先驗概率、后驗概率报咳、條件概率、全概率和貝葉斯公式

先驗概率、后驗概率征堪、條件概率瘩缆、全概率和貝葉斯公式

先驗概率（prior probability）：指根據(jù)以往經(jīng)驗和分析。在實驗或采樣前就可以得到的概率佃蚜。

先驗概率就是事先可估計的概率分布

后驗概率（posterior probability）：指某件事已經(jīng)發(fā)生庸娱，想要計算這件事發(fā)生的原因是由某個因素引起的概率。

后驗概率“由果溯因”的思想

條件概率公式

P(AB) ：事件A發(fā)生且事件B發(fā)生的概率

P(A|B) ：在事件B發(fā)生的基礎(chǔ)上谐算，事件A發(fā)生的概率

P(AB)=P(B) * P(A|B) ：事件A發(fā)生且事件B發(fā)生的概率等于事件B發(fā)生的概率乘以事件B發(fā)生的基礎(chǔ)上事件A發(fā)生的概率

全概率公式

全概率公式作為概率論里最重要的公式之一熟尉，是條件概率公式、概率的加法公式以及乘法公式的集合運用體現(xiàn)洲脂，主要通過已知的簡單事件概率去推算未知的復(fù)雜事件概率斤儿，將復(fù)雜的概率問題進行簡單化處理，減少了計算的難度恐锦，加快了信息處理速度.

導(dǎo)致一個事件發(fā)生的原因有很多種（各種原因互斥）往果，那么這個事件發(fā)生的概率就是每種原因引起該事件發(fā)生的概率的總和

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+?+P(A|Bi)

全概率公式中，如果把事件A看成是“結(jié)果”一铅，將事件B看成是導(dǎo)致結(jié)果發(fā)生的諸多“原因”之一陕贮，那么全概率公式就是一個“原因推結(jié)果”的過程

貝葉斯公式

已知事件A這個“結(jié)果”已經(jīng)發(fā)生了，反過來研究造成事件A發(fā)生的原因–事件B1潘飘、事件B2…的概率是多少肮之，這是一個“因果溯源”的過程

$P(B_i|A) = \frac{P(AB_i)}{P(A)} = \frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum\limits_{i=1}^nP(B_i)P(A|B_i)}$

由P(AB) = P(BA)= P(B|A) * P(A)? 推導(dǎo)??

$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$

由全概率公式

$P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2)+\cdots+ P(A|B_i)$

推導(dǎo)

$P(B_i|A) = \frac{P(AB_i)}{P(A)}= \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum\limits_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i)}$

事件A發(fā)生基礎(chǔ)上事件B發(fā)生的概率等于事件AB同時發(fā)生的概率除以事件A的全概率

假設(shè)我們現(xiàn)在有兩個盒子，分別為紅色和藍色卜录。在紅色盒子中放著2個蘋果和6個橙子戈擒，在藍色盒子中放著1個橙子和3個蘋果，假設(shè)我們每次實驗的時候會隨機從某個盒子里挑出一個水果暴凑，隨機變量B（box）表示挑出的是哪個盒子峦甩，并且P(B=blue) = 0.6（藍色盒子被選中的概率），P(B=red) = 0.4（紅色盒子被選中的概率）。隨機變量F（fruit）表示挑中的是哪種水果凯傲，F(xiàn)的取值為”a (apple)”和”o (orange)”犬辰。

假設(shè)我們已經(jīng)得知某次實驗中挑出的水果是orange，那么這個orange是從紅色盒子里挑出的概率是多大呢冰单？

P(B=red) 或者說P(B)稱為先驗概率（prior probability）幌缝，因為在得到F是“a”或者“o”之前就可以得到 P(B)

P(B=red|F=o)和 P(B=blud|F=o)稱為后驗概率，因為在得到了F的具體取值之后才能得到這個概率

$P(B=red|F=o) = \frac{P(BF)}{P(F)} = \frac{P(F=o|B=red)*P(B=red)}{P(F=o)}$

其中

$P(F=o|B=red) = \frac{6}{8} \\\\ P(F=o|B=blue) = \frac{1}{4} \\\\ P(B=red) = 0.4 = \frac{4}{10} \\\\ P(B=blue) = 0.6 = \frac{6}{10} \\\\ P(F=o) = P(F=o|B=red) * P(B=red) + P(F=o|B=blue) * P(B=blue) \\\\= \frac{6}{8} * \frac{4}{10} + \frac{1}{4} * \frac{6}{10} \\\\= \frac{6}{20} + \frac{3}{20} \\\\= \frac{9}{20}$

因此

$P(B=red|F=o) = \frac{6}{8} * \frac{4}{10} * \frac{20}{9} = \frac{2}{3}$

$P(B=blue|F=o) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

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最后編輯于：2020.05.30 18:53:22

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