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埃瓦伊斯特·伽羅瓦(Evariste Galois) 1811年10月25日生于法國巴黎附近的拉賴因堡；1832年5月31日卒于巴黎自赔。

伽羅瓦的父親N．G．伽羅瓦(Galois)是法國資產(chǎn)階級革命的支持者，為人正直厚道柬脸。他在1815年拿破侖發(fā)動“百日政變”期間，當(dāng)選為拉賴因堡市的市長灾测。伽羅瓦的母親是一位當(dāng)?shù)胤ü俚呐畠合碧拢斆鞫薪甜B(yǎng)秦爆，但個性倔強(qiáng)鲜结，甚至有些古怪．她是伽羅瓦的啟蒙老師精刷，為他的希臘語和拉丁語打下了基礎(chǔ)怒允，并且把她自己對傳統(tǒng)宗教的懷疑態(tài)度傳給了兒子纫事。

1823年10月丽惶，12歲的伽羅瓦離別雙親钾唬，考入路易·勒格蘭皇家中學(xué)抡秆，開始接受正規(guī)教育．在中學(xué)的前兩年儒士，他因希臘語和拉丁語成績優(yōu)異而多次獲獎；但在第三年(1826)诅福，伽羅瓦對修辭學(xué)沒有下足夠的功夫权谁，因而只得重讀一年旺芽。在這次挫折之后采章，他被批準(zhǔn)選學(xué)第一門數(shù)學(xué)課悯舟。這門課由H．J．韋尼耶(Vernier)講授砸民，他喚起了伽羅瓦的數(shù)學(xué)才能岭参，使他對數(shù)學(xué)發(fā)生了濃厚的興趣．他一開始就對那些不談推理方法而只注重形式和技巧問題的教科書感到厭倦演侯，于是悬赏，他毅然拋開教科書娄徊，直接閱讀數(shù)學(xué)大師們的專著兵多。A．M．勒讓德(Legendre)的經(jīng)典著作《幾何原理》(Eléments de géo－me tre，1792)，使他領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)推理方法的嚴(yán)密性援雇；J．L．拉格朗日(Lagrange)的《解數(shù)值方程》(Rélution des équations nume－riques惫搏，1769)筐赔、《解析函數(shù)論》(Théorie des fonctions analytiques茴丰，1797)等著作贿肩，不僅使他的思維更加嚴(yán)謹(jǐn)汰规，而且其中的思想方法對他的工作產(chǎn)生了重要的影響；接著他又研究了L．歐拉(Euler)色解、C．F．高斯(Gauss)和A．L．柯西(Cauchy)的著作科阎，為自己打下了堅實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)大師的經(jīng)典著作萧恕、是伽羅瓦獲得成功的重要途徑．他深信自己能做到的票唆，決不會比他們少衅金。他的一位教師說：“他被數(shù)學(xué)的鬼魅迷住了心竅〖担”然而，他忽視了其他學(xué)科良蒸，導(dǎo)致了他首次(1828)報考巴黎綜合工科學(xué)校失敗嫩痰。

1828年10月串纺，伽羅瓦從初級數(shù)學(xué)班升到L．P．E．里查德(Richard)的數(shù)學(xué)專業(yè)班．里查德是一位年輕而富有才華的教授造垛，并且具有發(fā)掘科學(xué)英才的敏銳判斷力和高度責(zé)任感。他認(rèn)為伽羅瓦是最有數(shù)學(xué)天賦的人物杆逗，“只宜在數(shù)學(xué)的尖端領(lǐng)域中工作”罪郊。于是，年僅17歲的伽羅瓦開始著手研究關(guān)于方程理論癣疟、整數(shù)理論和橢圓函數(shù)理論的最新著作。他的第一篇論文“周期連分?jǐn)?shù)的一個定理的證明(Démonstration d’un théoréme sur les fractionscontinues périodiques)侧到，于1829年3月發(fā)表在J．D．熱爾崗(Gergonne)主辦的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)年刊》(Annales de Mathé－matiques Pures et Appliquées)上匠抗，它更為清楚地論述和說明了歐拉與拉格朗日關(guān)于連分式的結(jié)果。

據(jù)伽羅瓦說污抬，他在1828年犯了和N．H．阿貝爾(Abel)在8年前犯的同樣錯誤汞贸，以為自己解出了一般的五次方程．但他很快意識到了這一點(diǎn)，并重新研究方程理論壕吹，他堅持不懈，直到成功地用群論闡明了這個帶普遍性的問題删铃。1829年5月25日和6月1日耳贬，他先后將他的兩篇關(guān)于群的初步理論的論文呈送法國科學(xué)院×匝洌科學(xué)院請柯西做論文的主審咒劲，然而诫隅，一些事件挫傷了這個良好的開端，而已在這位年輕數(shù)學(xué)家的個性上留下了深深的烙印。首先，伽羅瓦的父親由于受不了保守的天主教牧師的惡毒誹謗于7月2日自殺身亡豪嗽。之后不到一個月变秦，伽羅瓦參加了巴黎綜合工科學(xué)校的入學(xué)考試，由于他拒絕采用主考官建議的解答方法，結(jié)果又遭失敗。最后他不得已報考了高等師范學(xué)院，于1829年10月被錄取。

柯西審核的伽羅瓦的論文，新概念較多，又過于簡略，因此柯西建議他重新修改。1830年2月，伽羅瓦將他仔細(xì)修改過的論文再次呈送科學(xué)院，科學(xué)院決定由J．B．J．傅里葉(Fourier)主審。不幸，傅里葉5月份去世甩栈，在他的遺物中未能找到伽羅瓦的手稿。

1830年4月，伽羅瓦的論文“關(guān)于方程代數(shù)解法論文的分析”發(fā)表在B．D．費(fèi)呂薩克(Férussac)的《數(shù)學(xué)科學(xué)通報》(Bulle－tetin des Sciences Mathématiques)上。同年6月，他又在同一雜志上發(fā)表了兩篇論文——“關(guān)于數(shù)值方程解法的注記”和“數(shù)的理論”夷蚊，這期雜志上還刊登著柯西和S．D．泊(Poisson)的文章箱歧，這充分說明了伽羅瓦已在數(shù)學(xué)界贏得了聲譽(yù)价淌。

伽羅瓦進(jìn)入師范學(xué)院一年病毡，正當(dāng)他做出卓越的研究工作之時功戚，法國歷史上著名的1830年“七月革命”爆發(fā)了豌注。伽羅瓦作為一名勇敢追求真理的共和主義戰(zhàn)士齿风，反對學(xué)校的苛刻校規(guī)脸候，抨擊校長在“七月革命”期間的兩面行為．為此，他于1830年12月8日被校方開除澜共。于是奇唤，他便根據(jù)自己的意志投身于政治活動经窖。1831年5月9日，在一個共和主義者的宴會上伏尼，伽羅瓦舉杯對國王進(jìn)行了挑釁性的祝酒芭碍，于第二天被捕，罪名是教唆謀害國王生命的未遂罪烦磁。6月15日被塞納陪審法院釋放帝璧，在此期間把曼，伽羅瓦繼續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)研究震叮。他于1831年1月13日開了一門關(guān)于高等代數(shù)的公開課媳禁，以講授自己獨(dú)創(chuàng)的學(xué)術(shù)見解謀生忘闻。但是硅蹦，這個設(shè)想并未獲得多大成功生音。1831年1月17日青伤，他向科學(xué)院呈送了題為“關(guān)于方程根式解的條件”的論文，這次負(fù)責(zé)審查論文的是泊松和S．F．拉克魯瓦(Lacroix)．雖然泊松認(rèn)真地審閱了它悠砚，可得出的結(jié)論卻是“不可理解”。在他們給科學(xué)院的報告中說：“我們已經(jīng)盡了最大努力來研究伽羅瓦的證明，他的推理顯得不很清楚讳窟，到目前為止啸蜜，我們還不能對它作出正確評價瀑凝，因為有說服力的證明還沒有得到序芦。因此，在這篇報告中粤咪，我們甚至不能給出他的證明思想芝加。”最后射窒，泊松建議伽羅瓦進(jìn)一步改進(jìn)并詳細(xì)闡述他的工作藏杖。

1831年7月14日，伽羅瓦率眾上街示威游行時脉顿，再次被捕蝌麸，他被關(guān)押在圣佩拉吉監(jiān)獄。他在獄中頑強(qiáng)地進(jìn)行數(shù)學(xué)研究艾疟，一面修改他關(guān)于方程論的論文来吩，研究橢圓函數(shù)，一面著手撰寫將來出版他著作時的序言蔽莱。1832年3月16日弟疆，由于宣布霍亂正在流行，伽羅瓦被轉(zhuǎn)移到一家私人醫(yī)院中服刑盗冷。他在那里陷入戀愛怠苔，后因愛情糾紛而卷入一場決斗． 4月29日，伽羅瓦獲釋仪糖。5月29日柑司，即決斗的前一天，伽羅瓦給共和主義者的朋友們寫了絕筆信锅劝。尤其在給A．舍瓦列耶(Cheralier)的信中攒驰，表明他在生命即將結(jié)束的時候，仍在整理故爵、概述他的數(shù)學(xué)著作玻粪。第二天清晨，在岡提勒的葛拉塞爾湖附近诬垂，他與對手決斗劲室，結(jié)果中彈致傷后被送進(jìn)醫(yī)院。1832年5月31日剥纷，這位未滿21歲的數(shù)學(xué)家與世長辭了痹籍。

伽羅瓦最主要的成就是提出了群的概念，用群論徹底解決了代數(shù)方程的可解性問題．人們?yōu)榱思o(jì)念他晦鞋，把用群論的方法研究代數(shù)方程根式解的理論稱之為伽羅瓦理論。它已成為近世代數(shù)學(xué)的最有生命力的一種理論。

群論起源于代數(shù)方程的研究悠垛，它是人們對代數(shù)方程求解問題邏輯考察的結(jié)果．對于方程論线定，拉格朗日有過卓越的概括．在1770年前后，他利用統(tǒng)一的方法(現(xiàn)在稱為拉格朗日預(yù)解式方法)确买，詳細(xì)分析了二次斤讥、三次、四次方程的根式解法湾趾，提出了方程根的排列置換理論是解決問題的關(guān)鍵所在．他的方法對于求解低次方程卓有成效芭商，但對一般的五次方程卻沒有任何明確的結(jié)果，致使他對高次方程的求解問題產(chǎn)生了懷疑．P．魯菲尼(Ruffini)于1799年首次證明了高于四次的一般方程的不可解性搀缠，但其證明并不完善．在1824—1826年铛楣，阿貝爾修正了魯菲尼證明中的缺陷，嚴(yán)格證明了一般的五次或五次以上的代數(shù)方程不可能有根式解．其間艺普，高斯于1801年建立了分圓方程理論簸州，解決了二項方程的可解性問題，這對于伽羅瓦理論的創(chuàng)立至關(guān)重要．1815年歧譬，柯西對于置換理論的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)．固然高于四次的一般方程不能有根式解岸浑，但是有些特殊類型的方程(如二項方程、阿貝爾方程割仍然可以用根式求解．因此瑰步，全面地刻畫可用根式求解的代數(shù)方程的特性問題矢洲，乃是一個需要進(jìn)一步解決的問題．伽羅瓦的理論正是在這樣的背景上發(fā)展起來的．

伽羅瓦繼承和發(fā)展了前人及同時代人的研究成果，融會貫通了各流派的數(shù)學(xué)思想缩焦，并且憑著他對近代數(shù)學(xué)概念特性的一種直覺兵钮，超越了他們．他系統(tǒng)地研究了方程根的排列置換的性質(zhì)，首次定義了置換群的概念舌界，他認(rèn)為了解置換群是解決方程理論的關(guān)鍵．在1831年的論文中掘譬，伽羅瓦把具有封閉性的置換的集合稱為“群”．當(dāng)然，這只是抽象群的一條重要性質(zhì)而已．群是近代數(shù)學(xué)中最重要的概念之一呻拌，它不僅對數(shù)學(xué)的許多分支有深刻的影響葱轩，而且在近代物理、化學(xué)中也有許多重要的作用．因此藐握，群的概念需要以高度抽象的形式來表達(dá)．現(xiàn)在公認(rèn)群是元素間存在二元運(yùn)算(例如乘法)并具有下列四條性質(zhì)的集合：
　　(1)(封閉性)集合中任意兩個元素的乘積仍屬于該集合靴拱；
　　(2)(結(jié)合性)乘法滿足結(jié)合律，即(a·b)·c=a·(b·c)猾普；
　　(3)(存在單位元)集合中存在單位元I袜炕，對集合中任意元素a滿足I·a=a·I=a；
　　(4)(存在逆元)對集合中任一元素a初家，存在唯一元素a-1偎窘，使得a-1·a=a·a-1=I．

伽羅瓦是利用群論的方法解決代數(shù)方程可解性問題的．他注意到每個方程都可以與一個置換群聯(lián)系起來乌助，即與它的根之間的某些置換組成的群聯(lián)系；現(xiàn)在稱這種群為伽羅瓦群．對于任一個取有理數(shù)值的關(guān)于根的多項式函數(shù)陌知，伽羅瓦群中的每個置換都使該函數(shù)的值不變．反過來他托，如果伽羅瓦群中的每個置換都使一個根的多項式函數(shù)的值不變，則這多項式函數(shù)的值是有理的．因此仆葡，一個方程的伽羅瓦群完全體現(xiàn)了它的根(整體)的對稱性．伽羅瓦的思想方法大致是這樣的：他將每個方程對應(yīng)于一個域赏参，即含有方程全部根的域(現(xiàn)在稱之為方程的伽羅瓦域)，這個域又對應(yīng)一個群沿盅，即這個方程的伽羅瓦群．這樣把篓，他就把代數(shù)方程可解性問題轉(zhuǎn)化為與方程相關(guān)的置換群及其子群性質(zhì)的分析問題．這是伽羅瓦工作的重大突破．

具體說來，假設(shè)方程xn+a1xn-1+a1xn-2+…+an-1x+an=0的系數(shù)生成的域為F腰涧，E是方程的伽羅瓦域韧掩，它是將方程的根添加到F上所生成的域，現(xiàn)在稱之為伽羅瓦擴(kuò)張．讓G表示方程的伽羅瓦群．這個方程是否可用根式求解的關(guān)鍵問題是：數(shù)域F是否可以經(jīng)過有限次添加根式而擴(kuò)張為根域E．也就是說是否存在有限多個中間域：F1南窗，F(xiàn)1揍很，…，F(xiàn)s-1万伤，F(xiàn)s=E窒悔，使F=F0F1F1…Fs=E．其中每個Fi都是由Fi-1添加Fi-1中的數(shù)的根式所生成的擴(kuò)域．不妨假定，F(xiàn)是含有這個方程的系數(shù)及1的各次方根的最小域敌买，且每次所添加的根式均為素數(shù)次根．那么简珠，這樣的中間域Fi與Fi-1之間有何關(guān)系呢？伽羅瓦經(jīng)過認(rèn)真的研究虹钮，認(rèn)為關(guān)鍵取決于使Fi-1保持不變的Fi的自同構(gòu)變換群的結(jié)構(gòu)．可以證明聋庵，這樣的自同構(gòu)群是素數(shù)階的循環(huán)群，且階數(shù)為[Fi∶Fi-1]．域上的自同構(gòu)群概念的引入芙粱，使域與群發(fā)生了聯(lián)系．即建立了伽羅瓦域的子域與伽羅瓦群的子群之間的一一對應(yīng)關(guān)系．事實(shí)上祭玉，保持F=F0的元素不動的E的每個自同構(gòu)決定方程根的一個置換，它屬于伽羅瓦群G春畔；反之脱货，G中每個置換引起E的一個自同構(gòu)，它使F的元素不動．這樣就建立了E的自同構(gòu)群和方程的伽羅瓦群之間的同構(gòu)．由此建立E的子域(包含F(xiàn))和G的子群之間的一一對應(yīng)：保持子域Fi元素不動的G中全部置換構(gòu)成G的一個子群Gi律姨，讓Gi與Fi對應(yīng)振峻，而且反過來也可用Gi來刻劃Fi，即Fi是E中對Gi的每個置換保持不動的元素全體．

伽羅瓦還利用方程根的n择份！值的線性系數(shù)θ(n表示方程根的個數(shù))來定出方程的伽羅瓦群．雖然這種計算并非易事扣孟，但的確給出了計算伽羅瓦群的一種方法，而且伽羅瓦在這里給出了域擴(kuò)張的本原元素的概念．

在代數(shù)方程可解性的研究中荣赶，伽羅瓦的主要思想是對給定方程的系數(shù)以及經(jīng)過有限次擴(kuò)張的中間域給出了一個群的序列凤价，使得每個擴(kuò)域相對應(yīng)的群是它前一個域相應(yīng)的群的子群．伽羅瓦基本定理就描述了中間域與伽羅瓦群的子群之間的對應(yīng)關(guān)系．利用這種關(guān)系鸽斟，可由群的性質(zhì)描述域的性質(zhì)；或由域的性質(zhì)描述群的性質(zhì)．因此料仗，伽羅瓦的理論是域與群這兩種代數(shù)結(jié)構(gòu)綜合的結(jié)果．

伽羅瓦的工作主要基于兩篇論文——“關(guān)于方程根式解的條件”和“用根式求解的本原方程”．這兩篇論文于1846年由J．劉維爾(Liouille)編輯出版．此后湾盗，人們便開始介紹和評價伽羅瓦的工作伏蚊，他的思想方法逐漸為人們所接受．在這些論文中立轧，伽羅瓦將其理論應(yīng)用于代數(shù)方程的可解性問題，由此引入了群論的一系列重要概念．

當(dāng)伽羅瓦將二項方程作為預(yù)解方程研究時躏吊，他發(fā)現(xiàn)其相應(yīng)的置換子群應(yīng)是正規(guī)子群且指數(shù)為素數(shù)才行．正規(guī)子群概念的引入及其性質(zhì)和作用的研究氛改，是伽羅瓦工作的又一重大突破．屬于伽羅瓦的另一個群論概念是兩個群之間的同構(gòu)．這是兩個群的元素之間的一一對應(yīng)，使得如果在第一個群中有a·b=c比伏，則對第二個群的對應(yīng)元素胜卤，有a′·b′=c′．他還引進(jìn)了單群和合成群的概念．一個沒有正規(guī)子群的群是單群，否則是合成群．他表述了最小單群定理：階是合成數(shù)的最小單群是60階的群．

伽羅瓦還利用正規(guī)子群判別已知方程能否轉(zhuǎn)化為低次方程的可解性問題．用現(xiàn)代語言可將他的思想方法描述如下：首先定義正規(guī)子群的概念赁项，即群G的子群N叫做G的正規(guī)子群葛躏，是指對于每個 g∈G，g－1Ng=N悠菜；其次是尋找極大正規(guī)子群列舰攒，確定極大正規(guī)子群列的一系列合成因子．如果一個群所生成的全部合成因子都是素數(shù)，伽羅瓦就稱這個群為可解的．他利用可解群的概念全面刻畫了用根式解方程的特性悔醋，給出了判別方程可解性的準(zhǔn)則：一個方程可用根式解的充要條件是這個方程的伽羅瓦群是可解群．雖然這一準(zhǔn)則不能使一個確定方程的精確求解更為簡單摩窃，但它確實(shí)提供了一些方法，可以用來得出低于五次的一般方程芬骄，以及二項方程和某些特殊類型方程的可解性的有關(guān)結(jié)果猾愿，還可以直接推導(dǎo)出高于四次的一般方程的不可解性．因為一般的n次方程的伽羅瓦群是n個文字的對稱群Sn；當(dāng)n＞4時账阻，n次交錯群An是非交換的單群(不可解)蒂秘，An又是Sn的極大正規(guī)子群．由此可推出Sn是不可解的．既然對于所有這樣的n值，都存在其Sn是伽羅瓦群的n次方程淘太，所以一般的高于四次的方程不可能得到根式解．

在“關(guān)于方程代數(shù)解法論文的分析”中姻僧，伽羅瓦提出了一個重要定理(未加證明)：一個素數(shù)次方程可用根式求解的充要條件是這個方程的每個根都是其中兩個根的有理函數(shù)．伽羅瓦用它判別特殊類型方程的根式解問題．他所研究的這種方程，現(xiàn)在稱之為伽羅瓦方程琴儿，是阿貝爾方程的推廣．在“數(shù)的理論”一文中段化，伽羅瓦用現(xiàn)在所謂的“伽羅瓦虛數(shù)”對同余理論作了推廣并將之應(yīng)用于研究本原方程可用根式求解的情況．關(guān)于伽羅瓦虛數(shù)，在伽羅瓦之前只知道特征0的域造成，如有理數(shù)域显熏、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域等晒屎，伽羅瓦在這篇論文中給出了一類新的域喘蟆，即伽羅瓦域缓升，現(xiàn)在稱為有限域，它們是素數(shù)特征的城．有限域在現(xiàn)在通訊中的重要作用是盡人皆知的．
伽羅瓦的數(shù)學(xué)遺作蕴轨，首次(1846)發(fā)表在劉維爾主辦的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées)上．1897年港谊，E．皮卡(Picard)再次出版了《伽羅瓦數(shù)學(xué)手稿》(Ocuvres mathématiques d’Evariste Galois)．之后，J．塔涅伊(Tannery)編輯的《伽羅瓦的手稿》(Manuscriste d’Evariste Galo－is)于1908年正式出版．1962年橙弱，R．布爾哥涅(Bourgne)和J．P．阿茲拉(Azra)編輯出版了帶有評論性的典型版本《伽羅瓦數(shù)學(xué)論文全集》(Ecrists et mémoires mathématiques d’EvaristeGalois)歧寺，它匯集了伽羅瓦所有已發(fā)表的著作，以及絕大部分還保存的數(shù)學(xué)提綱棘脐、信件和原稿．這些史料證實(shí)了伽羅瓦的數(shù)學(xué)研究斜筐，與他對數(shù)學(xué)本質(zhì)尤其對數(shù)學(xué)方法的追求、探索是密不可分的蛀缝，展示了他對現(xiàn)代數(shù)學(xué)精神的遠(yuǎn)見卓識．從中精選出的有關(guān)數(shù)學(xué)觀顷链、方法論的原文，已成為當(dāng)今研究的方向．

伽羅瓦不僅研究具體的數(shù)學(xué)問題屈梁，而且研究能概括這些具體成果并決定數(shù)學(xué)長期發(fā)展及人們思維方式轉(zhuǎn)變的新理論——群論．由此還發(fā)展了域論．D．希爾伯特(Hilbert)曾把伽羅瓦的理論稱為“一個明確的概念結(jié)構(gòu)的建立”．這種理論嗤练，對于近代數(shù)學(xué)、物理學(xué)在讶、化學(xué)的發(fā)展煞抬，甚至對于20世紀(jì)結(jié)構(gòu)主義哲學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展，都發(fā)生了巨大影響．正象E．T．貝爾(Bell)所說的：“無論在什么地方真朗，只要能應(yīng)用群論此疹，從一切紛亂混淆中立刻結(jié)晶出簡潔與和諧，群的概念是近世科學(xué)思想的出色的新工具之一．”

伽羅瓦還是頭一位有意識地以結(jié)構(gòu)研究代替計算的人．他使人們從偏重“計算”研究的思維方式轉(zhuǎn)變?yōu)橛谩敖Y(jié)構(gòu)”觀念研究的思維方式遮婶，他的理論是群與域這兩種代數(shù)結(jié)構(gòu)綜合的結(jié)果．在他的論文序言部分明確表述了這種思想蝗碎，他提出：“使計算聽命于自己的意志，把數(shù)學(xué)運(yùn)算歸類旗扑，學(xué)會按照難易程度蹦骑，而不是按照它們的外部特征加以分類——這就是我所理解的未來數(shù)學(xué)家的任務(wù)，這就是我所要走的道路．”這種深邃的數(shù)學(xué)思想臀防，已明顯地具有現(xiàn)代數(shù)學(xué)的精神．

伽羅瓦“‘把數(shù)學(xué)運(yùn)算歸類”這句話眠菇，毫無疑問是指現(xiàn)在所謂群論．群的功能正是將所研究的對象進(jìn)行分類，而不管研究對象本身及其運(yùn)算的具體內(nèi)容袱衷，它是在錯綜復(fù)雜的現(xiàn)象中探討共同的結(jié)構(gòu)．一般說來捎废，一個抽象的集合不過是一組元素而已，無所謂結(jié)構(gòu)致燥，一旦引進(jìn)了運(yùn)算或變換就形成了結(jié)構(gòu)登疗；所形成的結(jié)構(gòu)中必須包含著元素間的關(guān)系，這些關(guān)系通常是由運(yùn)算或變換聯(lián)系著的．“把數(shù)學(xué)運(yùn)算歸類，而不是按照它們的外部特征加以分類”辐益，其思想實(shí)質(zhì)是：數(shù)學(xué)由研究具體的數(shù)和形的外部特征轉(zhuǎn)變成研究一般的断傲、抽象的結(jié)構(gòu)．伽羅瓦對代數(shù)結(jié)構(gòu)的探索，深化了人們關(guān)于數(shù)學(xué)研究對象的認(rèn)識——按照這種觀念智政，數(shù)學(xué)的研究對象不是孤立的量认罩，而是數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)．從自發(fā)到自覺轉(zhuǎn)變的意義上說，伽羅瓦已經(jīng)處于近代數(shù)學(xué)的開端．他為19世紀(jì)數(shù)學(xué)家們提出的問題及任務(wù)续捂，導(dǎo)致了公理方法的系統(tǒng)發(fā)展和代數(shù)基本結(jié)構(gòu)的深入研究．因此垦垂，伽羅瓦是近世代數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人．

伽羅瓦在數(shù)學(xué)上做出了巨大的貢獻(xiàn)，他在數(shù)學(xué)觀疾忍、認(rèn)識論方面也有不少獨(dú)立的見解．他認(rèn)為科學(xué)是人類精神的產(chǎn)物乔外，與其說是用來認(rèn)識和發(fā)現(xiàn)真理床三，不如說是用來研究和探索真理．科學(xué)作為人類的事業(yè)一罩，它始于任何一個抓住它的不足并重新整理它的人．伽羅瓦指出：“科學(xué)通過一系列的結(jié)合而得到進(jìn)展，在這些結(jié)合中撇簿，機(jī)會起著不小的作用聂渊，科學(xué)的生命是無原由的、沒有計劃的(盲目的)四瘫，就像交錯生長的礦物一樣．”在數(shù)學(xué)中汉嗽，正像在所有的科學(xué)中一樣，每個時代都會以某種方式提出當(dāng)時存在的若干問題找蜜，其中有一些迫切的問題饼暑，它們把最聰慧的學(xué)者吸引在一起，這既不以任何個人的思想和意識為轉(zhuǎn)移洗做，也不受任何協(xié)議的支配．伽羅瓦向往著科學(xué)家之間的真誠合作弓叛，認(rèn)為科學(xué)家不應(yīng)比其余的人孤獨(dú)，他們也屬于特定時代诚纸，遲早要協(xié)同合作的．

伽羅瓦的奠基性工作及其思想中孕育的開創(chuàng)精神撰筷，并未得到他同時代人的充分賞識和理解，其原因不是人為的偏見畦徘，而是當(dāng)時人們認(rèn)識上的不足．直到伽羅瓦去世14年后的1846年毕籽，劉維爾編輯出版了他的部分文章；1866年井辆，J．A．塞雷特(Serret)出版的《高等代數(shù)教程》(第三版)(Cours d’algébre superieure)关筒，澄清了伽羅瓦關(guān)于代數(shù)方程可解性理論的思想，建立了置換理論杯缺；1870年蒸播，C．若爾當(dāng)(Jordan)出版的《置換和代數(shù)方程專論》(Traitédes substitutions et des équations algébriques)，全面介紹了伽羅瓦的理論．從此夺谁，群論和伽羅瓦的全部工作才真正被歸入數(shù)學(xué)的主流．伽歲瓦的理論導(dǎo)致了抽象代數(shù)學(xué)的興起廉赔。