? ? ? ? ? ? ? ? ? 概率
? ? 從 1654 年開始，布萊斯·帕斯卡爾和皮埃爾·費馬 在相互來往的信件中發(fā)展了概率論的基本原理司顿。
定義
? ? ? 試驗是進(jìn)行觀察的過程。例如 : 連續(xù)擲兩次同一枚硬幣兄纺，觀察結(jié)果如何大溜。
? ? ? 可能結(jié)果是指試驗可能產(chǎn)生的結(jié)果。某個試驗中所有可能產(chǎn)生的結(jié)果被稱之為“ 樣本空間”估脆。 連續(xù)擲兩次同一枚硬幣的試驗會產(chǎn)生 4 種可能的結(jié)果 : 兩次都是正面朝上 ;兩次都是背面朝上 ; 第一次正面朝上钦奋、第二次反面朝上，以及第一次反面朝上、第二次正面朝上锨苏。
? ? ? 事件是指某個試驗中一系列可能產(chǎn)生的結(jié)果疙教。
簡單事件指 : 觀察至少出現(xiàn)一次正面朝上的結(jié)果。這一事件由兩次正面都朝上伞租，第一次正面朝上贞谓、第二次反面朝上，以及第一次反面朝上葵诈、第二次正面朝上這三種可能的結(jié)果所組成裸弦。
復(fù)合事件指：由兩個或更多個別事件所組成的事件。
獨立事件——如果B 事件發(fā)生與否皆不影響A 事件發(fā)生的概率作喘，稱 A事件與 B事件為獨立事件理疙。A 事件 : 觀察投擲一枚硬幣時正面朝上的情況。B 事件 : 觀察投擲另外一枚硬幣時背面朝上的情況泞坦。擲每個硬幣都屬于獨立事件窖贤，因為第一個硬幣的投擲結(jié)果不會影響到投擲第二個硬幣的結(jié)果，第一個硬幣的投擲結(jié)果也不會告訴我們投擲第二個硬幣時會產(chǎn)生怎樣的結(jié)果贰锁。
互斥事件—— A 事件和 B 事件屬于互斥事件赃梧，則意味著 A、B 事件不可能同時發(fā)生豌熄，也就是說這兩個事件之間沒有共同的元素授嘀。只投擲一枚硬幣。會有兩個事件 : 正面朝上以及背面朝上锣险√阒澹看到了正面朝上意味著排除了看到背面朝上的可能性。如果兩個事件之間至少存在一個相同的結(jié)果芯肤，則這兩個事件為非互斥事件巷折。擲出一顆骰子。A 事件 : 看到擲出 4點崖咨。B 事件 : 看到擲出了偶數(shù)盔几。因為偶數(shù)包括了2、 4掩幢、6逊拍，因此這兩個事件之間有一個結(jié)果是相同的。
概率——介于 0-1之間的數(shù)值际邻，用來衡量某一事件發(fā)生的可能性芯丧。若概率為 1， 則表明這一事件肯定會發(fā)生世曾。若概率為零缨恒，則意味著這一事件肯定不會發(fā)生谴咸。
算術(shù)平均數(shù)——一系列結(jié)果的算術(shù)平均數(shù)通常被稱之為這些結(jié)果的平均值。為了獲得1 . 8骗露、6岭佳、4、7 這幾個數(shù)值的平均數(shù)萧锉， 我們先把這些數(shù)字加總珊随，得到 26，然后除以5柿隙，得 到 5.2叶洞。
變異性顯示了結(jié)果與算術(shù)平均數(shù)之間的離散程度。
期望是指禀崖，如果我們進(jìn)行大量的試驗衩辟，我們所希望觀察到的結(jié)果的平均數(shù)。它也被稱為期望值波附，指經(jīng)過概率加權(quán)之后所有可能的結(jié)果的總和艺晴。
總體——結(jié)果、目標(biāo)掸屡、事件等的總數(shù)封寞。這是一個由至少擁有一個共同特征的樣本所組成的群體。
樣本——從被研究的總體中隨機抽取的一個代表折晦，目的是為了對總體得出一個結(jié)論钥星。樣本規(guī)模越大沾瓦，對概率的預(yù)測就越準(zhǔn)確满着。但應(yīng)該注意到，關(guān)鍵是樣本的絕對規(guī)模(比如說.接受詢問的人的數(shù)量)贯莺，? 而不是樣本占總體中的百分比风喇。從整個美國人口中隨機抽取的 3,000 人較從一所大學(xué)中抽取的 40 人更具預(yù)言性。隨機抽樣調(diào)查是指缕探，總體中每個個體被選中的機會相等魂莫。
如何判斷一個事件的概率?
? ? ? 概率法則告訴我們，在大量的試驗中可能會出現(xiàn)什么情況爹耗。這意味著我們應(yīng)能對長期內(nèi)將發(fā)生什么情況作出合理的預(yù)期耙考，但我們無法對一起特定事件的結(jié)果作出預(yù)測。
? ? ? 由三種方法可以衡量概率 : 邏輯法潭兽、相對頻率以及主觀概率倦始。
1.邏輯法
? ? ? 如果我們知道可能發(fā)生的結(jié)果的具體數(shù)量或者所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是均等的，那么我們就可以用邏輯法來衡量概率了山卦。例如在機遇游戲中鞋邑，通過將我們希望看到結(jié)果的數(shù)量除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的數(shù)量，我們就得到了想要的概率。如果所要分析的情形其結(jié)果出現(xiàn)的可能性是均等的枚碗，我們就能使用這一定義逾一。
? ? 投擲一枚硬幣，正面朝上的概率是多少.我們希望看到的結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)為 1 次肮雨，且這一結(jié)果出現(xiàn)的可能性是均等的遵堵，而所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的數(shù)量為 2(一個為正面朝上.一個為反面朝上)? 那么所要知道的概率就是 1/2，或50%酷含。
2.相對頻率法
? ? ? 當(dāng)一個試驗可以重復(fù)多次進(jìn)行時鄙早，概率就是該事件之相對頻率之極限。在多數(shù)情況下椅亚，我們不知道這一事件的概率限番。為什么?因為我們不知道所有的結(jié)果。因此呀舔，我們必須通過試驗弥虐，或者找到有關(guān)這一事件過去發(fā)生頻率的具有代表性的信息，來試著預(yù)測這一事件在長期內(nèi)可能出現(xiàn)的相對頻率媚赖。
? ? ? 所謂的具有代表性的信息是指霜瘪，這些信息必須以過去大量獨立試驗中所得的相對頻率，或者在相同條件下對參考類的觀察為基礎(chǔ)惧磺。這里的參考類指的是颖对，結(jié)果的分布是已知的，或者是可以作出合理預(yù)測的磨隘。我們研究的參考類越多缤底，正確預(yù)測概率的機會就越大。
? ? ? 進(jìn)行一項試驗番捂，以測出擲出正面朝上的可能性有多大个唧。 連續(xù)擲一枚硬幣 1,000 次.并觀察結(jié)果。如果你看到有400 次是正面朝上设预，那么擲出正面朝上的相對頻率即為正面朝上(發(fā)生的事件) 的次數(shù)除以投擲的總次數(shù)(即試驗的總次數(shù))徙歼，為 400/1,000。如果擲 2,000 次鳖枕，然后觀察結(jié)果魄梯。如果有 900次正面朝上，則相對頻率為900/2,000宾符。擲的次數(shù)越多酿秸，發(fā)生這一事件的理論概率與相對頻率之間的差距就會越小。在這個案例中吸奴，擲出正面朝上的相對頻率將朝 1/2 靠攏允扇。
? ? ? 出現(xiàn)損失的頻率有多少? 按時間順序缠局，這些損失是如何分布的?程度如何?保險公司就是使用相對頻率來解答這些問題的。他們是根據(jù)對承保事件發(fā)生可能性的預(yù)測來設(shè)定保費的考润。如果他們假定歷史可以代表未來狭园，那么他們便會試著通過觀察一些特定事件之前的發(fā)生頻率來算出某一特定事件的相對頻率。
? ? ? 假設(shè)房子著火的概率為 0.3%糊治。這意味著保險公司發(fā)現(xiàn)唱矛，歷史數(shù)據(jù)，以及其他一些大量有關(guān)房屋的指標(biāo)(比如井辜，參考類是“在某一區(qū)域 50 年來的火災(zāi)數(shù)據(jù)”)顯示绎谦， 過去這個地區(qū)每 1,000套房子中有 3套房子會著火.這一概率也意味著，假定引起火災(zāi)的因素沒有改變粥脚，我們可以作出合理的預(yù)測窃肠，認(rèn)為未來房子發(fā)生火災(zāi)的概率也保持不變。
? ? ? 一家保險公司知道刷允，每年有一定比例的保戶會遇到意外冤留。他們不知道這會是哪些保戶，但通過給許多個人提供保險树灶，他們分散了這一風(fēng)險纤怒。雖然很難預(yù)測單個保戶的出險概率，但如果把個體放在規(guī)模巨大的總體中那么出險概率是可以預(yù)測的天通。但保險商必須確保承保的事件都是獨立事件泊窘，且一個事件的發(fā)生，或者多個獨立事件的同時發(fā)生不會給更多的保戶帶來影響像寒，從而使保險商避免在同一時間支付巨額賠償烘豹。例如，一家給某一街區(qū)內(nèi)的許多建筑物提供火災(zāi)險的保險公 司可能會因為發(fā)生一起特大火災(zāi)而面臨破產(chǎn)的威脅萝映。
3.主觀概率
? ? ? 如果某項試驗無法重復(fù)進(jìn)行吴叶，或者當(dāng)不存在具有代表性的歷史相對頻率或可比數(shù)據(jù)時阐虚，那么此時的概率就是我們對某一事件發(fā)生可能性的主觀預(yù)測序臂。我們必須使用一切可以使用的信息來作出主觀評估，或者作出個人預(yù)測实束。但我們并不是隨意給事件安排一個數(shù)字了事奥秆。這些主觀概率必須符合概率法則
? 紐約尼克斯隊的一名支持者可能會說 :“我相信紐約尼克斯隊贏得下一場比賽的概率為 90%，因為他們現(xiàn)在的狀態(tài)一直很好咸灿」苟”
概率法則
? ? 如果兩個事件是獨立事件(一個事件的發(fā)生不會影響到另外一個事件的發(fā)生概率). 那么這兩個事件同時發(fā)生的概率就是它們各自發(fā)生概率的乘積。即 :A 事件和 B 事件同時發(fā)生的概率= P(A)×P(B)避矢。
? ? ? 一家公司擁有兩條獨立的生產(chǎn)線悼瘾。在第一條生產(chǎn)線上囊榜，出現(xiàn)次品的概率為 5%，第二條生產(chǎn)線上產(chǎn)出次品的概率為 3%亥宿。如果我們從這兩條生產(chǎn)線上各取出一件產(chǎn)品卸勺，兩件產(chǎn)品都是次品的概率有多大?答案0.15% (即 0.05×0.03)。
? ? ? 如果這些事件屬于相關(guān)事件烫扼，那么這一法則就會有所改變曙求。在許多情況下，某個事件的概率依賴于另外一個事件的發(fā)生映企。不同的事件之間經(jīng)常是通過某一方式聯(lián)系在一起的悟狱，因此，如果一個事件的發(fā)生會增加或降低其他事件的發(fā)生概率堰氓。例如挤渐，如果我們擲骰子，A 事件 : 擲出一個偶數(shù)双絮，B 事件 : 擲出一個小于 4的點數(shù)挣菲，然后假設(shè)我們知道 B 事件已經(jīng)發(fā)生，A事件發(fā)生的概率則是 1/3.這被稱之為條件概率掷邦，或者說一個事件的發(fā)生概率由其他事件的發(fā)生所決定白胀。條件概率適用于相關(guān)事件。由 B事件所確定的 A事件的條件概率是 1/3抚岗，因為我們知道 B事件的結(jié)果可能為 1或杠、2、3宣蔚，而 只有 2 才是 A 事件向抢。
? ? ? 在一個有兩個孩子的家庭中，如果知道至少有一個是男孩胚委，那么這個家庭的兩個孩子都是男孩的概率有多大?? 問 : 這個家庭中的兩個孩子的性別排列有幾種可能性? 都是男孩挟鸠，大的是男孩小的是一個女孩，大的是女孩小的是男孩亩冬，以及都是男孩艘希。因為我們已經(jīng)知道“至少有一個是男孩”，我們可以排除“兩個都是女孩”的這一情況硅急。因此覆享，這一概率為 1/3，或 33%营袜。
? ? ? 在一個有兩個孩子的家庭中撒顿，如果知道第一個出生的是男孩，那么兩個都是男孩的概率有多大? 這個家庭中兩個孩子的性別排列可能為 : 都是男孩荚板，大的是男孩小的是一個女孩凤壁，大的是女孩小的是男孩吩屹，以及都是男孩。因為我們已經(jīng)知道大一點的是男孩拧抖，因此我們可以排除“大的是女孩小的是男孩.以及“兩個都是女孩”的情況祟峦。最終得出概率 為 50%。
? ? ? 在條件概率中徙鱼，有一個問題讓許多數(shù)學(xué)教授們傷透了腦筋宅楞，它就是“三門問題”。專欄作家瑪莉蓮·莎凡問了下面這個問題 :假設(shè)你在一個電視節(jié)目上袱吆，主持人要求你在三個門中選擇一個厌衙。其中一個門后面是車，剩下的兩個門后面是羊绞绒。你選了一個門婶希， 記為 1 號門。而這時知道門后面有什么的主持人打開了另外一扇門蓬衡，記為 3號門喻杈，里面是一頭羊。然后他會問你‘你想選擇 2 號門嘛?’ 你是否應(yīng)該改變你的選擇呢?
? ? ? 你會怎樣回答? 假設(shè)我們可以隨時調(diào)整我們的選擇狰晚。對可能出現(xiàn)的結(jié)果列出表格筒饰，看看改變選擇會讓你得到多少種結(jié)果( 參見表 1)。
從最終變化我們可以看出壁晒，不管車子在哪扇門后面瓷们，我們都應(yīng)該改變我們最初的選擇，因為這么做的話我們獲勝的概率有 2/3秒咐。這一問題的關(guān)鍵是谬晕，我們知道在這個游戲中， 主持人知道每扇門后面都有什么携取，并且他只會打開背后是羊的那扇門攒钳。
? ? 當(dāng)兩個事件是互斥事件(指不可能同時發(fā)生的事件)時，? 那么發(fā)生這兩個事件的概率為這兩個事件各自發(fā)生概率之和雷滋。即 : 發(fā)生 A 事件或者 B 事件的概率= P(A)+P(B)不撑。
? ? ? 如果拿一顆骰子擲一次，擲出 2點或者 4 點的概率有多少? 可能的結(jié)果有 6 種惊豺，而這兩個事件(擲出 2點和擲出 4點) 沒有任何共性燎孟。我們不可能同時用一顆骰子擲出2 點和 4 點禽作。 擲出 2點的概率有多少?是 1/6尸昧。擲出4點的概率是多少? 也是1/6。因此旷偿，我們擲出 2 點或者 4 點的概率為 1/6+1/6 = 33%烹俗。
? ? ? 當(dāng)兩個事件相容 ( 可同時發(fā)生 ) 時 , 至少發(fā)生一個事件的概率等于兩個事件發(fā)生的概率之和減去兩個事件同時發(fā)生的概率爆侣。即 :P(A)+P(B)-P(A+B)。
? ? ? 假設(shè)洛杉磯 10-20歲年齡段的少年人群擁有沖浪板的概率是 25%. 擁有自行車的概率是 85%幢妄，同時 擁有這兩樣物品的概率是 20%.? 若隨機選取一位洛杉磯少年兔仰，則其擁有沖浪板或自行車(0.25+0.85)-0.20=90%因為少年可能既有沖浪板也有自行車，所以存在重復(fù)計算的概率蕉鸳。
? ? ? 有時候用排除法可以更為容易地計算出所要的概率乎赴。一個事件不會發(fā)生的概率為 1 減去該事件發(fā)生的概率。如果 A事件可能發(fā)生的概率為 30%潮尝， 那么該事件不會發(fā)生的概率為70%榕吼，因為除了發(fā)生 A事件外，剩下的都是“不會發(fā)生 A事件”勉失。一個事件的發(fā)生概率和不發(fā)生概率之和總是等于 1羹蚣。 我們用一顆骰子連續(xù)擲 4次，至少有一次擲出 6點的概率有多少? 我們把這個問題倒過來看乱凿，并計算“用一顆骰子連續(xù)擲 4 次顽素，沒有一次擲出 6點”的概率。這里有 4 個事件徒蟆， 在擲第一次時沒有擲出 6點胁出，第二次、第三次和第四次也沒有段审。在這 4個事件中划鸽，每個事件的概率為 5/6，因為在 5 種情況下屬于“沒有擲出 6點”戚哎，即擲出了 1裸诽、2、3型凳、4丈冬、5點.而這 4個事件相互之間沒有任何影響。這意味著連續(xù) 4 次沒有擲出 6 點的概率為 5/6×5/6×5/6×5/6=48.2%甘畅。因此埂蕊，“用一顆骰子連續(xù)擲4次，至少有一次擲出6 點”的概率為 1-48.2% = 51.8%疏唾。
計算可能出現(xiàn)的結(jié)果
? ? ? 根據(jù)乘法原理蓄氧，如果一個事件能夠以 n 種方式出現(xiàn)，不受第一個事件影響的第二個事件能夠以m種方式出現(xiàn)槐脏，那么兩個事件能夠以 nm 種方式出現(xiàn)喉童。
? ? ? 假設(shè)洛杉磯和紐約之間有 4條不同的航班，紐約和波士頓之間有 3條不同的航班顿天，波士頓和百慕大之間有 5條不同的航班堂氯。在這些航班中蔑担，我們可以有 4×3×5=60 種組合方式。
? ? ? 排列或換位重排意味著我們可以使用不同的方法來排序或安排一系列的對象咽白。
? ? ? 有 3頂帽子可供我們選擇——顏色分別是黑啤握、白、棕晶框。如果白排抬、黑、棕的排列順序與黑授段、白畜埋、棕的排列順序?qū)儆诓煌呐帕校敲催@ 3 頂帽子有多少種排列方式? 我們有 6 種排列方式 :? 黑 - 白 - 棕 畴蒲、 黑 - 棕 - 白 悠鞍、 白 - 黑 - 棕 、 白 - 棕 - 黑模燥、棕 - 白 - 黑咖祭、棕 - 黑 - 白。 可以換一個角度來思考這個問題 : 我們將這三頂帽子放進(jìn)3 個排成一排的盒子中蔫骂。我們可以有 3種選擇將一頂帽子放在第一個盒子中么翰，因為我們有 3 頂帽子可供選擇。接下來我們有兩種選擇將一頂帽子放在第二個盒子中辽旋，因為我們現(xiàn)在只剩下兩頂帽子可供選擇了浩嫌。對于最后一個盒子，我們只有一種選擇补胚，因為我們只剩下一頂帽子了码耐。這意味著我們可以有 3×2×1 = 6 種不同的放置方法。
? ? ? 這一等式也可以寫成 3 != 6溶其。如果我們有 n(6)個盒子骚腥，并可以在這些盒子中任意選擇，那么就有 n(6)種選擇瓶逃。對于第二個盒子剩下的選擇為 n-1(5)種束铭，留給第三個盒子的選擇為 n-2(4)種，依此類推厢绝。n個盒子的排列方式有 n !種契沫。n !就是階乘，表示從 1 到 n 中所有數(shù)字的乘積昔汉。
? ? ? 假設(shè) 12 個人坐在桌子旁一起吃飯懈万。 有多少種坐法? 第一個來到房間內(nèi)的那個人可以在所有12把椅子中任意選擇一把，第二個人在 11把椅子中選擇，依此類推钞速，這意味著 共有 12 != 479,001,600 種不同坐法贷掖。
? ? ? 在 n 個對象中嫡秕，我們對 r個對象的排列方法的數(shù)量被稱之為對 n個對象中 r 個對象的排列渴语，記為 :n? /(n-r)!
? ? ? 一個保險箱有 100個數(shù)字。為了打開這個保險箱昆咽，小偷必須正確選中 3個不同的數(shù)字驾凶。這可能嗎?對 100 個數(shù)字中的 3 個數(shù)字進(jìn)行排列的方法有 970,200 種，即 100? / (100-3)!掷酗。如果測試每種排列需要小偷用時 5 秒调违， 以每天 24 小時不間斷地試驗這些排列，共需 56 天才能完全試完泻轰。
? ? ? 組合指的是技肩，從一群對象中選出部分對象，且不考慮被選中的對象的先后順序浮声，只考慮有多少種選擇方法虚婿。
? ? ? 如果有草莓味、香草味和巧克力味三種不同的口味泳挥，如果從這三種口味中任意挑出兩種口味來制作冰激凌然痊，可以有多少種調(diào)配方式?我們有三種調(diào)配方式 :草莓加香草，草莓加巧克力屉符，以及香草加巧克力剧浸。不管是先放草莓后放香草，還是先放香草后放草莓矗钟，得到的都是同一種冰激凌唆香。哪種口味先放并不會影響最后的結(jié)果。香草放在最上面與香草放在最下面是一樣的吨艇。
? ? ? 在 n 個對象中袋马，我們對 r個對象的組合方法的數(shù)量被稱之為對 n 個對象中 r個對象的組合，記為 :n ! /r 秸应！(n-r)!
? ? ? 從 10 個人當(dāng)中選 3 個人虑凛，可以有 120 種不同的選法， 即 10 ! /3软啼！(10-3)!
二項分布
? ? ? 假設(shè)我們做10個是非判斷題桑谍。我們對所問的問題一無所知，因此祸挪，我們只能猜答案為了通過這項測試锣披，我們必須答對5個問題.我們有可能猜對這么多問題嗎?
? ? ? 我們該如何判斷呢?問 :當(dāng)我們在猜答案的時候，出現(xiàn)概率均等的結(jié)果有多少種? 有 2 種可能出現(xiàn)的結(jié)果。要么我們答對雹仿，要么我們答錯增热。如果只有一個問題，那么我們猜對的概率為 50%胧辽，猜錯的概率同樣為 50%(即 1- 猜對的概率)峻仇。那么這 10 個問題所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有多少種呢? 因為每個問題都可能出現(xiàn)兩種結(jié)果，因此邑商，10個問題可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)為 210摄咆，即 1,024 種組合。我們對這些問題的答案可能有 1,024 種人断。那么正確的答案有多少種呢? 只有一種情況才會答對(或答錯)所有這 10個問題——必須答對 (或者答錯)所有這10個問題吭从。全部答對或者答錯的概率為1:1,024。這意味著如果我們對這些問題給出 1,024 種不同的答案恶迈，且每次都是隨機猜測這些問題的答案涩金，那么在這 1,024種答案中，我們只有1次是全部答對或者答錯的暇仲。 那么猜對5個問題的情況有多少種呢?? 讓我們回過頭來看一下組合步做，并問 :? 如果我們從 10 個問題中挑選 5 個問題，我們有多少種挑選方法呢?有 252 種組合熔吗，即 10 ! /5 ! (10-5)!辆床，可以在 10 個問題中答對 5個問題执桌。因為猜對每個問題的概率為 50%且我們會回答 10 個問題瑟由，而我們只 需要答對 5 個問題就可以了， 且答對 5 個問題的組合有 252種儒溉，因此中跌，我們答對 5個問題的概率為(0.5)^5×(0.5)^5×252 = 24.6%咨堤。
我們至少答對 5 個問題的概率又是多少呢?這一概率應(yīng)該高于前一概率，因為我們答對 6 個漩符、7 個一喘、8 個、9 個和 10個問題的情況也計算在內(nèi)嗜暴。因此凸克，我們必須加上我們猜對 6 個、7 個闷沥、8 個萎战、9 個、10個問題的概率.
猜對 5 個問題的組合有多少種? 10 ! /5 !(10-5)! = 252 種
猜對 6 個問題的組合有多少種? 10 ! /6 !(10-6)! = 210 種
猜對 7 個問題的組合有多少種? 10 ! /7 !(10-7)! = 120 種
猜對 8 個問題的組合有多少種? 10 ! /8 !(10-8)! = 45 種
猜對 9 個問題的組合有多少種? 10 ! /9 !(10-9)! = 10 種
猜對 10 個問題的組合有多少種? 10 ! /10 !(10-10)! =1種
總和= 638 種
? ? 因為每個問題猜對的概率都為 50%舆逃，且總共需要回答10個問題蚂维，我們希望至少答對其中的 5個戳粒，這樣的組合有 638種， 因此.我們至少答對 5個問題的概率為(0.5)^5×(0.5)^5 ×638=62.3%虫啥。
? ? ? 這個例子就是二項試驗蔚约。一個二項試驗的概率分布是指: 有多少種從 n 件事情中選中 k 件事情的方法( n 次試驗中有 k 次是成功的)×(成功概率)k×(1- 成功概率)n-k
如果我們把數(shù)字代入上面的公式，則可以得到 :252× (0.5)5×(0.5)5+210×(0.5)6×(0.5)4+120×(0.5)7× (0.5)3+45×(0.5)8×(0.5)2+10×(0.5)9×(0.5)1+1× (0.5)10×(0.5)0=62.3%涂籽。
? ? ? 二項試驗具有以下特征 : 某個事件是能重復(fù)出現(xiàn)的苹祟，或者這個試驗由 n個相同且獨立的試驗所組成。每個試驗都只有兩種結(jié)果——成功或者失敗又活，錯或者對苔咪，存在或者不存在锰悼， 0 或者 1等柳骄。每個試驗中的成功和失敗的概率都是恒定的。
? ? ? 二項試驗可以是 : 打靶( 打中或者沒打中)箕般、開發(fā)新藥( 有效或者無效) 耐薯、銷售結(jié)束(賣掉或者沒賣掉)等。 我們用同一個骰子連擲 5 次丝里。你擲出 3 次 6點的概率有多大?怎樣才算成功了?擲出一個 6 點才算成功曲初。每次擲出 一個 6 點的概率有多少? 是 1/6(擲出去的骰子可能有 6種結(jié)果，只有其中一種結(jié)果符合要求)杯聚。失敗的概率是多少? 是 1-1/6 = 5/6臼婆。試驗次數(shù)是多少? 5次。在這些次數(shù)的試驗中幌绍，需要成功幾次? 3 次颁褂。在 5 次試驗中， 你 3 次擲出 6 點的情況有多少種?答案是 5 ! /3傀广！(5-3)!=10颁独， 從而得出概率為 10×(1/6)^3×(5/6)^2=3.2%。 一艘船配備有 3 個獨立的發(fā)動機伪冰，且至少需要 2 個發(fā)動機才能保證這艘船正常行使誓酒。每個發(fā)動機正常工作的概率為 98%。所有 3 個發(fā)動機都正常工作的概率為 94.1%(即 0.98 ×0.98×0.98)贮聂。至少有一個發(fā)動機(包括 2 個和 3 個發(fā)動機)不能工作的概率為 5.9%(相當(dāng)于 1 個發(fā)動機不能工作靠柑、 2 個發(fā)動機不能正常工作以及 3 個發(fā)動機不能正常工作的概率總和)。那么至少有 2 個發(fā)動機正常工作的概率是多少? 讓我們先來看一下組合以及二項分布 : 3 個發(fā)動機都正常工作的概率 +2 個發(fā)動機正常工作的概率= 3 ! /3 吓懈！(3-3) 歼冰！×(0.98)^3×(0.02)^0+3！/2骄瓣！(3-2)停巷！ ×(0.98)^2×(0.02)^1 =99.8816%耍攘。因此，至少有 2 個發(fā)動機不能正常工作的概率為 0.1184%畔勤。在 845 次航行中蕾各，這艘船會有一次無法正常行使。讓我們再加一個備用發(fā)動機庆揪。這時至少有 2個發(fā)動機正常工作的概率會變?yōu)槎嗌? 4 個發(fā)動機都正常工作的概率 +3個發(fā)動機正常工作的概率 +2 個發(fā)動機正常工作的概率= 4 !/4 式曲！(4-4) ！×(0.98)^4×(0.02)^0+4 ! /3 !(4-3)缸榛！ × (0.98)^3×(0.02)^1+4 ! /2 吝羞！(4-2)! ×(0.98)^2×(0.02)^2 =99.996848%。因此内颗，至少 3 個發(fā)動機無法正常工作的概率 為 0.003152%钧排。也就是說，現(xiàn)在這艘船在 31,726 次航行中才會有一次無法正常行使.
? ? ? 二項概率假設(shè)各個事件都是獨立的【模現(xiàn)實中恨溜，有可能一個發(fā)動機的損壞會增加另外一個發(fā)動機出故障的概率。例如找前，一臺發(fā)動機出故障之后會增加另外一臺正在工作的發(fā)動機的負(fù)荷糟袁。使用一臺發(fā)動機會增加這臺發(fā)動機的工作強度和損耗。
對書中一些例子的概率計算
P246,? 從 49 個數(shù)字中選出 6 個數(shù)字的組合有 49 ! /(49 -6)!×6 ! = 13,983,816 種. 24 小時 等于 1,440 分 鐘躺盛。 一年 365 天等于 525,600 分鐘项戴。1,400萬分鐘相當(dāng)于大約 27 年。
P258,? 我們成功的概率為(0.8)^6 = 26%槽惫。
P261,? 10 個相互獨立的公司都獲得成功的概率為 0.01% (即 0.4^10)周叮，但至少有一家新公司獲得成功的概率高達(dá) 99.4% (1-0.6^10)。
P262,? ? ? 至少有一個部件不工作的概率為 86.5%(1- 0.999^2,000)躯枢。假設(shè)這些部件都是獨立的则吟，整個系統(tǒng)出故障( 至少有一個部件出故障)的概率等于 1 減去系統(tǒng)正常運行的概率。
P262, 假設(shè)兩個導(dǎo)航系統(tǒng)都是獨立的锄蹂，整個系統(tǒng)出故障 (該系統(tǒng)中的兩個導(dǎo)航系統(tǒng)必須無法正常工作)的概率是主系統(tǒng)和備用系統(tǒng)出故障的概率總和氓仲。
P263, 如果一個事件在任何一年內(nèi)出現(xiàn)的概率為 5%，那么該事件在 50 年內(nèi)幾乎肯定會出現(xiàn)(概率為 1-0.95^50 = 92.3%)得糜。如果一個事件在任何一年內(nèi)出現(xiàn)的概率為 5%敬扛，那 么其不出現(xiàn)的概率為 95%。這一事件在未來 50 年內(nèi)不會出 現(xiàn)的概率為 7.7%朝抖。這意味著這一事件在 50 年內(nèi)至少出現(xiàn)一次的概率為 92.3%啥箭。
P263,? 在任何一年中，至少發(fā)生一起事故的概率為 3.9% (1-0.999^40)治宣。在未來10 年中急侥，至少會發(fā)生一次事故的概率為 33%(1-0.961^10)砌滞。
P263,? 因此，任何一年發(fā)生大地震的概率為 3.2%(1-p)^30=38%)坏怪。 在未來5 年中贝润，至少發(fā)生一次大地震的概率為 15% (1-0.968^5)。
P268, 在一個由 1,048,576(即 2^20）人所組成的一個群 體中铝宵，肯定有人會遇到這樣的事情打掘。事實上，在美國 2.8 億 人口中鹏秋，發(fā)生概率為 1/1,000,000 的事件每天會發(fā)生 280 次(1/1,000,000×2.8 億)尊蚁。
P269, 假設(shè)可以選擇 365 天中的任何一天為自己的生日，一個人的生日就有 365 種可能性侣夷，且所有這些生日的發(fā)生概率都是均等的横朋。當(dāng)這個群體由兩個人組成時，第二個人可以從剩下的 364天中選擇一天作為自己的生日惜纸。第二個人與第一人同一天生日的可能性只有一種叶撒。因此绝骚，這兩人同一天生日的概率為 1/365 = 0.27%耐版。當(dāng)這個群體由3人組成時，通過找到這 3人的生日不是同一天的概率压汪，可以更為容易地算出 3人中任何 2 人同一天生日的概率粪牲。當(dāng)人數(shù)為 3人時，第 三個人可以從剩下的 363天中選擇一天作為自己的生日止剖。這意味著第三個人的生日不同于其他兩人的概率為 363/365 =99.45%腺阳。
為了計算多個事件同時發(fā)生的概率，我們將單個事件的發(fā)生概率相乘穿香。在一個由 3人組成的群體中亭引，沒有一人生日相同的概率為 365/365×364/365×363/365 =99.18%。因 此皮获，3 人中有兩人同一天生日的概率為 1-0.9918 = 0.82%焙蚓。 讓我們來重復(fù)這一過程，看一下 23 人組成的群體中的這一 概率洒宝。365×364×363×......343 /365^23=49.3%购公。因此，23 人中有兩人同一天生日的概率為 1-0.493 = 50.7%雁歌。
P288, 在做出了 10 次預(yù)測之后宏浩，有一只猴子完全預(yù)測到了利率的走勢(1,000×0.5^10).
P292, 在 10 次試驗中取得兩次成功的組合有 10 ! / (10-2)! 2 != 45 種。概率為 45×(0.8)2×(0.2)8 =0.007%靠瞎。
