伽羅瓦理論

一预鬓、正規(guī)擴(kuò)域

在研究域 F 的代數(shù)擴(kuò)張 E 時辛蚊，首要的前提是擴(kuò)域 E 是存在的齐帚，其次還要讓所有擴(kuò)域在同一個空間叠赐，即它們之間是可運(yùn)算的偿洁。滿足這樣條件的空間便是 F 的代數(shù)閉包，使用集合論的語言轿钠，代數(shù)閉包可以描述成所有多項式的分裂域之并巢钓。這個定義合法性其實(shí)還是需要推敲的病苗，你可以結(jié)合代數(shù)擴(kuò)域的性質(zhì)自行討論，這里就先假定它的存在性症汹。其次硫朦，不同的閉包之間并不一定是互通的，下面的討論將回避這種“平行世界”的討論烈菌，將范圍限制在某個選定的代數(shù)閉包 $Ω$ 中阵幸。

即使只在某個閉包中，滿足特定條件的擴(kuò)域總也有多種選擇的方法芽世，這種將域?qū)?yīng)到閉包中的映射一般稱為域的嵌入，不同的嵌入之間稱為共軛域诡壁。它不僅給域找到了統(tǒng)一的閉包济瓢，還是研究擴(kuò)域結(jié)構(gòu)的重要方法（共軛域當(dāng)然都保持 F 完全不變）。在前面構(gòu)造單擴(kuò)域時妹卿，你可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)旺矾，構(gòu)造出的擴(kuò)域其實(shí)與根的選取無關(guān)，它們互為共軛域夺克。如果將單擴(kuò)域嵌入到閉域中箕宙，每一種嵌入方法正好對應(yīng) $f(x)$ 的一個根，這些共軛域之間可能有互異元素铺纽，也可能元素相同但嵌入的方法不同柬帕。

以上出現(xiàn)互異元素是因為，可能不是所有根都在同一個單擴(kuò)域中狡门，我們自然要問：那么不同的分裂域嵌入還會有互異元素嗎陷寝？更一般地，考察多項式集合 $S?F[x]$ 的分裂域 $E$ 其馏，假設(shè) $E$ 同構(gòu)于另一個分裂域 $E′$ 且同構(gòu)映射為 $σ$ 凤跑。因為任何 $f(x)=(x-a_1)\cdots (x-a_n)\in S$ 的系數(shù)在 F 中，所以總有 $σ(f(x))=f(x)$ 叛复，所以 $(\sigma(a_1),\cdots,\sigma(a_n))$ 只是 $(a_1,\cdots,a_n)$ 的一個置換仔引。由此若設(shè) S的所有根為 R，則有以下推導(dǎo)過程褐奥，也就是說 $E′$ 是 $E$ 的自同構(gòu)咖耘。
$E'=\sigma(E)=\sigma(F(R))=F(\sigma(R))=F(R)=E\tag{1}$

只有自同構(gòu)共軛的域叫自共軛域，像分裂域這種保持 F 不變的域被稱為 F-自共軛域抖僵。以上結(jié)論證明了：多項式集合的分裂域是自共軛域鲤看。容易證明自同構(gòu)和 F-自同構(gòu)都形成群，其中自同構(gòu)群記作 Aut(E)耍群，F(xiàn)-自同構(gòu)群又叫伽羅瓦群义桂，一般記作 $Gal(E/F)$ 找筝，這個群將是我們研究的重點(diǎn)。如果 E 是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域慷吊， $Gal(E/F)$ 也叫多項式 $f(x)$ 的伽羅瓦群袖裕，記作 $Gal(f)$ 或 $Gal(f,F)$ 。

? 證明 $Z,Q,R$ 只有恒等自同構(gòu)溉瓶，而 C 的自同構(gòu)有無窮多個急鳄。

F-自共軛域體現(xiàn)了擴(kuò)域的唯一性，而另外我們知道堰酿，代數(shù)擴(kuò)域可以從任何代數(shù)元的單擴(kuò)域開始疾宏。考察 F-自共軛的擴(kuò)域 E 中任意不可約多項式 $f(x)$ 触创，如果它在 E 上有一個根 a坎藐，則 E 可以從 $F(a)$ 開始生成。前面的討論中已知哼绑，它共軛于一個從 $F(a′)$ 生成的擴(kuò)域（a′為 $f(x)$ 的另外一個根）岩馍，由F-自共軛域的唯一性可知 $a′∈E$ ，故 $f(x)$ 在 $E$ 中是分裂的抖韩。對任意不可約多項式 $f(x)∈F[x]$ 蛀恩，若它有根在擴(kuò)域 E 中，必能得出其它根也在 E 中茂浮，這種擴(kuò)域叫正規(guī)擴(kuò)域（要注意双谆，若 $f(x)$ 在 $E$ 沒有根，并不意味 $f(x)$ 在 $E$ 中不可分解）励稳。剛才的結(jié)論就是說F-自共軛域是正規(guī)擴(kuò)域佃乘，還容易證明正規(guī)擴(kuò)域可以看成是其所有可分裂多項式的生成域，結(jié)合前面的結(jié)論驹尼，以下三個命題是等價的（E為 F 的代數(shù)擴(kuò)域）趣避。
　　（1）E是F的正規(guī)擴(kuò)張新翎；
　〕膛痢（2）E是F[x]中某個多項式集合的分裂域；
　〉貑（3）E是F-自共軛域愁拭。

特別地，若擴(kuò)張為有限擴(kuò)張亏吝，則第二個命題可以改成某個多項式的分裂域岭埠。通過這些等價定義容易證明，正規(guī)擴(kuò)張的交也是正規(guī)擴(kuò)張。所有包含E的正規(guī)擴(kuò)張的交被稱為正規(guī)閉包惜论，對有限擴(kuò)張容易證明许赃，生成元的最小多項式集合的分裂域便是正規(guī)閉包。

二馆类、伽羅瓦理論

2.1 伽羅瓦群和固定子域

前面提到過混聊，F(xiàn)-自同構(gòu)群是自同構(gòu)群 $Aut(E)$ 的子群，不同的子域F對應(yīng)于不同的子群乾巧。這就提醒我們?nèi)パ芯窟@兩者的關(guān)聯(lián)句喜，但要注意這里有兩種關(guān)聯(lián)方法，一種是由F確定伽羅瓦群 $Gal(E/F)$ 沟于，另一種則是由 $Aut(E)$ 的子群 $G$ 確定一個子域 $Inv(G)$ 咳胃，它被稱為 G 的固定子域。這兩個映射不一定是相同的旷太，至少還需要一些條件拙绊，這將是本節(jié)的重點(diǎn)。
$\text{Inv}(G)=\{a\in E\mid \sigma\in G\Rightarrow\sigma(a)=a\}\tag{2}$

先來看看這些映射的基本性質(zhì)泳秀，首先比較顯然，映射的像的包含關(guān)系都和原像的包含關(guān)系相反（公式（3）榄攀，以下將 $Gal(E/F)$ 簡寫為 $Gal(F)）$ 嗜傅。另外也很容易證明，兩種映射的復(fù)合將原像的范圍放大了（公式（4））檩赢。對于像這樣的復(fù)合運(yùn)算吕嘀，分別采用和兩個視角，結(jié)合前面兩個包含關(guān)系便容易得到復(fù)合運(yùn)算的“消去律”（公式（5））贞瞒。這些基本性質(zhì)在下面的討論中非常重要偶房，你需要熟記于心并不產(chǎn)生混淆。
$G_1\subseteq G_2\Leftrightarrow\text{Inv}(G_1)\supseteq\text{Inv}(G_2),\quad F_1\subseteq F_2\Leftrightarrow\text{Gal}(F_1)\supseteq\text{Gal}(F_2)\tag{3}$
$F\subseteq\text{Inv}\circ\text{Gal}(F),\quad G\subseteq \text{Gal}\circ\text{Inv}(G)\tag{4}$
$\text{Gal}\circ\text{Inv}\circ\text{Gal}(F)=\text{Gal}(F),\quad \text{Inv}\circ\text{Gal}\circ\text{Inv}(G)=\text{Inv}(G)\tag{5}$

2.2 伽羅瓦擴(kuò)張和Artin定理

為了研究自同構(gòu)子群和子域的關(guān)系军浆，我們需要先對它們的特點(diǎn)做進(jìn)一步研究棕洋。先來考察伽羅瓦群 $Gal(E/F)$ ，它的每個元素是一個F-自同構(gòu)乒融，群的階就是自同構(gòu)的個數(shù)掰盘。對有限擴(kuò)域有 $E=F(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ ，所有的嵌入都可以拆分為一系列單擴(kuò)域 $f(a_1,\cdots,a_{k-1})(a_k)$ 的嵌入赞季。之前的結(jié)論告訴我們愧捕，每個單擴(kuò)域嵌入的個數(shù) $c_k$ 不大于 $a_k$ 最小多項式 $f(x)$ 的次數(shù) $d_k=[F(a_1,\cdots,a_k):F(a_1,\cdots,a_{k-1})]$ ，相等的條件是 $f(x)$ 沒有重根申钩。如果還要求是自同構(gòu)嵌入次绘，則還要求 $f(x)$ 的根都在 E 中。

總嵌入的個數(shù)自然是 $\prod c_k\leqslant\prod d_k=[E:F]$ ，伽羅瓦群的個數(shù)不大于總嵌入數(shù)邮偎，相等的條件是E是正規(guī)擴(kuò)域管跺。總結(jié)以上討論便有公式（6）成立钢猛，而且等號的成立的一個充分條件是：E 既是正規(guī)擴(kuò)域伙菜，又是可離擴(kuò)域。這種可離正規(guī)擴(kuò)張被稱為伽羅瓦擴(kuò)張命迈，當(dāng)然我們僅關(guān)注有限伽羅瓦擴(kuò)張贩绕。
$\left|\text{Gal}(E/F)\right|\leqslant[E:F]\tag{6}$

現(xiàn)在反過來，對E自同構(gòu)群的有限子群 G壶愤，考察 $F=Inv(G)$ 與 $E$ 的關(guān)系淑倾。如果 E 對 F 是有限擴(kuò)張，由公式和容易得到 $|G|\leqslant|\text{Gal}(F)|\leqslant[E:F]$ 征椒。對此Artin卻給出了截然相反的結(jié)論娇哆，他證明了 $[E:F]\leqslant|G|$ （這時E自然是F的有限擴(kuò)張），結(jié)合這兩點(diǎn)則恒有公式（7）成立勃救。證明過程充分利用了擴(kuò)域和自同構(gòu)的性質(zhì)碍讨，可以作為一個很好的例題示范，下面就來介紹其大致思路蒙秒。
$|G|=[E:\text{Inv}(G)]\tag{7}$

設(shè) $n=|G|$ 勃黍，先來考察擴(kuò)域 E 在 F 上的線性空間的維數(shù)，如果維數(shù)有限晕讲，取 m 大于該維數(shù)覆获，則 E 中任何 m 個元素 $a_i$ 都是線性相關(guān)的。精確一點(diǎn)描述便是瓢省，線性方程 $\sum\limits_{i=1}^m{a_ix_i}=0,(a_i\in E)$ 在F上總有非零解弄息，現(xiàn)在我們就來證明 $m>n$ 時方程有解。為了聯(lián)系上G勤婚，設(shè)它的 n 個元素是 ${σ_j}$ 摹量，原方程等價于方程組 $\sum{\sigma_j(a_ix_i)}=\sum{\sigma_j(a_i)x_i}=0$ 在F上有解。由于 $m>n$ 蛔六，該方程組在 E 中必定有非零解荆永，我們需要由此構(gòu)造出 F 上的解。

將任意 $σ_k$ 作用在方程組上得 $\sum{\sigma_k\sigma_j(a_i)\sigma_k(x_i)}=0$ 国章，由于 $(\sigma_k\sigma_1,\cdots,\sigma_k\sigma_n)$ 只是 $(\sigma_1,\cdots,\sigma_n)$ 的一個置換具钥，方程組除了順序沒有發(fā)生變化，故 $(\sigma_k(x_1),\cdots,(\sigma_k(x_m))$ 也是是原方程組的解液兽。因為 $(x_1,\cdots,x_m)$ 非零骂删，可設(shè) $x_1≠0$ 掌动，則 $\bar{x}=(1,x'_2=\dfrac{x_2}{x_1},\cdots,x'_m=\dfrac{x_m}{x_1})$ 也是方程組的解。若 $x'_i\in F$ 都成立宁玫，我們的結(jié)論得證粗恢。否則設(shè) $x'_2\not\in F$ ，這就是說存在 $σ_k$ 使得 $\sigma_k(x'_2)\ne x'_2$ 欧瘪。由于 $(1,\sigma_k(x'_2),\cdots,\sigma_k(x'_m))$ 也是方程組的根眷射，與 $\bar x$ 相減便得另一個非零解 $(0,x'_2-\sigma_k(x'_2),\cdots)$ ，其中非零的元素個數(shù)比 $\bar x$ 少佛掖。這個過程只能進(jìn)行有限步妖碉，最終必定可以得到 F 上的非零解，Artin 定理得證芥被。
　　? K為F的擴(kuò)域欧宜， $f(x)∈F[x]$ ，求證： $Gal(f,F)?Gal(f,K)$ 拴魄。

2.3 伽羅瓦理論

有了公式（6）和（7）冗茸，現(xiàn)在回來討論自同構(gòu)子群和子域的關(guān)系，由于公式（6）等號成立的一個充分條件是伽羅瓦擴(kuò)張匹中，而伽羅瓦擴(kuò)張不能處處成立夏漱，所以我們把研究限定在某個伽羅瓦擴(kuò)張中。子域F對應(yīng)一個它的伽羅瓦域 $G=Gal(E/F)$ 顶捷，反之G又對應(yīng)到它的固定子域 $F′=Inv(G)$ ÷樘＃現(xiàn)在來比較 $[E:F]$ 和 $[E:F']$ ，根據(jù)公式和分別有 $[E:F]=|G|$ 和 $[E:F']=|G|$ 焊切，而公式說明 $F?F'$ ，所以有 $F=F'$ 芳室，子域和自同構(gòu)子群在有限伽羅瓦擴(kuò)張上建立了對應(yīng)专肪。

若設(shè) $E,F$ 的所有中間域 $F?F'?E$ 組成集合 $\Sigma$ ，容易證明 E 對 $\Sigma$ 中的所有元素都是有限伽羅瓦擴(kuò)張堪侯。若設(shè) G 的所有子群構(gòu)成集合 $Γ$ 嚎尤，則以上結(jié)論則建立了從 $Σ$ 到 $Γ$ 的單射 $φ$ ，它滿足公式（8）伍宦。反之對任何 $G'∈Γ$ 芽死，首先有 $|G'|=[E:Inv(G')]$ ，而由公式（6）得 $|\text{Gal}\circ\text{Inv}(G')|=[E:\text{Inv}(G')]$ 次洼，所以有 $G'=\text{Gal}\circ\text{Inv}(G')=\varphi(\text{Inv}(G'))$ 关贵。這就說明了 $φ$ 是滿射，從而便是一一映射卖毁，所有Σ和Γ之間存在一一映射揖曾，滿足公式（8）。
$\varphi(F')=\text{Gal}(E/F'),\quad\varphi^{-1}(G')=\text{Inv}(G')\tag{8}$

根據(jù) $φ$ 的定義，容易有公式（9）成立炭剪，其中 $∪$ 表示生成群（域）练链。另外，由于 $[E: F]=|G|$ , $[E:F']=|G'|$ 奴拦，則 $[F':F]=[G:G']$ （后者表示子群的指數(shù)）媒鼓。看到這個式子错妖，你可能會問一個問題：F′ 是伽羅瓦擴(kuò)域與 G′ 是正規(guī)子群之間是不是有什么關(guān)聯(lián)绿鸣？容易驗證，對任何 $σ∈G$ 站玄， $\sigma G'\sigma^{-1}$ 在映射 $φ$ 中的原像為 $σ(F')$ 枚驻。所以 $G'$ 為正規(guī)子群的等價條件是 $σ(F')=F'$ ，即 $F'$ 為正規(guī)擴(kuò)域株旷，再由 $F'$ 顯然是分離擴(kuò)域再登，故 $G'$ 為正規(guī)子群的等價條件是 $F'$ 為伽羅瓦擴(kuò)域。

$F_1\cap F_2=\text{Inv}(G_1\cup G_2),\quad F_1\cup F_2=\text{Inv}(G_1\cap G_2)\tag{9}$
　　
　　進(jìn)一步地晾剖，設(shè) $H=\text{Gal}(F'/F)$ 锉矢，構(gòu)造同態(tài)映射 $\eta:H\to G$ ，使得 $\sigma=\eta(h)$ 滿足 $\sigma(F')=F'$ 齿尽，顯然同態(tài)核為 $G'$ 沽损，從而 H 與 $G/G'$ 同構(gòu)（公式（10））。
$\text{Gal}(F'/F)\cong G/G'\tag{10}$

三循头、經(jīng)典應(yīng)用

3.1 正多邊形作圖

正多邊形作圖同“三大作圖難題”一樣古老且著名绵估，有時候它們一起并稱為“四大作圖難題”。首先容易證明卡骂，如果 $p,q$ 互質(zhì)且正 $p,q$ 邊形都可以作出国裳，那么正 $pq$ 邊形也可以作出。根據(jù)算術(shù)基本定理全跨， $n=2^{e}p_1^{e_1}\cdots p_m^{e_m}$ 缝左，而正 $2^e$ 邊形很容易作出，所以只需研究正 $p_k^{e_k}$ 邊形的作圖浓若。

高斯在 20 歲時作出了正 17 邊形渺杉，并給出了正 m 邊形可作圖的充要條件，這里我們用域的語言重新描述一下論證思路挪钓。要想作正 $p_s$ 邊形是越，其實(shí)就是作出 $f(x)$ 的根 $ω$ （式（11））。顯然 $ω$ 是 $f(x)$ 分裂域的生成元碌上，即 $E=Q(ω)$ 英妓。上一節(jié)的作圖理論中我們知道挽放， $ω$ 可被作圖的充要條件是： $[E:Q]=2^t$ 。
$f(x)=x^{p^s}-1,\quad\omega=e^{\frac{2\pi}{p^s}i}\tag{11}$

由于 E 是一個分裂域蔓纠，它是伽羅瓦擴(kuò)張辑畦，所以有 $[E:\Bbb{Q}]=\text{Gal}(E/\Bbb{Q})$ 。E 的 Q-自同構(gòu) $σ$ 由 $σ(ω)$ 唯一確定腿倚， $σ(ω)$ 只能取 $ω^k$ 纯出，其中 $(k,p^s)=1$ 。由初等數(shù)論的知識敷燎， $k$ 可取 $\varphi(p^s)=p^{s-1}(p-1)$ 個數(shù)暂筝，所以 $2^t=p^{s-1}(p-1)$ 。首先有 $s=1$ 硬贯，再由初等數(shù)論的知識焕襟，必須有 $t=2^n$ ，且 $2^{2^n}+1$ 為素數(shù)饭豹。

滿足形式（12）的數(shù)叫費(fèi)馬數(shù)鸵赖，以上結(jié)論就是說 $p^s$ 邊形可作圖的充要條件是： $s=1$ 且 $p$ 為費(fèi)馬素數(shù)。那么 $n$ 邊形可作圖的條件就是式子（13）拄衰，其中 $p_k$ 為互異的費(fèi)馬素數(shù)叨咖。前 5 個費(fèi)馬數(shù)恰好是素數(shù)童漩，費(fèi)馬當(dāng)時斷言所有費(fèi)馬數(shù)都是素數(shù)悦荒，但至今都還沒有找到第6個費(fèi)馬素數(shù)待秃。
$F_n=2^{2^n}+1\quad (F_0=3,\,F_1=5,\,F_2=17,\,F_3=257,\,F_4=65537,\,\cdots)\tag{12}$
$m=2^sp_1p_2\cdots p_n,\:(n\geqslant 0)\tag{13}$

3.2 多項式的求根

多項式求根是古代代數(shù)的重要內(nèi)容，早在公元前的古巴比倫妖混，人們就已經(jīng)掌握了二次的方程的求根老赤。而文藝復(fù)興時期的意大利人，則給出了求解三制市、四次方程的一般方法和公式诗越，主要的思想都是降次法。對于三次方程息堂，先通過簡單的代換 $y=x+\dfrac{a}{3}$ 消除二次項（式（14）），然后利用立方和公式的形式特點(diǎn)將 $y$ 參數(shù)化 $y=\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n}$ 块促。由于 $m,n$ 可以連續(xù)變化荣堰，再添加限制條件 $3\sqrt[3]{mn}=p$ ，帶入式便將原方程等價于較簡單的方程組（15）竭翠。
$x^3+ax^2+bx+c=0\:\Rightarrow\: y^3=py+q\tag{14}$
$mn=(\dfrac{p}{3})^3,\quad m+n=q\tag{15}$

對于四次方程同樣使用 $y=x+\dfrac{a}{4}$ 消除三次項振坚，然后引入?yún)?shù) $t$ 并配方（式（16））。找到合適的 $t$ 使方程右側(cè)可配方斋扰，這樣四次方程就降為了二次方程渡八。而配方成立時t滿足一個三次方程啃洋，上面已經(jīng)給出了它的求解方法，這樣四次方程也成功求解屎鳍。三宏娄、四次方程的完整公式十分復(fù)雜，這里就不給出了（也沒必要）逮壁。
$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\:\Rightarrow\: (y^2+t)^2=(2t+p)y^2+qy+(t^2+r)\tag{16}$

當(dāng)人們迫不及待地向一般五次方程進(jìn)軍時孵坚，卻發(fā)現(xiàn)無論如何都找不到求解公式。所謂“公式”就是四則運(yùn)算和開方組成的表達(dá)式窥淆，為了利用擴(kuò)域的理論卖宠，這里需要為開方定義一種的擴(kuò)域。設(shè) $a∈F$ 忧饭，代數(shù)閉包中 $x^n=a$ 的任一根記作 $\sqrt[n]{a}$ 扛伍，單擴(kuò)域 $F(\sqrt[n]{a})$ 稱為根式擴(kuò)張。多項式的根如果可用“公式”表示词裤，就表示存在一個根式擴(kuò)張鏈（式（17））刺洒，它們可包含分裂域 E。這樣的多項式稱為是根式可解的亚斋，我們問題就是：什么樣的多項式根式求解作媚？
$F=F_0\leqslant F_1\leqslant\cdots\leqslant F_n=K,\quad E\subseteq K\tag{17}$

我們先對根式擴(kuò)張作一些常規(guī)討論，為下面的論證提供有用的工具帅刊，以下討論默認(rèn)擴(kuò)域可離纸泡，所以分裂域都是伽羅瓦擴(kuò)域。先來考慮方程 $x^n=1$ 赖瞒，它的根稱為 $n$ 次單位根女揭。在復(fù)數(shù)域中，所有單位根組成一個循環(huán)群栏饮，其中的生成元稱為 $n$ 次本原根 $（ω）$ 吧兔。其實(shí)這個結(jié)論在一般域中也成立，因為 $n=\prod{p_k^{e_k}}$ 袍嬉，所以我們只需找到 $p^e$ 次本原根即可境蔼。容易證明 $(x^{p^e}-1)/(x^{p^{e-1}}-1)=0$ 的根就是本原根，這樣 $x^n?1$ 的分裂域其實(shí)就是 $E=F(ω)$ 伺通。

$F(ω)$ 伽羅瓦群的每個元素由 $\sigma(\omega)=\omega^l,(l,n)=1$ 唯一確定箍土，且有到 $Z_n^{*}$ 的單同態(tài)映射，所以是一個交換群罐监，這樣的擴(kuò)張稱為阿貝爾擴(kuò)張吴藻。對于 $x^n=a$ 的根 $d=\sqrt[n]{a}$ ，易知 $dω^k$ 也是方程的根弓柱。為了同樣使用單擴(kuò)域表示分離域沟堡，事先假定 $ω∈F$ 侧但，故 $x^n?a$ 的分裂域為 $F(d)$ 。 $F(d)$ 伽羅瓦群的每個元素由 $\sigma(d)=d\omega^l,(l,n)=1$ 唯一確定航罗，且有到 $Z_n^{+}$ 的單同態(tài)映射禀横，所以是一個循環(huán)群，這樣的擴(kuò)張稱為循環(huán)擴(kuò)張伤哺。

把目光專注在根式擴(kuò)張 $F(d=\sqrt[p]{a})$ 上燕侠，以上結(jié)論說明，當(dāng) $\omega\in F,d\not\in F$ 時 $Gal(F(d)/F)$ 為 p 階循環(huán)群立莉。反之若 $Gal(E)$ 為 $p$ 階循環(huán)群 $?σ?$ 绢彤，取任一 $c∈E?F$ ，記 $c_k=σ^k(c)$ 蜓耻，構(gòu)造如下 $d_k$ （式（18））茫舶。把它們看成是 $c_0,c_1,\cdots,c_{p-1}$ 的方程組，由于范德蒙行列式（參考線性代數(shù)）非零刹淌，必有某個 $d=d_k\not\in F$ 饶氏。另外可以驗證 $\sigma(d^p)=\sigma(d)^p=(\omega^{-1}d)^p=d^p$ ，故由伽羅瓦理論知 $d^p∈F$ 有勾，所以 E 為根式擴(kuò)張疹启。總結(jié)以上便是蔼卡，若 $ω∈F$ 喊崖，則根式擴(kuò)張等價于 $p$ 階循環(huán)擴(kuò)張。
$d_k=c_0+c_1\omega^k+c_2\omega^{2k}+\cdots+c_{p-1}\omega^{(p-1)k},\quad k=0,1,\cdots,p-1\tag{18}$

現(xiàn)在就來討論什么樣的多項式是根式可解的雇逞，根式可解表示有根式擴(kuò)張鏈 $F=F_0\leqslant\cdots\leqslant F_n=K$ 荤懂。為了用上伽羅瓦理論，可以將其它根都添加到擴(kuò)張鏈中塘砸，可以假設(shè) K 已經(jīng)是伽羅瓦擴(kuò)張节仿。為了使用上面的結(jié)論，令所有根數(shù) $m_k$ 的最小公倍數(shù)為 $m$ 且 $m$ 次本原根為 $ω$ 掉蔬，將鏈表中的每個擴(kuò)域進(jìn)行單擴(kuò)張 $F'_k=F_k(\omega)$ 廊宪，顯然 $m_k$ 次本原根也在 F 中。新擴(kuò)張鏈（式（19））的每一步都是伽羅瓦擴(kuò)張女轿，根據(jù)伽羅瓦理論知所有伽羅瓦群形成一個正規(guī)群列箭启。又因為每個伽羅瓦群都是交換群，故 $\text{Gal}(K(\omega),F)$ 為可解群谈喳，所以子群 $Gal(E,F)$ 也是可解群。
$F\leqslant F'_0\leqslant F'_1\leqslant\cdots\leqslant F'_n=K(\omega)\tag{19}$

反之若 $Gal(E,F)$ 是可解群戈泼，取 $[E:F]$ 次本原根 $ω$ 婿禽，由前面的習(xí)題知 $Gal(E(ω)/F(ω))$ 是 $Gal(E/F)$ 的子群赏僧，故也是可解群。根據(jù)伽羅瓦理論知存在 $F(ω)$ 到 $E(ω)$ 伽羅瓦擴(kuò)張鏈扭倾，每個擴(kuò)張的伽羅瓦群都是素數(shù)階循環(huán)群淀零。再由上面的習(xí)題知每個伽羅瓦擴(kuò)張的階 $m_k$ 都是 $[E:F]$ 的因子，故 $m_k$ 階本原根在 $F(ω)$ 中膛壹，所以每個擴(kuò)張為根式擴(kuò)張驾中。由于 $F(ω)$ 也是根式擴(kuò)張，故 $E(ω)$ 可由 $F$ 根式擴(kuò)張而來模聋，所以方程根式可解肩民。

這就得到了伽羅瓦的天才的結(jié)論：多項式有根式解的充要條件是，它的伽羅瓦群為可解群链方。這個結(jié)論可以應(yīng)用到任何一個具體的多項式持痰，但方程的“公式”解其實(shí)是討論參數(shù)化的一般多項式 $f(x)$ （式（20）），其中 $t_k$ 是不定元祟蚀。方程的不變域是 $F=\Bbb{Q}(t_1,t_2,\cdots,t_n)$ 工窍，而我們需要判斷 $f(x)$ 在 $F$ 的伽羅瓦群是否可解。由于 $t_k$ 可由 $y_k$ 用基本不等式表示前酿，故分裂域 $F(y_1,y_2,\cdots,y_n)=\Bbb{Q}(y_1,y_2,\cdots,y_n)$ 患雏。
$f(x)=x^n-t_1x^{n-1}+t_2x^{n-2}+\cdots+(-1)^nt_n,\quad t_k=\sigma_k(y_1,y_2,\cdots,y_n)\tag{20}$
$g(x)=x^n-p_1x^{n-1}+p_2x^{n-2}+\cdots+(-1)^np_n,\quad p_k=\sigma_k(x_1,x_2,\cdots,x_n)\tag{21}$

但由于 $y_k$ 的值和相互關(guān)系是從 $t_k$ 得來， $f(x)$ 的伽羅瓦群并不好分析罢维。我們更希望 $y_k$ 是獨(dú)立的不變元淹仑，為此我們用不定元 $x_k$ 建立多項式 $g(x)$ （式（21）），其系數(shù) $p_k$ 為 $x_k$ 的基本不等式（pk不是不定元）言津。同樣可有這個方程的不變域為 $\Bbb{Q}(p_1,p_2,\cdots,p_n)$ 攻人，擴(kuò)域為 $\Bbb{Q}(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ⌒郏可以論證（略去）這兩個多項式的伽羅瓦群是同構(gòu)的（式（22））怀吻，而后者同構(gòu)于 $S_n$ （ $x_k$ 為不定元），所以 $f(x)$ 有 $n$ 個不同的根初婆。再由于 $n?5$ 時蓬坡， $S_n$ 不是可解群，故 $f(x)$ 不能公式求解磅叛。
$\Bbb{Q}(y_1,y_2,\cdots,y_n)/\Bbb{Q}(t_1,t_2,\cdots,t_n)\cong \Bbb{Q}(x_1,x_2,\cdots,x_n)/\Bbb{Q}(p_1,p_2,\cdots,p_n)\tag{22}$

到這里關(guān)于抽象代數(shù)的知識屑咳，我們就介紹到這兒了。關(guān)于更加高階的代數(shù)學(xué)知識就不涉獵了弊琴。抽象代數(shù)是近代數(shù)學(xué)的基石兆龙，它有著十分廣博的內(nèi)容和無限的智慧，學(xué)習(xí)它的最終目的敲董，是鍛煉我們的抽象思維和科學(xué)的數(shù)學(xué)觀紫皇。帶著這樣的熏陶去學(xué)習(xí)別的科目慰安，你會有不一樣的高度，對事物的認(rèn)識不再浮于表面聪铺。

【抽象代數(shù)】伽羅瓦理論簡介