最近不是感冒發(fā)燒就是熬夜加班，所以打算利用編譯和調(diào)試的空隙寫點東西勘畔，算是拔草了所灸。
這次拔草的系列，是關(guān)于數(shù)學上的無窮的炫七。
老軌跡爬立，除了梳理知識點，還要來點好玩的東西才行万哪。
問題起源于這么一個問題：
我們都知道侠驯，這個問題的答案是無窮，但為什么是無窮呢奕巍？我們不可能真的去把上面的式子累加到無窮嘛陵霉。
好了，開始解決問題伍绳。
我們先看這么一個改造后的問題：
然后踊挠，我們?nèi)∑渲械牡?、4、6...項出來效床，有：
也就是說睹酌，剩下的項和原始項之間就可以有如下關(guān)系：
或者，我們可以換一個方法來記：
這里gcd就是求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的數(shù)論函數(shù)剩檀，如果兩個數(shù)互素憋沿，那么它返回的就是1。
因此沪猴，從$N_{0,k}$中分離出來的$N_{1,k}$辐啄，就是所有與2互素的自然數(shù)的-k次冪的和。
現(xiàn)在运嗜，我們有：
進一步壶辜，從$N_{1,k}$中我們可以做進一步分離：
事實上，我們令$N_{l,k}$表示上述求和序列中項數(shù)i（從1開始的自然數(shù)）不能被前l(fā)個素數(shù)$p_l$（2為第一個素數(shù)）整除的數(shù)担租，即$ngcd(i,p_l)=1$砸民，那么這個求和序列就給出下面的關(guān)系：
從而我們有：
很顯然，從l到l+1的過程奋救，就是把自然數(shù)中前l(fā)個素數(shù)都篩掉的過程岭参，因此這個過程的終結(jié)只能是終結(jié)于數(shù)列中只剩下最后一個數(shù)：自然數(shù)1。1不可能被任何素數(shù)整除尝艘，所以可以想見在把“所有”的素數(shù)都去掉后演侯，能剩下的只可能是1。
因此背亥，我們現(xiàn)在可以先暫且寫下這么一條：
我們發(fā)現(xiàn)蚌本，很神奇的，自然數(shù)-k次冪的求和隘梨，居然和素數(shù)的特定形式的函數(shù)的求積關(guān)聯(lián)到了一起。
上面的分析中舷嗡，自然是有很多不恰當?shù)牡胤降摹?/p>
比如說轴猎，最后$N_{\infty, k} = 1$的給出非常肆意，且不說按照潛無窮的觀點這一步在邏輯上就做不到进萄，就算是能做捻脖，這一步到底能否給出這結(jié)論也有待證明。
假定素數(shù)是有限的中鼠，那么最終我們自然可以在某一項之后發(fā)現(xiàn)整個自然數(shù)列被篩得只剩下一個一可婶，但假如素數(shù)是無限的呢？
畢竟援雇，對于任意有限的l矛渴，如果素數(shù)有無限多個，那么我們所面對的都是從第l+1個素數(shù)開始的無限項求和。
所以具温，下面我們先來看一下素數(shù)到底是否有限蚕涤。
回到上面我們得到的結(jié)論，現(xiàn)在我們讓k=1铣猩，這樣就得到了文章最開始的那個問題了：
這里揖铜，我們發(fā)現(xiàn)，如果素數(shù)有限多达皿，那么這個求和必然是有限的天吓；而如果這個求和是無限的，那么就意味著素數(shù)必然有無限多個峦椰。
而龄寞，素數(shù)到底是否有限呢？
讓我們來關(guān)注$N_{0,1}$和$N_{1,1}$的關(guān)系：
展開寫们何，我們就有：
是不是覺得很不可思議萄焦？因為很顯然，左邊比右邊要性┲瘛：左邊第i項永遠比右邊對應(yīng)的第i項小拂封，所以兩邊求和怎么都不可能得到一樣的答案。
但鹦蠕，這個關(guān)系的導出又看起來沒問題：原求和序列中的第1冒签、3、5...項給出新等式右側(cè)的部分钟病，而原求和序列中的第2萧恕、4、6...項則很顯然地就等于原求和序列第1肠阱、2票唆、3...項的一半，所以進而給出新等式左側(cè)的部分屹徘。
這個分解與折半兩部看上去都沒問題走趋，可結(jié)論卻顯然是錯的。
這就牽扯到關(guān)于無窮的各種奇妙悖論了——比如說噪伊，無限個1的累加等于多少簿煌？運用這里相同的方法，我們可以將奇數(shù)位的1和偶數(shù)位的1分開成兩個求和列鉴吹，然后這兩個又和原來的求和列相同姨伟，于是$a = 2 a$，結(jié)果求和列的結(jié)果為0豆励；但我們也可以將第一個的1從后面無窮個1中分離開來夺荒，而后面無窮個1和原本的求和列相同，于是出現(xiàn)了$a = 1 + a$，于是就不知道結(jié)果是啥了般堆；再來我們可以在上面將第一個1和后面無窮個1分開的基礎(chǔ)上在孝，對后面無窮個1的奇數(shù)位和偶數(shù)位再做分離，于是就得到了$a = 1 + 2 a$淮摔，于是結(jié)果是-1……哈哈私沮，是不是感覺特別逗？我們可以通過這樣的方法構(gòu)造出任何一個我們想構(gòu)造的有理數(shù)和橙。
在康托建立的集合論中仔燕，如果兩個集合之間可以建立一一映射關(guān)系將映射兩邊的元素一個不落一個不重復地映射到另一邊，那么我們就說著兩個集合是“等勢”的魔招，從而可以簡單地說是“具有一樣多的元素”晰搀，或者更簡單地可以稱為“一樣多”或者“一樣大”。
比如办斑，自然數(shù)集和整數(shù)集“一樣多”外恕，而偶數(shù)集、奇數(shù)集和自然數(shù)集乡翅、整數(shù)集也都是一樣多的鳞疲。偶數(shù)集和有理數(shù)集也是一樣多的，所有素數(shù)p的倍數(shù)構(gòu)成的集合與所有有限D(zhuǎn)個整數(shù)構(gòu)成的$Z^D$空間的點的數(shù)量也是一樣多的蠕蚜。
現(xiàn)在尚洽，假如集合A是一個自然數(shù)構(gòu)成的集合，A上的映射f將每個A中的每個自然數(shù)i映射到數(shù)域F中的數(shù)x靶累。而集合B與集合A一樣多腺毫，即B中元素j與A中元素i一一對應(yīng)，B上有映射h挣柬，使得B中每個自然數(shù)j都被映射為數(shù)域F上的數(shù)y潮酒，且如果i與j對應(yīng)，則$f(i)=c\ h(j)$邪蛔，其中c是和i急黎、j的選擇無關(guān)的F上的常數(shù)，那么我們自然會認為A中所有元素在f映射下的求和店溢，與B中所有元素在h映射下的求和，應(yīng)該就相差常系數(shù)c委乌。
這個結(jié)論在有限集上顯然是成立的床牧，而對于無限集，我們一般也認為是成立的遭贸，因為乍看起來實在沒有反對的理由戈咳。
因此，倘若結(jié)果真的是這樣，那么我們自然可以得到上面所提到的那個矛盾的等式著蛙。
所以删铃，要么兩個無限數(shù)集的求和之間沒有這么顯然的關(guān)系，要么我們涉及到無窮時的加減乘除需要不一樣的代數(shù)踏堡。
前者涉及到集合論的基礎(chǔ)猎唁，而集合論是現(xiàn)代數(shù)學四大基礎(chǔ)之一（集合論、證明論顷蟆、模型論诫隅、遞歸論（可計算性理論）），就這么發(fā)生變動的可能不大——要變也要以更加細致更加微妙的方式變帐偎。
所以逐纬，下面我們就來動一下關(guān)于無限的加減乘除法。
對于普通的有限的非零數(shù)來說削樊，對它乘個2豁生，結(jié)果當然會變成另一個數(shù)。
這個性質(zhì)是這么理所當然漫贞，以至于我們都不曾懷疑它甸箱。
對于無限來說，無限乘以2和無限除以2的結(jié)果绕辖，到底是什么呢摇肌？
讓人很驚訝，這兩個運算的結(jié)果仪际，都還是無限围小。
兩個無限之間可以比大小，這和勢相關(guān)树碱，于是兩個同勢的無限當然可以被認為是相等的——這就是說肯适，上面那個矛盾的式子，既可以解釋為兩個有限值相等成榜，也可以被解釋為框舔，等式兩邊都是無限。
可以說赎婚，無限加減乘除任何一個有限值刘绣，得到的結(jié)果都是無限，加或者乘一個無限挣输，結(jié)果也還是無限纬凤，這已經(jīng)是和傳統(tǒng)加法代數(shù)很不同的地方了。
而更不同的地方在于撩嚼，無限減無限與無限除無限停士，這兩個運算挖帘，沒有定義。
也就是說恋技，上面矛盾的式子我們可以理解為等式的左右出現(xiàn)了無限（事實上等于左邊是一個無限拇舀，而右邊是兩個無限的和，還是一個無限）蜻底，但卻不能理解為兩邊相減后一側(cè)是0一側(cè)是有限或者無限值骄崩。
現(xiàn)在，我們沒法做減法了朱躺。
也就是說刁赖，如果這個計算中沒有出現(xiàn)無限，那么最后$N_{0,k}$就是$N_{1,k}$的兩倍长搀，從而得到矛盾宇弛；因此，這個計算中必然出現(xiàn)了無限源请，那么一切減法與除法都不能操作了枪芒，因為無限了。
而谁尸，既然出現(xiàn)了無限舅踪，那么就是說：素數(shù)的個數(shù)必須是無窮多個。
在很多別的類似的問題良蛮，比如前面提到的無窮個1的求和抽碌，以及奇數(shù)位加1而偶數(shù)位減1的求和，或者所有自然數(shù)的求和中决瞳，就是因為出現(xiàn)了無窮货徙，所以常規(guī)的做法就不再適合了，也因此如果在這個情況下繼續(xù)使用常規(guī)的加減乘除皮胡，我們就得到得到各種亂七八糟的結(jié)果痴颊，比如所有自然數(shù)的求和的結(jié)果是-1/12（當然，這個求和是利用了拉馬努金求和對特定函數(shù)做了解析延拓所得到的屡贺，并不是簡單的求和列重排游戲）蠢棱。
或許，我們可以這么說：只有對收斂的求和列才能用常規(guī)的分拆手法甩栈，而一旦不收斂（比如到無窮）泻仙，那么常規(guī)的分拆法是無效的。尤其對于出現(xiàn)無窮的求和列來說量没，無窮的運算法則不遵守常規(guī)有限數(shù)的運算法則玉转，所以常規(guī)手段無效。
當然允蜈，我們還可以從另外一個角度來看這個問題冤吨，這個就是下一篇（如果寫的話）要談?wù)摰脑掝}了。
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