服從Gaussian分布的近似隨機(jī)數(shù)生成算法

中心極限定理是概率論中的一組定理坦报，研究的是大量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和在什么樣的條件下會(huì)收斂于正態(tài)分布。我們利用林德伯格-列維（Lindeberg-Levy）中心極限定理，可以通過(guò)服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)生成服從高斯分布的隨機(jī)數(shù)生成算法

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林德伯格-列維中心極限定理

具有有限期望和方差(不為0)的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和，經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后，其分布收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

令隨機(jī)變量 $X_1, X_2, … , X_n$ 獨(dú)立同分布瞻坝，且具有有限的期望和方差 $E(X_i) = \mu, D(X_i) = \sigma^2 \neq 0 \quad (i = 1,2, .., n)$

記
$Y = \frac{ \sum_{i=1}^{n} X_i - n\mu }{\sqrt{n} \sigma } \tag{1}$
則

$\lim_{n \to \infty} P(Y \leq a) = \Phi(a)$
其中 $\Phi(a)$ 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)

生成服從Gaussian分布的近似隨機(jī)數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

根據(jù)上文，我們可以得知杏瞻，取多次指定分布下的隨機(jī)數(shù)所刀，然后經(jīng)過(guò)求和、標(biāo)準(zhǔn)化后捞挥，即可使得該隨機(jī)數(shù)滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

這里我們?nèi)∪菀撰@得的均勻分布 $X_n \sim U(0,1)$ 為例浮创，則易知：

$E(X_i) = 1/2, D(X_i) = 1/12$

則根據(jù) $(1)$ 式可得，所需的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量 $Y$ :
$Y = \sqrt(\frac{12}{n}) (\sum_{i=1}^{n}X_n - \frac{n}{2}) \sim N(0,1)$
在有些算法的實(shí)現(xiàn)源碼可以看到 $n$ 取值12砌函，其原因就在這里根號(hào)正好可以消去斩披。 $n$ 越大，其精度越高

普通高斯分布

一般高斯分布 $Z \sim N( \mu_2, \sigma_2 )$ 和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 $Y \sim N(0, 1)$ 的轉(zhuǎn)換公式如下：
$Y = \frac{Z-\mu_2}{\sigma_2} \tag{2}$
則可以用 $(2)$ 式獲得指定的高斯分布

最后編輯于：2020.03.07 15:11:16

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