內(nèi)積

一屈雄、歐幾里得空間

定義：設(shè) $\boldsymbol{V}$ 是實數(shù)域 $\mathbb{R}$ 的線性空間村视，映射 $\tau: \boldsymbol{V}\times\boldsymbol{V}\rightarrow\mathbb{R}$ 稱為 $\boldsymbol{V}$ 上的內(nèi)積（Inner product），記作 $<\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2>$ 酒奶，滿足:

對稱性： $<\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2>=<\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_1>$
對第二個元素的線性性： $<\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2k+\boldsymbol{v}_3l>=<\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2>k+<\boldsymbol{v_1,\boldsymbol{v}_3}>l$
正定性蚁孔，非零向量 $\boldsymbol{v}$ 跟自己的內(nèi)積是大于0的， $<\boldsymbol{v},\boldsymbol{v}>\ >\ 0$

對于第二條性質(zhì)的解釋惋嚎，內(nèi)積本來是一個二元函數(shù)杠氢，當將第一個參數(shù)固定住，就變成了關(guān)于第二個參數(shù)的一元函數(shù)另伍，此時這個函數(shù)是一個線性函數(shù)（映射）鼻百，即 $<\boldsymbol{v}_1,\cdot>\rightarrow\mathbb{R}$ 這個映射是線性的，線性組合的像等于像的線性組合摆尝。

在 $\mathbb{R}$ 上線性空間上定義了內(nèi)積温艇，就稱為內(nèi)積空間，若空間是有限維的堕汞，則稱為歐幾里得空間勺爱。

$<\boldsymbol{0}, \boldsymbol{v}>=<\boldsymbol{v},\boldsymbol{0}>=<\boldsymbol{v},\boldsymbol{0+0}>=<\boldsymbol{v},\boldsymbol{0}>+<\boldsymbol{v},\boldsymbol{0}>\Rightarrow<\boldsymbol{0},\boldsymbol{v}>=0$

$\mathbb{R}^n$ 上的標準內(nèi)積

$\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ 計算為： $<\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}>=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{y}=\sum_{k=1}^nx_iy_i$ 證明這是不是內(nèi)積，就挨個check一下那三條性質(zhì)讯检。

函數(shù)的內(nèi)積

連續(xù)函數(shù)空間 $\boldsymbol{V}=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}^n)$ 琐鲁，設(shè)兩個向量 $\boldsymbol{f}(t),\boldsymbol{g}(t)$ 卫旱，其中 $\boldsymbol{f}(t)=\left[ \begin{matrix} f_1(t)\\f_2(t)\\\vdots\\f_n(t) \end{matrix} \right], \boldsymbol{g}(t)=\left[ \begin{matrix} g_1(t)\\g_2(t)\\\vdots\\g_n(t) \end{matrix} \right],t\in[a,b]$ 定義內(nèi)積 $<\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}>=\int_a^b\boldsymbol{f}^T\boldsymbol{g}\ dt=\int_a^b\sum_{k=1}^nf_i(t)g_i(t)dt$

二、復(fù)內(nèi)積和酉空間（Unitary Space围段，也稱為辛空間）

定義：設(shè) $\boldsymbol{V}$ 是 $\mathbb{C}$ 上的線性空間顾翼，復(fù)內(nèi)積： $\boldsymbol{V}\times\boldsymbol{V}\rightarrow\mathbb{C}$ 滿足:

$<\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2>=\overline{<\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_1>}$
對第二個元素的線性性
正定性： $<\boldsymbol{v},\boldsymbol{v}>\in\mathbb{R}$ 且大于0

有限維的復(fù)內(nèi)積空間稱為酉空間。

對第一個元素是共軛線性的： $<k\boldsymbol{v}_1+l\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3>=\overline{<\boldsymbol{v}_3,k\boldsymbol{v}_1+l\boldsymbol{v}_2>}=\overline{<\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_1>k+<\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_2>l}\\=\overline{<\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_1>}\overline{k}+\overline{<\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_2>}\overline{l}=\overline{k}<\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2>+\overline{l}<\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3>$

標準酉空間 $\mathbb{C}^n$

在 $\mathbb{C}^n$ 上定義復(fù)內(nèi)積 $<\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2>=\overline{\boldsymbol{v}_1}^T\boldsymbol{v}_2=\sum_{k=1}^n\overline{x}_iy_i$

線性組合的內(nèi)積的矩陣表示： $\left<\sum_{i=1}^s\boldsymbol{\alpha}_ik_i,\sum_{i=1}^t\boldsymbol{\beta}_il_i\right>=[\overline{k_1},\overline{k_2},\cdots,\overline{k_s}]\left[ \begin{matrix} <\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\beta}_1>&<\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\beta}_2>&\cdots&<\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\beta}_t>\\<\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\beta}_1>&<\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\beta}_2>&\cdots&<\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\beta}_t>\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\<\boldsymbol{\alpha}_s,\boldsymbol{\beta}_1>&<\boldsymbol{\alpha}_s,\boldsymbol{\beta}_2>&\cdots&<\boldsymbol{\alpha}_s,\boldsymbol{\beta}_t> \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} l_1\\l_2\\\vdots\\l_t \end{matrix} \right]=\sum_{i=1}^s\sum_{i=1}^t\overline{k_i}<\boldsymbol{\alpha}_i,\boldsymbol{\beta}_j>l_j$

Gram矩陣

設(shè) $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s$ 是內(nèi)積空間的一個向量組奈泪，則矩陣 $G(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s)=\left[ \begin{matrix} <\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\beta}_1>&<\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2>&\cdots&<\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_t>\\<\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_1>&<\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_2>&\cdots&<\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_t>\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\<\boldsymbol{\beta}_s,\boldsymbol{\beta}_1>&<\boldsymbol{\beta}_s,\boldsymbol{\beta}_2>&\cdots&<\boldsymbol{\beta}_s,\boldsymbol{\beta}_t> \end{matrix} \right]$ 其中基向量組的Gram矩陣稱為度量矩陣适贸。

性質(zhì)：

Hermit性： $\overline{\boldsymbol{G}}^T=\boldsymbol{G}$ ，證明簡單段磨， $<\boldsymbol{\beta}_i,\boldsymbol{\beta}_j> = \overline{<\boldsymbol{\beta}_j,\boldsymbol{\beta}_i>}$
非負定性： $\forall \boldsymbol{z}\in\mathbb{C}^s$ 取逾，有 $\overline{\boldsymbol{z}}^T\boldsymbol{G}\boldsymbol{z}\ge 0$ ，證明： $\left[\overline{z_1},\overline{z_2},\cdots,\overline{z_s}\right]\left[\begin{matrix} <\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_1>&<\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2>&\cdots&<\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_s>\\<\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_1>&<\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_2>&\cdots&<\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_s>\\\vdots&\vdots\vdots&\ddots&\vdots\\<\boldsymbol{\beta}_s,\boldsymbol{\beta}_1>&<\boldsymbol{\beta}_s,\boldsymbol{\beta}_2>&\cdots&<\boldsymbol{\beta}_s,\boldsymbol{\beta}_s > \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}z_1\\z_2\\\vdots\\z_s\end{matrix}\right] =\left< \sum_{k=1}^sz_k\boldsymbol{\beta}_k,\sum_{k=1}^sz_k\boldsymbol{\beta}_k \right>\ge 0$
$\boldsymbol{G}$ 正定 $\Leftrightarrow$ 向量組 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s$ 線性無關(guān)苹支，證明：設(shè) $\boldsymbol{z}\ne\boldsymbol{0}$ ，則 $\sum_{k=1}^sz_k\boldsymbol{\beta}_k\ne0$ 误阻，再根據(jù)上一條性質(zhì)即可證明债蜜。
$rank(\boldsymbol{G})=rank(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s)$

在 $\mathbb{C}^n$ 上的Gram矩陣，有一個向量組 $\boldsymbol{B}_{n\times s}=[\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s]$ 究反，這里是具體的向量寻定，不是抽象的，則 $\boldsymbol{G}(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s) = \overline{\boldsymbol{B}}^T\boldsymbol{B }$ 精耐，證明： $(\overline{\boldsymbol{B}}^T\boldsymbol{B})_{ij}=\overline{\boldsymbol{\beta}_i}^T\boldsymbol{\beta}_j=<\boldsymbol{\beta}_i,\boldsymbol{\beta}_j>=\boldsymbol{G}_{ij}$

設(shè) $f,g \in \boldsymbol{V} = \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ 狼速，其中 $<f,g>=\int_a^bf(t)g(t)dt$ ，Gram矩陣 $\boldsymbol{G}(\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2,\cdots,\boldsymbol{f}_s)=\left[ \begin{matrix} \displaystyle\int_a^bf_1(t)f_1(t)dt & \displaystyle\int_a^bf_1(t)f_2(t)dt&\cdots&\displaystyle\int_a^bf_1(t)f_s(t)\\\displaystyle\int_a^bf_2(t)f_1(t)dt&\displaystyle\int_a^bf_2(t)f_2(t)dt&\cdots&\displaystyle\int_a^bf_2(t)f_s(t)dt\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\displaystyle\int_a^bf_s(t)f_1(t)dt&\displaystyle\int_a^bf_s(t)f_2(t)dt&\cdots&\displaystyle\int_a^bf_s(t)f_s(t)dt \end{matrix} \right]$

三卦停、向量的長度和距離

定義： $\left\| \boldsymbol{\alpha} \right\| = \sqrt[]{\left<\boldsymbol{\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha}}\right>}\\ d(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=\left\| \boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\beta } \right\|$

正性： $\left\| \boldsymbol{\alpha} \right\| \ge 0$ 向胡，iff $\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}$ 時， $\|\boldsymbol{\alpha}\|=0$
正齊性： $\|k\boldsymbol{\alpha}\|=|k|\|\boldsymbol{\alpha}\|$
三角不等式： $\|\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\|\ge\|\boldsymbol{\alpha}\|+\|\boldsymbol{\beta}\|$
Cauchy-Schwarz不等式： $|\left<\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\right>|\le \|\boldsymbol{\alpha}\|\cdot\|\boldsymbol{\beta}\|$
平行四邊形公式： $\|\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\|^2+\|\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\beta}\|^2=2\left( \|\boldsymbol{\alpha}\|^2+\|\boldsymbol{\beta}\|^2 \right)$

證明Cauchy-Schwarz不等式： $\left<\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\right>=|\left<\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\right>|e^{i\theta}$ 兩邊乘以 $e^{i\theta}$ 的倒數(shù) $\left< \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta} \right>e^{-i\theta}=|\left<\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta }\right>|\\\Rightarrow\left<\boldsymbol{\alpha}e^{i\theta},\boldsymbol{\beta}\right>=|\left<\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta }\right>|\in\mathbb{R}$ 設(shè) $\boldsymbol{\alpha}e^{i\theta}=\boldsymbol{\alpha}'$ 惊完，要證明 $\left<\boldsymbol{\alpha}',\boldsymbol{\beta}\right>\le\|\boldsymbol{\alpha}'\|\cdot\|\boldsymbol{\beta}\|$ 僵芹，則 $左邊=|\left<\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\right>| \\右邊=\|\boldsymbol{\alpha}e^{i\theta}\|\cdot\|\boldsymbol{\beta}\|=\|\boldsymbol{\alpha}\|\|\boldsymbol{\beta}\|$ 等號成立的條件是 $\boldsymbol{\alpha}$ 和 $\boldsymbol{\beta}$ 線性相關(guān)。

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