時候猖辫，通過木板的電通量自然就變成了：Φ=|E|×|a|×cosθ。

06矢量的點乘

? ? ? ? 到了這里砚殿，我們就必須稍微講一點矢量和矢量的乘法了啃憎。

? ? ? ? 通俗地講，標量是只有大小沒有方向的量似炎。比如說溫度辛萍，房間某一點的溫度就只有一個大小而已，并沒有方向羡藐；再比如質量贩毕，我們只說一個物體的質量是多少千克，并不會說質量的方向是指向哪邊仆嗦。而矢量則是既有大小辉阶，又有方向的量。比如速度，我們說一輛汽車的速度不僅要說速度的大小谆甜，還要指明它的方向垃僚，它是向東還是向南；再比如說力规辱，你去推桌子冈在，這個推力不僅有大小（決定能不能推動桌子）按摘，還有方向（把桌子推向哪一邊）包券。

? ? ? ? 標量因為只有大小沒有方向，所以標量的乘法可以直接像代數(shù)的乘法一樣炫贤，讓它們的大小相乘就行了溅固。但是，矢量因為既有大小又有方向兰珍，所以你兩個矢量相乘就不僅要考慮它的大小侍郭，還要考慮它的方向。假如你有兩個矢量掠河，一個矢量的方向向北亮元，另一個向東，那么它們相乘之后得到的結果還有沒有方向呢唠摹？如果有爆捞，這個方向要怎么確定呢？

? ? ? ? 這就是說勾拉，我們從小學開始學習的那種代數(shù)乘法的概念煮甥，在矢量這里并不適用，我們需要重新定義一套矢量的乘法規(guī)則藕赞，比如我們最常用的點乘（符號為‘·’）成肘。你兩個標量相乘就是直接讓兩個標量的大小相乘，我現(xiàn)在矢量不僅有大小還有方向斧蜕，那么這個方向怎么體現(xiàn)呢双霍？簡單，我不讓你兩個矢量的大小直接相乘批销，而是讓一個矢量的投影和另一個矢量的大小相乘洒闸，這樣就既體現(xiàn)了大小又體現(xiàn)了方向。

? ? ? ? 如上圖风钻，我們有兩個矢量OA和OB（線段的長短代表矢量的大小顷蟀，箭頭的方向代表矢量的方向），我們過A點做AC垂直于OB（也就是OA往OB方向上投影）骡技，那么線段OC的長度就代表了矢量OA在OB方向上的投影。而根據(jù)三角函數(shù)的定義，一個角度θ的余弦cosθ被定義為鄰邊（OC）和斜邊（OA）的比值布朦，即cosθ=OC/|OA|（絕對值表示矢量的大小囤萤，|OA|表示矢量OA的大小）是趴。所以矢量OA在OB方向上的投影OC可以表示為：OC=|OA|×cosθ涛舍。

? ? ? ? 既然兩個矢量的點乘被定義為一個矢量的投影和和另一個矢量大小的乘積，現(xiàn)在我們已經(jīng)得到了投影OC的表達式唆途，那么矢量OA和OB的點乘就可以表示為：

OA·OB=OC×|OB|=|OA||OB|cosθ富雅。

? ? ? ? 為什么我們上面明明還在講電場通過一個平面的通量，接著卻要從頭開始講了一堆矢量的點乘的東西呢肛搬？因為電場強度也是一個矢量没佑，它有大小也有方向（電場線的密度代表大小，電場線的方向代表它的方向）温赔；平面其實也是一個矢量蛤奢，平面的大小不用說了，平面的方向是用垂直于這個平面的法向量來表示的陶贼。而且啤贩，我們再回顧一下當平面跟電場方向有一個夾角θ的時候，通過這個平面的電通量Φ=|E|×|a|×cosθ拜秧。這是不是跟上面兩個矢量點乘右邊的形式一模一樣痹屹？

? ? ? 也就是說，如果我們從矢量的角度來看：場E通過一個平面a的電通量Φ就可以表示為這兩個矢量（電場和平面）的點乘枉氮，即Φ=E·a（因為根據(jù)點乘的定義有E·a=|E|×|a|×cosθ）痢掠。

? ? ? ? 這種表述既簡潔又精確，你想想嘲恍，如果你不使用矢量的表述足画，那么你在公式里就不可避免地會出現(xiàn)很多和夾角θ相關的地方。更關鍵的是佃牛，電場強度和平面本來就都是矢量淹辞，你使用矢量的運算天經(jīng)地義，為什么要用標量來代替它們呢俘侠？

? ? ? ? 總之象缀，我們知道一個電場通過一個平面的電通量可以簡潔的表示為：Φ=E·a，這就夠了爷速。但是央星，高斯電場定律的核心思想是通過閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比，我們這里得到的只是一個電場通過一個平面的電通量惫东，一個平面和一個閉合曲面還是有相當大的區(qū)別的莉给。

07閉合曲面的電通量

? ? ? ? 知道怎么求一個平面的電通量毙石，要怎么求一個曲面的電通量呢？

? ? ? ? 這里就要稍微涉及一丟丟微積分的思想了颓遏。我們都知道我們生活在地球的表面徐矩，而地球表面其實是一個球面，那么叁幢，為什么我們平常在路上行走時卻感覺不到這種球面的彎曲呢滤灯？這個答案很簡單，因為地球很大曼玩，當我們從月球上遙望地球的時候鳞骤，我們能清晰地看到地球表面是一個彎曲的球面。但是黍判，當我們把范圍僅僅鎖定在我們目光周圍的時候豫尽，我們就感覺不到地球的這種彎曲，而是覺得我們行走在一個平面上样悟。

? ? ? ? 地球的表面是一個曲面拂募，但是當我們只關注地面非常小的一塊空間的時候，我們卻覺得這是一個平面窟她〕轮ⅲ看到?jīng)]有，一個曲面因為某種原因變成了一個平面震糖，而我們現(xiàn)在的問題不就是已知一個平面的電通量录肯，要求一個曲面的電通量么？那么地球表面的這個類比能不能給我們什么啟發(fā)呢吊说？

? ? ? ? 彎曲的地球表面在小范圍內是平面论咏，這其實是在啟發(fā)我們：我們可以把一個曲面分割成許多塊，只要我們分割得足夠細颁井，保證每一小塊都足夠小厅贪，那么我們是可以把這個小塊近似當作平面來處理的。而且不難想象雅宾，我把這個曲面分割得越細养涮，它的每一個小塊就越接近平面，我們把這些小平面都加起來就會越接近這個曲面本身眉抬。

? ? ? ? 下面是重點：如果我們把這個曲面分割成無窮多份贯吓，這樣每個小塊的面積就都是無窮小，于是我們就可以認為這些小塊加起來就等于這個曲面了蜀变。這就是微積分最樸素的思想悄谐。

? ? ? ? 如上圖，我們把一個球面分割成了很多塊库北，這樣每一個小塊就變成了一個長為dx爬舰，寬為dy的小方塊们陆，這個小方塊的面積da=dx·dy。如果這個小塊的電場強度為E洼专，那么通過這個小塊的電通量就是E·da棒掠。如果我們我們把這個球面分割成了無窮多份孵构，那么把這無窮多個小塊的電通量加起來屁商，就能得到穿過這個曲面的總電通量。

? ? ? ? 這個思想總體來說還是很簡單的颈墅，只是涉及到了微積分最樸素的一些思想蜡镶。如果要我們具體去計算可能就會比較復雜，但是慶幸的是恤筛，我們不需要知道具體如何計算官还，我們只需要知道怎么表示這個思想就行了。一個小塊da的電通量是E·da毒坛，那么我們就可以用下面的符號表示通過這個曲面S的總電通量：

? ? ? ? 這個拉長的大S符號就是積分符號望伦，它就是我們上面說的微積分思想的代表。它的右下角那個S代表曲面S煎殷，也就是說我們這里是把這個曲面S切割成無窮小塊屯伞，然后對每一塊都求它的通量E·da，然后把通量累積起來豪直。至于這個大S中間的那個圓圈就代表這是一個閉合曲面劣摇。

08方程一：高斯電場定律

? ? ? ? 總之，上面這個式子就代表了電場E通過閉合曲面S的總電通量弓乙，而我們前面說過高斯電場定律的核心思想就是：通過閉合曲面的電通量跟這個曲面包含的電荷量成正比末融。那么，這樣我們就能非常輕松的理解麥克斯韋方程組的第一個方程——高斯電場定律了：

? ? ? ? 方程的左邊暇韧，我們上面解釋了這么多勾习，這就是電場E通過閉合曲面S的電通量。方程右邊帶enc下標的Q表示閉合曲面內包含的電荷總量懈玻，ε0是個常數(shù)（真空介電常數(shù)）巧婶，暫時不用管它。等號兩邊一邊是閉合曲面的電通量酪刀，另一邊是閉合曲面包含的電荷粹舵，我們這樣就用數(shù)學公式完美地詮釋了我們的思想。

? ? ? ? 麥克斯韋方程組總共有四個方程骂倘，分別描述了靜電眼滤、靜磁、磁生電历涝、電生磁的過程诅需。庫倫定律從點電荷的角度描述靜電漾唉，而高斯電場定律則從通量的角度來描述靜電，為了描述任意閉合曲面的通量堰塌，我們不得不引入了微積分的思想赵刑。我們說電通量是電場線通過一個曲面的數(shù)量，而我們也知道磁場也有磁感線（由于歷史原因無法使用磁場線這個名字）场刑，那么般此，我們是不是也可以類似建立磁通量的概念，然后在此基礎上建立類似的高斯磁場定律呢牵现？

09方程二：高斯磁場定律

? ? ? ? 磁通量的概念很好建立铐懊，我們可以完全模仿電通量的概念，將磁感線通過一個曲面的數(shù)量定義磁通量瞎疼。因為磁場線的密度一樣表征了磁感應強度（因為歷史原因科乎，我們這里無法使用磁場強度）的大小。所以不難理解贼急，我們可以仿照電場把磁感應強度為B的磁場通過一個平面a的磁通量Φ表示為Φ=B·a茅茂。

? ? ? ? 同樣，根據(jù)我們在上面電場里使用的微積分思想太抓，類比通過閉合曲面電通量的作法空闲，我們可以把通過一個閉合曲面S的磁通量表示為：

? ? ? 然后，我們可以類比高斯電場定律的思想“通過閉合曲面的電通量跟這個曲面包含的電荷量成正比”腻异，建立一個高斯磁場定律进副，它是核心思想似乎就應該是：通過閉合曲面的磁通量跟這個曲面包含的“磁荷量”成正比。

? ? ? ? 然而這里會有個問題悔常，我們知道自然界中有獨立存在的正負電荷影斑，電場線都是從正電荷出發(fā)，匯集與負電荷机打。但是自然界里并不存在（至少現(xiàn)在還沒發(fā)現(xiàn)）獨立的磁單極子矫户，任何一個磁體都是南北兩極共存。所以残邀，磁感線跟電場線不一樣皆辽，它不會存在一個單獨的源頭，也不會匯集到某個地方去芥挣，它只能是一條閉合的曲線驱闷。

? ? ? ? 上圖是一個很常見的磁鐵周圍的磁感線，磁鐵外部的磁感線從N極指向S極空免，在磁鐵的內部又從S極指向N極空另，這樣就形成一個完整的閉環(huán)。

? ? ? ? 如果磁感線都是一個閉環(huán)蹋砚，沒有獨立存在的磁單極扼菠，那我們可以想一想：如果你在這個閉環(huán)里畫一個閉合曲面摄杂，那么結果肯定就是有多少磁感線從曲面進去，就肯定有多少跟磁感線從曲面出來循榆。因為如果有一根磁感線只進不出析恢，那它就不可能是閉合的了，反之亦然秧饮。

? ? ? ? 如果一個閉合曲面有多少根磁感線進映挂，就有多少根磁感線出，這意味著什么呢浦楣？這就意味著你進去的磁通量跟出來的磁通量相等袖肥，那么最后這個閉合曲面包含的總磁通量就恒為0了咪辱。這就是麥克斯韋方程組的第二個方程——高斯磁場定律的核心思想：閉合曲面包含的磁通量恒為0振劳。

? ? ? ? 通過閉合曲面的磁通量（B·a是磁通量，套個曲面的積分符號就表示曲面的磁通量）我們上面已經(jīng)說了油狂，恒為0無非就是在等號的右邊加個0历恐，所以高斯磁場定律的數(shù)學表達式就是這樣的：

? ? ? ? 對比一下高斯電場定律和高斯磁場定律，我們會發(fā)現(xiàn)他們不僅是名字想象专筷，思想也幾乎是一模一樣的弱贼，只不過目前還沒有發(fā)現(xiàn)磁荷、磁單極子磷蛹，所以高斯磁場定律的右邊就是一個0吮旅。我們再想一想：為什么這種高斯XX定律能夠成立？為什么通過任意閉合曲面的某種通量會剛好是某種量的一個量度味咳？

? ? ? 原因還在它們的“平方反比”上庇勃。因為電場強度和磁感應強度都是跟距離的平方成反比，而表面積是跟距離的平方正比槽驶，所以你前者減小多少责嚷，后者就增加多少。那么掂铐，如果有一個量的表示形式是前者和后者的乘積罕拂，那么它的總量就會保持不變。而通量剛好就是XX強度和表面積的乘積全陨，所以電通量爆班、磁通量就都會有這樣的性質。

? ? ? ? 所以辱姨，再深思一下你就會發(fā)現(xiàn)：只要一種力的強度是跟距離平方成反比柿菩，那么它就可以有類似的高斯XX定律，比如引力炮叶，我們一樣可以找到對應的高斯定律碗旅。數(shù)學王子高斯當年發(fā)現(xiàn)了高斯定理渡处，我們把它應用在物理學的各個領域，就得到了各種高斯XX定律祟辟。麥克斯韋方程組總共就四個方程医瘫，就有兩個高斯定律，可見其重要性旧困。

? ? ? ? 靜電和靜磁方面的事情就先說這么多醇份，還有疑問的請咨詢高斯，畢竟這是人家獨家冠名的產(chǎn)品吼具。接下來我們來看看電和磁之間的交互僚纷，看看磁是如何生電，電是如何生磁的拗盒。說到磁如何生電怖竭，那就肯定得提到法拉第。奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應之后陡蝇，大家秉著對稱性的精神痊臭，認為磁也一定能夠生電，但是磁到底要怎樣才能生電呢登夫？不知道广匙，這就得做實驗研究了。

10電磁感應

? ? ? ? 既然是要做實驗看磁如何生電恼策，那首先肯定得有一個磁場鸦致。這個簡單，找兩塊N極和S極相對的磁鐵涣楷，這樣它們之間就會有一個磁場分唾。我再拿一根金屬棒來，看看它有沒有辦法從磁場中弄出電來总棵。因為金屬棒是導電的鳍寂，所以我把它用導線跟一個檢測電流的儀器連起來，如果儀器檢測到了電流情龄，那就說明磁生電成功了迄汛。

? ? ? ? 法拉第做了很多這樣的實驗，他發(fā)現(xiàn)：你金屬棒放在那里不動骤视，是不會產(chǎn)生電流的（這是自然鞍爱，否則你就是憑空產(chǎn)生了電，能量就不守恒了专酗。你要這樣能發(fā)電睹逃，那我買塊磁鐵回家，就永遠不用再交電費了）。

? ? ? ? 然后沉填，他發(fā)現(xiàn)金屬棒在那里動的時候疗隶，有時候能產(chǎn)生電流，有時候不能產(chǎn)生翼闹，你要是順著磁感線的方向運動（在上圖就是左右運動）就沒有電流斑鼻，但是你要是做切割磁感線的運動（在上圖就是上下運動）它就能產(chǎn)生電流。打個通俗的比喻：如果把磁感線想象成一根根面條猎荠，你只有把面條（磁感線）切斷了才會產(chǎn)生電流坚弱。

? ? ? ? 再然后，他發(fā)現(xiàn)金屬棒在磁場里不動雖然不會產(chǎn)生電流关摇，但是如果這時候我改變一下磁場的強度荒叶，讓磁場變強或者變弱一些，即便金屬棒不動也會產(chǎn)生電流输虱。

? ? ? ? 法拉第仔細總結了這些情況些楣，他發(fā)現(xiàn)不管是金屬棒運動切割磁感線產(chǎn)生電流，還是磁場強度變化產(chǎn)生電流悼瓮，都可以用一個通用的方式來表達：只要閉合回路的磁通量發(fā)生了改變空幻，就會產(chǎn)生電流垫卤。我們想想，磁通量是磁場強度B和面積a的乘積（B·a）谴返，我切割磁感線其實是相當于改變了磁感線通過回路的面積a冠桃，改變磁場強度就是改變了B命贴。不管我是改變了a還是B，它們的乘積B·a（磁通量）肯定都是要改變的食听。

? ? ? ? 也就是說：只要通過曲面（我們可以把閉合回路當作一個曲面）的磁通量發(fā)生了改變胸蛛，回路中就會產(chǎn)生電流，而且磁通量變化得越快樱报，這個電流就越大葬项。

? ? ? ? 到了這里，我們要表示通過一個曲面的磁通量應該已經(jīng)輕車熟路了迹蛤。磁通量是B·a民珍，那么通過一個曲面S的磁通量給它套一個積分符號就行了。于是盗飒，通過曲面S磁通量可以寫成下面這樣：

? ? ? ? 細心的同學就會發(fā)現(xiàn)這個表達式跟我們高斯磁場定律里磁通量部分稍微有點不一樣嚷量，高斯磁場定律里的積分符號（拉長的S）中間有一個圓圈，我們這里卻沒有逆趣。高斯磁場定律說“閉合曲面的磁通量恒為0”蝶溶，那里的曲面是閉合曲面，所以有圓圈宣渗。而我們這里的曲面并不是閉合曲面（我們是把電路回路當成一個曲面抖所，考慮通過這個回路的磁通量）梨州，也不能是閉合曲面。因為法拉第就是發(fā)現(xiàn)了“通過一個曲面的磁通量有變化就會產(chǎn)生電流”田轧，如果這是閉合曲面摊唇，那根據(jù)高斯磁場定律它的磁通量恒為0，恒為0那就是沒有變化涯鲁，沒變化按照法拉第的說法就沒有電流巷查，那還生什么電？

? ? ? ? 所以抹腿，我們要搞清楚岛请，我們這里不再是討論閉合曲面的磁通量，而是一個非閉合曲面的磁通量警绩，這個磁通量發(fā)生了改變就會產(chǎn)生電流崇败，而且變化得越快產(chǎn)生的電流就越大。上面的式子給出的只是通過一個曲面S的磁通量肩祥，但是我們看到了最終決定電流大小的并不是通過曲面的磁通量的大小后室，而是磁通量變化的快慢。那么這個變化的快慢我們要怎么表示呢混狠？

? ? ? ? 我們先來看看我們是怎么衡量快慢的岸霹。比如身高，一個人在十二三歲的時候一年可以長10厘米将饺，我們說他這時候長得快贡避；到了十七八歲的時候可能一年就長1厘米，我們就說他長得慢予弧。也就是說刮吧，我們衡量一個量（假設身高用y表示）變化快慢的方法是：給定一個變化的時間dt（比如一年，或者更幸锤颉）杀捻，看看這個量的變化dy是多少，如果這個量的變化很大我們就說它變化得很快蚓庭，反之則變化得慢致讥。

? ? ? ? 因此，我們可以用這個量的變化dy和給定的時間dt的比值dy/dt來衡量量這個量y變化的快慢彪置。所以拄踪，我們現(xiàn)在要衡量磁通量變化的快慢，那就只需要把磁通量的表達式替換掉上面的y就行了拳魁，那么通過曲面S的磁通量變化的快慢就可以這樣表示：

? ? ? ? 這樣惶桐，我們就把磁生電這個過程中磁的這部分說完了，那么電呢？一個閉合回路（曲面）的磁通量有變化就會產(chǎn)生電姚糊，那這種電要怎么描述贿衍？

11電場的環(huán)流

? ? ? 可能有人覺得磁通量的變化不是在回路里產(chǎn)生了電流么，那么我直接用電流來描述這種電不就行了么救恨？不行贸辈，我們的實驗里之所以有電流，是因為我們用導線把金屬棒連成了一個閉合回路肠槽，如果我們沒有用導線去連金屬棒呢擎淤？那肯定就沒有電流了。

? ? ? ? 所以秸仙，電流并不是最本質的東西嘴拢，那個最本質的東西是電場。一個曲面的磁通量發(fā)生了變化寂纪，它就會在這個曲面的邊界感生出一個電場席吴，然后這個電場會驅動導體中的自由電子定向移動，從而形成電流捞蛋。因此孝冒，就算沒有導線沒有電流，這個電場依然存在拟杉。所以庄涡，我們要想辦法描述的是這個被感生出來的電場。

? ? ? ? 首先捣域，一個曲面的磁通量發(fā)生了改變啼染，就會在在曲面的邊界感應出一個電場，這個電場是環(huán)繞著磁感線的焕梅，就像是磁感線的腰部套了一個呼啦圈。而且卦洽，你這個磁通量是增大還是減小贞言，決定了這個電場是順時針環(huán)繞還是逆時針環(huán)繞，如下圖：

? ? ? ? 如果我們從上往下看的話阀蒂，這個成閉環(huán)的感生電場就是如下圖所示：它在這個閉環(huán)每點的方向都不一樣该窗，這樣就剛好可以沿著回路驅動帶電粒子，好像是電場在推著帶電粒子在這里環(huán)里流動一樣蚤霞。

? ? ? ? 這里酗失，我們就要引入一個新的概念：電場環(huán)流，電場的環(huán)流就是電場沿著閉合路徑的線積分昧绣。這里有兩個關鍵詞：閉合路徑和線積分规肴。閉合路徑好說，你只有路徑是閉合的，才是一個環(huán)嘛拖刃，感生電場也是一個環(huán)狀的電場删壮。

? ? ? ? 電場的線積分是什么意思呢？因為我們發(fā)現(xiàn)這個感生電場是一個環(huán)狀電場兑牡，它在每一個點的方向都不一樣央碟。但是，我們依然可以發(fā)動微積分的思想：這個電場在大范圍內（比如上面的整個圓環(huán)）方向是不一樣的均函，但是亿虽，如果在圓環(huán)里取一個非常小的段dl，電場E就可以看做是一個恒定的了苞也，這時候E·dl就是有意義的了洛勉。然后把這個環(huán)上所有部分的E·dl都累加起來，也就是沿著這個圓環(huán)逐段把E·dl累加起來墩朦，這就是對電場求線積分坯认。而這個線積分就是電場環(huán)流，用符號表示就是這樣：

? ? ? ? 積分符號下面的C表示這是針對曲線進行積分氓涣，不同于我們前面的面積分（下標為S）牛哺，積分符號中間的那個圓圈就表示這個是閉合曲線（電場形成的圓環(huán)）。如果大家已經(jīng)熟悉了前面曲面通量的概念劳吠，我想這里要理解電場在曲線上的積分（即電場環(huán)流）并不難引润。

? ? ? ? 這個電場環(huán)流有什么物理意義呢？它就是我們常說電動勢痒玩，也就是電場對沿著這條路徑移動的單位電荷所做的功淳附。我這里并不想就這個問題再做深入的討論，大家只要直觀的感覺一下就行了蠢古。你想想這個電場沿著這個回路推動電荷做功（電場沿著回路推著電荷走奴曙，就像一個人拿著鞭子抽磨磨的驢），這就是電場環(huán)流要傳遞的概念草讶。而用這個概念來描述變化的磁產(chǎn)生的電是更加合適的洽糟，它既包含了感生電場的大小信息，也包含了方向信息堕战。

12方程三：法拉第定律

? ? ? ? 所以坤溃，麥克斯韋方程組的第三個方程——法拉第定律的最后表述就是這樣的：曲面的磁通量變化率等于感生電場的環(huán)流。用公式表述就是這樣：

? ? ? ? 方程右邊的磁通量的變化率和和左邊的感生電場環(huán)流我們上面都說了嘱丢，還有一個需要說明的地方就是公式右邊的這個負號薪介。為什么磁通量的變化率前面會有個負號呢？

? ? ? ? 我們想想越驻，法拉第定律說磁通量的變化會感生出一個電場出來汁政，但是我們別忘了奧斯特的發(fā)現(xiàn)：電流是有磁效應的道偷。也就是說，磁通量的變化會產(chǎn)生一個電場烂完，這個電場它自己也會產(chǎn)生磁場试疙，那么也就有磁通量。那么抠蚣，你覺得這個感生電場產(chǎn)生的磁通量跟原來磁場的磁通量的變化會有什么關系祝旷？

? ? ? ? 假如原來的磁通量是增加的，那么這個增加的磁通量感生出來的電場產(chǎn)生的磁通量是跟原來方向相同還是相反嘶窄？仔細想想你就會發(fā)現(xiàn)怀跛，答案必然是相反。如果原來的磁通量是增加的柄冲，你感生出來的電場產(chǎn)生的磁通量還跟它方向相同吻谋，這樣不就讓原來的磁通量增加得更快了么？增加得更快现横，按照這個邏輯就會感生出更強大的電場漓拾，產(chǎn)生更大的與原來方向相同的磁通量，然后又導致原來的磁通量增加得更快……

? ? ? ? 然后你會發(fā)現(xiàn)這個過程可以無限循環(huán)下去戒祠，永遠沒有盡頭骇两，這樣慢慢感生出無限大的電場和磁通量，這肯定是不可能的姜盈。所以低千，為了維持一個系統(tǒng)的穩(wěn)定，你原來的磁通量是增加的馏颂，我感生電場產(chǎn)生的磁通量就必然要讓原來的磁通量減小示血，反之亦然。這就是楞次定律的內容救拉，中學的時候老師會編一些口訣讓你記住它的內容难审，但是我想讓你知道這是一個穩(wěn)定系統(tǒng)自然而然的要求。楞次定律背后還有一些更深層次的原因亿絮，這里我們暫時只需要知道這是法拉第定律那個負號的體現(xiàn)就行了剔宪。

? ? ? ? 到這里，我們就把麥克斯韋方程組的第三個方程——法拉第定律的內容講完了壹无，它刻畫了變化的磁通量如何產(chǎn)生電場的過程。但是感帅，我們上面也說了斗锭，我們這里的磁通量變化包含了兩種情況：導體運動導致的磁通量變化和磁場變化導致的磁通量變化。這兩種情況其實是不一樣的失球，但是它們居然又可以用一個統(tǒng)一的公式來表達岖是，這其實是非常不自然的帮毁，當時的人們也只是覺得這是一種巧合罷了，但是愛因斯坦卻不認為這是一種巧合豺撑，而是大自然在向我們暗示什么烈疚，他最終從這里發(fā)現(xiàn)了狹義相對論，有興趣的同學可以這里思考一下聪轿。

? ? ? ? 也因為這兩種情況不一樣爷肝，所以，法拉第定律還有另外一個版本：它把這兩種情況做了一個區(qū)分陆错，認為只有磁場變化導致的磁通量變化才是法拉第定律灯抛，前面導體運動導致的磁通量變化只是通量法則。所以我們有時候就會看到法拉第定律的另一個版本：

? ? ? ? 對比一下這兩個法拉第定律音瓷，我們發(fā)現(xiàn)后面這個只是把那個變化率從原來的針對整個磁通量移到了只針對磁場強度B（因為B不是只跟時間t有關对嚼，還可以跟其它的量有關，所以我們這里必須使用對時間的偏導的符號?B/?t）绳慎，也就是說它只考慮變化磁場導致的磁通量變化纵竖。這種形式跟我們后面要說的法拉第定律的微分形式對應得更好，這個后面大家會體會到杏愤。

? ? ? ? 磁生電的過程我們先講這么多靡砌，最后我們來看看電生磁的情況∩睿可能有些人會覺得我這個出場次序有點奇怪：明明是奧斯特先發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應乏奥，大概十年后法拉第才發(fā)現(xiàn)了磁如何生電，為什么你卻要先講磁生電的法拉第定律亥曹，最后講電生磁呢邓了？

13安培環(huán)路定理

? ? ? ? 確實，是奧斯特首先爆炸性地發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應媳瞪，發(fā)現(xiàn)了原來電和磁之間并不是毫無關系的骗炉。

? ? ? ? 如上圖，假設電流從下往上蛇受，那么它在周圍就會產(chǎn)生這樣一個環(huán)形的磁場句葵。磁場的方向可以用所謂的右手定則直觀的判斷：手握著導線，拇指指向電流的方向兢仰，那么你右手四指彎曲的方向就是磁場B的方向乍丈。

? ? ? ? 然后畢奧、薩伐爾和安培等人立馬著手定量的研究電流的磁效應把将，看看一定大小的電流在周圍產(chǎn)生的磁場的大小是怎樣的轻专。于是，我們就有了描述電流磁效應的畢奧-薩伐爾定律和安培環(huán)路定理察蹲。其中请垛，畢奧-薩伐爾定律就類似于庫倫定律催训，安培環(huán)路定理就類似于高斯電場定律，因為在麥克斯韋方程組里宗收，我們使用的是后一套語言漫拭，所以我們這里就只來看看安培環(huán)路定理：

? ? ? ? 安培環(huán)路定理的左邊跟法拉第定律的左邊很相似，這是很顯然的混稽。因為法拉第定律說磁通量的變化會在它周圍產(chǎn)生一個旋轉閉合的電場采驻，而電流的磁效應也是在電流的周圍產(chǎn)生一個旋轉閉合的磁場。在上面我們已經(jīng)說了我們是用電場環(huán)流（也就是電場在閉合路徑的線積分）來描述這個旋轉閉合的電場荚坞，那我們這里一樣使用磁場環(huán)流（磁場在閉合路徑的線積分）來描述這種旋轉閉合的磁場挑宠。

? ? ? ? 安培環(huán)路定理的右邊就比較簡單了，μ0是個常數(shù)（真空磁導率）颓影，不用管它各淀。I通常是用來表示電流的，enc這個右標我們在高斯電場定律那里已經(jīng)說過了诡挂，它是包含的意思碎浇。所以，右邊這個帶enc的電流I就表示被包含在閉合路徑里的總電流璃俗，哪個閉合路徑呢奴璃？那自然就是你左邊積分符號中間那個圈圈表示的閉合路徑了。

? ? ? ? 也就是說城豁，安培環(huán)路定理其實是在告訴我們：通電導線周圍會產(chǎn)生旋轉磁場苟穆，你可以在這個電流周圍隨便畫一個圈，那么這個磁場的環(huán)流（沿著這個圈的線積分）就等于這個圈里包含的電流總量乘以真空磁導率唱星。

? ? ? 那么雳旅，這樣就完了么？靜電间聊、靜磁分別由兩個高斯定律描述攒盈，磁生電由法拉第定律描述，電生磁就由安培環(huán)路定理描述哎榴？

? ? ? ? 不對型豁，我們看看安培環(huán)路定理，雖然它確實描述了電生磁尚蝌，但是它這里的電僅僅是電流（定理右邊只有電流一項）迎变。難道一定要有電流才會產(chǎn)生磁？電磁感應被發(fā)現(xiàn)的原因就是看到奧斯特發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應飘言，發(fā)現(xiàn)電能生磁氏豌，所以人們秉著對稱性的原則，覺得既然電能夠生磁热凹，那么磁也一定能夠生電泵喘。那么，繼續(xù)秉著這種對稱性般妙，既然法拉第定律說“變化的磁通量能夠產(chǎn)生電”纪铺，那么，我們實在有理由懷疑：變化的電通量是不是也能產(chǎn)生磁呢碟渺？

14方程四：安培-麥克斯韋定律

? ? ? ? 那么鲜锚，為什么描述電生磁的安培環(huán)路定理里卻只有電流產(chǎn)生磁，而沒有變化的電通量產(chǎn)生磁這一項呢苫拍？難道當時的科學家們沒意識到這種對稱性么芜繁？當然不是，當時的科學家們也想從實驗里去找到電通量變化產(chǎn)生磁場的證據(jù)绒极，但是他們并沒有找到骏令。沒有找到依然意味著有兩種可能：不存在或者目前的實驗精度還發(fā)現(xiàn)不了它。

? ? ? ? 如果你是當時的科學家垄提，面對這種情況你會作何選擇榔袋？如果你因為實驗沒有發(fā)現(xiàn)它就認為它不存在，這樣未免太過保守铡俐。但是凰兑，如果你僅僅因為電磁之間的這樣一種對稱性（而且還不是非常對稱，因為大自然里到處充滿了獨立的電荷审丘，卻沒有單獨的磁單極子）就斷定“電通量的變化也一定會產(chǎn)生磁”這樣未免太過草率吏够。這種時候就是真正考驗一個科學家能力和水平的時候了。

? ? ? ? 麥克斯韋選擇了后者滩报，也就是說麥克斯韋認為“變化的電通量也能產(chǎn)生磁”锅知，但是他并不是隨意做了一個二選一的選擇，而是在他的概念模型里發(fā)現(xiàn)必須加入這樣一項露泊。而且喉镰，只有加上了這樣一項，修正之后的安培環(huán)路定理才能跟高斯電場定律惭笑、高斯磁場定律侣姆、法拉第定律融洽相處，否則他們之間會產(chǎn)生矛盾（這個矛盾我們在后面的微分篇里再說）沉噩。麥克斯韋原來的模型太過復雜捺宗，我這里就不說了，這里我用一個很簡單的例子告訴大家為什么必須要加入“變化的電通量也能產(chǎn)生磁”這一項川蒙。

? ? ? ? 在安培環(huán)路定理里蚜厉，我們可以隨意選一個曲面，然后所有穿過這個曲面的電流會在這個曲面的邊界上形成一個環(huán)繞磁場畜眨，問題的關鍵就在這個曲面的選取上昼牛。按理說术瓮，只要你的這個曲面邊界是一樣的，那么曲面的其他部分就隨便你選贰健，因為安培環(huán)路定理坐標的磁場環(huán)流只是沿著曲面的邊界的線積分而已胞四，所以它只跟曲面邊界有關。下面這個例子就會告訴你即便曲面邊界一樣伶椿，使用安培環(huán)路定理還是會做出相互矛盾的結果辜伟。

? ? ? ? 上圖是一個包含電容器的簡單電路。電容器顧名思義就是裝電的容器脊另，它可以容納一定量的電荷导狡。一開始電容器是空的，當我們把開關閉合的時候偎痛，電荷在電池的驅動下開始移動旱捧，移動到了電容器這里就走不動了（此路不通），然后電荷們就聚集在電容器里看彼。因為電容器可以容納一定量的電荷廊佩，所以，當電容器還沒有被占滿的時候靖榕，電荷是可以在電路里移動的标锄，電荷的移動就表現(xiàn)為電流。

? ? ? ? 所以茁计，我們會發(fā)現(xiàn)當我們在給電容器充電的時候料皇，電路上是有電流的，但是電容器之間卻沒有電流星压。所以践剂，如果我們選擇上圖的曲面，那么明顯是有電流穿過這個曲面娜膘，但是逊脯，如果我們選擇下面這個曲面呢（此處圖片來自《麥克斯韋方程直觀》）？

? ? ? ? 這個曲面的邊界跟上圖一樣竣贪，但是它的底卻托得很長军洼，蓋住了半塊電容器。這是什么意思呢演怎？因為我們知道電容器在充電的時候匕争，電容器里面是沒有電流的，所以爷耀，當我們把曲面選擇成下面這個樣子的時候甘桑，根本就沒有電流穿過這個曲面。

? ? ? ? 也就是說，如果我選上面的曲面跑杭，有電流穿過曲面铆帽，按照安培環(huán)路定理，它是肯定會產(chǎn)生一個環(huán)繞磁場的艘蹋。但是锄贼，如果我選擇下面的曲面，就沒有電流通過這個曲面女阀，按照安培環(huán)路定理就不會產(chǎn)生環(huán)繞磁場。而安培環(huán)路定理只限定曲面的邊界屑迂，并不管你曲面的其它地方浸策，于是我們就看到這兩個相同邊界的曲面會得到完全不同的結論，這就只能說明：安培環(huán)路定理錯了惹盼，或者至少它并不完善庸汗。

? ? ? ? 我們再來想一想，電容器在充電的時候電路中是有電流的手报，所以它周圍應該是會產(chǎn)生磁場的蚯舱。但是，當我們選擇下面那個大口袋形的曲面的時候掩蛤，并沒有電流穿過這個曲面枉昏。那么，到底這個磁場是怎么來的呢揍鸟？

? ? ? ? 我們再來仔細分析一下電容器充電的過程：電池驅使著電荷不斷地向電容器聚集兄裂，電容器中間雖然沒有電流，但是它兩邊聚集的電荷卻越來越多阳藻。電荷越來越多的話晰奖，在電容器兩個夾板之間的電場強度是不是也會越來越大？電場強度越來越大的話腥泥，有沒有嗅到什么熟悉的味道匾南？

? ? ? ? 沒錯，電場強度越來越大蛔外，那么通過這個曲面的電通量也就越來越大蛆楞。因此，我們可以看到雖然沒有電流通過這個曲面冒萄，但是通過這個曲面的電通量卻發(fā)生了改變臊岸。這樣，我們就可以非常合理地把“變化的電通量”這一項也添加到產(chǎn)生磁場的原因里尊流。因為這項工作是麥克斯韋完成的帅戒，所以添加了這一項之后的新公式就是麥克斯韋方程組的第四個方程——安培-麥克斯韋定律：

? ? ? ? 把它和安培環(huán)路定理對比一下，你就會發(fā)現(xiàn)它只是在在右邊加了變化的電通量這一項，其它的都原封未動逻住。E·a是電通量钟哥，套個面積分符號就表示通過曲面S的電通量，再加個d/dt就表示通過曲面S電通量變化的快慢瞎访。因為在講法拉第定律的時候我們詳細講了通過曲面磁通量變化的快慢饭冬，這里只是把磁場換成了電場，其他都沒變册舞。

? ? ? ? ε0是真空中的介電常數(shù)趾代，把這個常數(shù)和電通量變化的快慢乘起來就會得到一個跟電流的單位相同的量，它就被稱為位移電流伴奥，如下圖：

? ? ? ? 所以写烤，我們經(jīng)常能夠聽到別人說麥克斯韋提出了位移電流假說。其實拾徙，它的核心就是添加了“變化的電通量也能產(chǎn)生磁場”這一項洲炊，因為當時并沒有實驗能證明這一點，所以只能暫時稱之為假說尼啡。在安培環(huán)路定理里添加了這一項之后暂衡，新生的安培-麥克斯韋定律就能跟其他的幾條定律和諧相處了。而麥克斯韋之所以能夠從他的方程組里預言電磁波的存在崖瞭，這最后添加這項“變化的電通量產(chǎn)生磁場”至關重要狂巢。

? ? ? 因為你想想，預言電磁波的關鍵就是“變化的電場產(chǎn)生磁場读恃，變化的磁場產(chǎn)生電場”隧膘，這樣變化的磁場和電場就能相互感生傳向遠方，從而形成電磁波寺惫。而變化的電場能產(chǎn)生磁場疹吃，這不就是麥克斯韋添加的這一項的核心內容么？電場變了西雀，磁通量變了萨驶，于是就產(chǎn)生了磁場。至于麥克斯韋方程組如何推導出電磁波艇肴，我后面再專門寫文章解釋腔呜，這里知道電磁波的產(chǎn)生跟位移電流的假說密切相關就行了。

15麥克斯韋方程組

? ? ? ? 至此再悼，麥克斯韋方程組的四個方程：描述靜電的高斯電場定律核畴、描述靜磁的高斯磁場定律、描述磁生電的法拉第定律和描述電生磁的安培-麥克斯韋定律的積分形式就都說完了冲九。把它們都寫下來就是這樣：

高斯電場定律說穿過閉合曲面的電通量正比于這個曲面包含的電荷量谤草。

高斯磁場定律說穿過閉合曲面的磁通量恒等于0。

法拉第定律說穿過曲面的磁通量的變化率等于感生電場的環(huán)流。

安培-麥克斯韋定律說穿過曲面的電通量的變化率和曲面包含的電流等于感生磁場的環(huán)流丑孩。

? ? ? ? 我們看到冀宴，在這里從始至終都占據(jù)著核心地位的概念就是通量。

? ? ? ? 如果一個曲面是閉合的温学，那么通過它的通量就是曲面里面某種東西的量度略贮。因為自然界存在獨立的電荷，所以高斯電場定律的右邊就是電荷量的大小仗岖，因為我們還沒有發(fā)現(xiàn)磁單極子逃延，所以高斯磁場定律右邊就是0。

? ? ? ? 如果一個曲面不是閉合的轧拄，那么它就無法包住什么真友，就不能成為某種荷的量度。但是紧帕，一個曲面如果不是閉合的，它就有邊界桅打，于是我們就可以看到這個非閉合曲面的通量變化會在它的邊界感生出某種旋渦狀的場是嗜，這種場可以用環(huán)流來描述。因而挺尾，我們就看到了：如果這個非閉合曲面的磁通量改變了鹅搪，就會在這個曲面的邊界感生出電場，這就是法拉第定律遭铺；如果這個非閉合曲面的電通量改變了丽柿，就會在這個曲面的邊界感生出磁場，這就是安培-麥克斯韋定律的內容魂挂。

? ? ? ? 所以甫题，當我們用閉合曲面和非閉合曲面的通量把這四個方程串起來的時候，你會發(fā)現(xiàn)麥克斯韋方程組還是很有頭緒的涂召，并不是那么雜亂無章坠非。閉上眼睛，想象空間中到處飛來飛去的電場線果正、磁場線炎码，它們有的從一個閉合曲面里飛出來，有的穿過一個閉合曲面秋泳，有的穿過一個普通的曲面然后在曲面的邊界又產(chǎn)生了新的電場線或者磁場線潦闲。它們就像漫天飛舞的音符，而麥克斯韋方程組就是它們的指揮官迫皱。

16結語

? ? ? 有很多朋友以為麥克斯韋方程組就是麥克斯韋寫的一組方程歉闰，其實不然。如我們所見，麥克斯韋方程組雖然有四個方程新娜，但是其中有三個半（高斯電場定律赵辕、高斯磁場定律、法拉第定律概龄、安培環(huán)路定理）是在麥克斯韋之前就已經(jīng)有了的还惠，真正是麥克斯韋加進去的只有安培-麥克斯韋定律里”電通量的變化產(chǎn)磁場”那一項。知道了這些私杜，有些人可能就會覺得麥克斯韋好像沒那么偉大了蚕键。

? ? ? ? 其實不然，在麥克斯韋之前衰粹，電磁學領域已經(jīng)有非常多的實驗定律锣光，但是這些定律哪些是根本，哪些是表象铝耻？如何從這一堆定律中選出最核心的幾個誊爹，然后建立一個完善自洽的模型解釋一切電磁學現(xiàn)象？這原本就是極為困難的事情瓢捉。更不用說麥克斯韋在沒有任何實驗證據(jù)的情況下频丘，憑借自己天才的數(shù)學能力和物理直覺直接修改了安培環(huán)路定理，修正了幾個定律之間的矛盾泡态，然后還從中發(fā)現(xiàn)了電磁波搂漠。所以，絲毫沒有必要因為麥克斯韋沒有發(fā)現(xiàn)方程組的全部方程而覺得他不夠偉大某弦。

? ? ? ? 最后桐汤，如題所示，我這篇文章講的只是麥克斯韋方程組的積分篇靶壮，方程都是用積分是形式寫的怔毛。因為積分篇主要是從通量，從宏觀的角度來描述電磁學亮钦，所以相對比較容易理解馆截。有積分篇那就意味著還有麥克斯韋方程組的微分篇，微分篇的內容我下一篇文章再講蜂莉。我這篇文章主要參考了《電動力學導論》（格里菲斯）和《麥克斯韋方程直觀》（Daniel Fleisch）蜡娶，大家想對麥克斯韋方程組做進一步了解的可以看看這兩本書。

最美的方程映穗，愿你能懂她的美~