小結(jié)
- 分塊矩陣
- 分塊矩陣運(yùn)算
- 分塊矩陣的逆
分塊矩陣
矩陣![\boldsymbol{A} = \left[\begin{array}{ccc|cc|c} 3 & 0 & -1 & 5 & 9 & -2 \\ -5 & 2 & 4 & 0 & -3 & 1 \\ \hline -8 & -6 & 3 & 1 & 7 & -4 \end{array}\right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cboldsymbol%7BA%7D%20%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Ccc%7Cc%7D%203%20%26%200%20%26%20-1%20%26%205%20%26%209%20%26%20-2%20%5C%5C%20-5%20%26%202%20%26%204%20%26%200%20%26%20-3%20%26%201%20%5C%5C%20%5Chline%20-8%20%26%20-6%20%26%203%20%26%201%20%26%207%20%26%20-4%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
语淘，也可寫成
分塊矩陣
的形狀，它的元素是分塊（子矩陣）
加法與標(biāo)量乘法
若矩陣
與
有相同維數(shù)且以相同方式分塊蜓竹，則自然有矩陣的和
也以同樣方式分塊耗绿。這時(shí)的每一個(gè)分塊恰好是和對(duì)應(yīng)分塊的（矩陣）和苹支。分塊矩陣乘以一個(gè)標(biāo)量也可以逐塊計(jì)算。
分塊矩陣的乘法
設(shè)![\boldsymbol{A} = \left[\begin{array}{ccc|cc} 2 & -3 & 1 & 0 & -4 \\ 1 & 5 & -2 & 3 & 1 \\ \hline 0 & -4 & -2 & 7 & -1 \end{array}\right]=\begin{bmatrix}\boldsymbol{A_1\!_1} & \boldsymbol{A_1\!_2} \\ \boldsymbol{A_2\!_1} & \boldsymbol{A_2\!_2}\end{bmatrix}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cboldsymbol%7BA%7D%20%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Ccc%7D%202%20%26%20-3%20%26%201%20%26%200%20%26%20-4%20%5C%5C%201%20%26%205%20%26%20-2%20%26%203%20%26%201%20%5C%5C%20%5Chline%200%20%26%20-4%20%26%20-2%20%26%207%20%26%20-1%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Cboldsymbol%7BA_1%5C!_1%7D%20%26%20%5Cboldsymbol%7BA_1%5C!_2%7D%20%5C%5C%20%5Cboldsymbol%7BA_2%5C!_1%7D%20%26%20%5Cboldsymbol%7BA_2%5C!_2%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D)
误阻，
的5列被分成3列一組和2列一組债蜜。的5行按同樣方法分塊---被分成3行一組和2行一組晴埂。我們稱和的分塊是與分塊乘法相一致的。
的乘積可以被寫成
設(shè)
和
寻定。驗(yàn)證row_1(%5Cboldsymbol%7BB%7D)%20%2B%20col_2(%5Cboldsymbol%7BA%7D)row_2(%5Cboldsymbol%7BB%7D)%20%2B%20col_3(%5Cboldsymbol%7BA%7D)row_3(%5Cboldsymbol%7BB%7D))
儒洛。
row_1(%5Cboldsymbol%7BB%7D)%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D-3%20%5C%5C%201%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7Da%20%26%20b%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D-3a%20%26%20-3b%20%5C%5C%20a%20%26%20b%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5C%5C%20%26col_2(%5Cboldsymbol%7BA%7D)row_2(%5Cboldsymbol%7BB%7D)%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%20%5C%5C%20-4%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7Dc%20%26%20d%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7Dc%20%26%20d%20%5C%5C%20-4c%20%26%20-4d%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5C%5C%20%26col_3(%5Cboldsymbol%7BA%7D)row_3(%5Cboldsymbol%7BB%7D)%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D2%20%5C%5C%205%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7De%20%26%20f%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D2e%20%26%202f%20%5C%5C%205e%20%26%205f%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5Cend%7Baligned%7D)
于是row_k(%5Cboldsymbol%7BB%7D)%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D-3a%20%2B%20c%20%2B%202e%20%26%20-3b%20%2B%20d%20%2B%202f%20%5C%5C%20a%20-%204c%20%2B%205e%20%26%20b%20-%204d%20%2B%205f%5Cend%7Bbmatrix%7D)
這個(gè)矩陣恰好就是。
定理10（的列行展開）
若是
矩陣狼速，是
矩陣琅锻，則%20%26%20%5Ccdots%20%26%20col_n(%5Cboldsymbol%7BA%7D)%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7Drow_1(%5Cboldsymbol%7BB%7D)%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5C%20row_n(%5Cboldsymbol%7BB%7D)%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5C%5C%20%26%3Dcol_1(%5Cboldsymbol%7BA%7D)row_1(%5Cboldsymbol%7BB%7D)%20%2B%20%5Ccdots%20%2B%20col_n(%5Cboldsymbol%7BA%7D)row_n(%5Cboldsymbol%7BB%7D)%5Cend%7Baligned%7D)
分塊矩陣的逆
形如
的矩陣稱為分塊上三角矩陣。設(shè)
是
矩陣向胡，
是
矩陣恼蓬。求
的表達(dá)式。
解：用表示且把它分塊捷枯，使得
滚秩。
則有：
因可逆，且所在行其余列全為
淮捆，可知必有q個(gè)主元位置郁油，故
。
攀痊。
于是
桐腌。同理
.
最后
。
苟径。
最終得：
分塊對(duì)角矩陣是一個(gè)分塊矩陣案站，除了主對(duì)角上各分塊外，其余全是零分塊棘街。這樣的一個(gè)矩陣是可逆的當(dāng)且僅當(dāng)主對(duì)角線上各分塊都是可逆的蟆盐。
