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主要記錄常見動態(tài)規(guī)劃的狀態(tài)方程設(shè)計
更新中
- 簡述
考慮這么一個問題，如果給定一個數(shù)組[10, 8, 19, 8, 7, 12, 10, 9]薄腻，如果想要得到數(shù)組中比當前元素更大的元素個數(shù)，該如何計算呢
- 分析
首先，分析該問題，如果逐個元素進行遍歷踪央，可以得到比每個元素更大的元素個數(shù)臀玄，但是時間復(fù)雜度為O(n^2)，那么有沒有時間性能更優(yōu)的方法呢畅蹂，其實是有的健无。
我們知道，對于數(shù)組排序的時間復(fù)雜度為O(nlogn)液斜，那么我們在排序的時候累贤，稍作手腳，將數(shù)組下標參與其中一同排序少漆。如上面介紹的數(shù)組臼膏，經(jīng)過數(shù)組下標由大到小排序后，得到如下結(jié)果 [(2, 19), (5, 12), (0, 10), (6, 10), (7, 9), (1, 8), (3, 8), (4, 7)]示损。
通過上面的結(jié)果渗磅，可以得到比下標為2的元素更大的元素個數(shù)為0個，比5號元素個數(shù)更大的元素為1個检访。如果不能完全用當前的下標作為比該元素大的元素個數(shù)始鱼，因為仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)，由于數(shù)組中有2個元素10脆贵，在排序后數(shù)組下標索引為2和3医清，而比10更大的元素個數(shù)為2。所以卖氨，我們還要有另一個規(guī)則会烙，如果排序后下標索引 i+1 的值與下標索引為 i 的值相同，那么排名也相同双泪，否則就以下標索引作為比該元素更大的元素個數(shù)持搜。
- 總結(jié)
通過排序方式的解決方法，時間復(fù)雜度為O(nlogn)焙矛，仔細觀察會發(fā)現(xiàn)這種方式和excel排名有些類似葫盼，相當于給excel表增加一個索引列
- 偽代碼
def get_bigger_num(nums):
nums_with_index = [(index, num) for (index, num) in enumerate(nums)]
sorted_nums_with_index = sorted(nums_with_index, key=lambda x:x[1], reverse=True)
last_value = None
bigger_nums = []
for cur_idx, (ori_idx, value) in enumerate(sorted_nums_with_index):
if value != last_value:
rank = cur_idx
bigger_nums[ori_idx] = rank
last_value = value
return bigger_nums
- 拓展到二維數(shù)組
當給定數(shù)組是二維數(shù)組，我們可基于上面的思路同樣能夠解答村斟，如果想想一個二維的情況贫导，想要計算該元素所在行與所在列中比該元素更大的元素的個數(shù)。首先蟆盹，可以將該場景拆分為該元素在該行中的更大元素個數(shù)和該元素在該列中更大的元素個數(shù)孩灯，二者之和即為該元素在行與列中更大元素的個數(shù)。
def get_bigger_matrix_scores(scores):
row_count = len(scores)
column_count = len(scores)
row_bigger_num = []
column_bigger_num = []
total_bigger_num = []
for _ in range(row_count):
row_bigger_num.append([0] * column_count)
for _ in range(row_count):
column_bigger_num.append([0] * column_count)
for _ in range(row_count):
total_bigger_num.append([0] * column_count)
for row_idx, row_scores in enumerate(scores):
row_bigger_num[row_idx] = get_bigger_num(row_scores)
for column_idx in range(column_count):
column_scores = [row[column_idx] for row in scores]
column_bigger_num[column_idx] = get_bigger_num(column_scores)
for row_idx in range(row_count):
for column_idx in range(column_count):
total_bigger_num[row_idx][column_idx] = row_bigger_num[row_idx][column_idx]
+ column_bigger_num[row_idx][column_idx]
return total_bigger_num
1. 資源問題1 —–機器分配問題
F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k])
2. 資源問題2
------01背包問題
F[I,j]:=max(f[i-1,j-v[i]]+w[i],f[i-1,j]);
3. 線性動態(tài)規(guī)劃1
-----樸素最長非降子序列
F[i]:=max{f[j]+1}
4. 剖分問題1
-----石子合并
F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);
5. 剖分問題2
-----多邊形剖分
F[I,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a[i]);
6. 剖分問題3
------乘積最大
f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i]);
7. 資源問題3
-----系統(tǒng)可靠性(完全背包)
F[i,j]:=max{f[i-1,j-c[i]*k]*P[I,x]}
8. 貪心的動態(tài)規(guī)劃1
-----快餐問題
F[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T[i]-(j-j')*p1-(k-k')*p2) div p3}
9. 貪心的動態(tài)規(guī)劃2
-----過河 f[i]=min{{f(i-k)} (not stone[i])
{f(i-k)}+1} (stone[i]); +貪心壓縮狀態(tài)
10. 剖分問題4
-----多邊形-討論的動態(tài)規(guī)劃
F[i,j]:=max{正正 f[I,k]*f[k+1,j];
負負 g[I,k]*f[k+1,j];
正負 g[I,k]*f[k+1,j];
負正 f[I,k]*g[k+1,j];} g為min
11. 樹型動態(tài)規(guī)劃1
-----加分二叉樹 (從兩側(cè)到根結(jié)點模型)
F[I,j]:=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}
12. 樹型動態(tài)規(guī)劃2
-----選課 (多叉樹轉(zhuǎn)二叉樹,自頂向下模型)
F[I,j]表示以i為根節(jié)點選j門功課得到的最大學(xué)分
f[i,j]:=max{f[t[i].l,k]+f[t[i].r,j-k-1]+c[i]}
13. 計數(shù)問題1
-----砝碼稱重
f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j];
(1<=i<=n; 1<=j<=f[0]; 1<=k<=a[i];)
14. 遞推天地1
------核電站問題
f[-1]:=1; f[0]:=1;
f[i]:=2*f[i-1]-f[i-1-m]
15. 遞推天地2
------數(shù)的劃分
f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1];
16. 最大子矩陣1
-----一最大01子矩陣
f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1;
ans:=maxvalue(f);
17. 判定性問題1
-----能否被4整除
g[1,0]:=true; g[1,1]:=false; g[1,2]:=false; g[1,3]:=false;
g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j)
18. 判定性問題2
-----能否被k整除
f[I,j±n[i] mod k]:=f[i-1,j]; -k<=j<=k; 1<=i<=n
20. 線型動態(tài)規(guī)劃2
-----方塊消除游戲
f[i,i-1,0]:=0
f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k),
f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]}
ans:=f[1,m,0]
21. 線型動態(tài)規(guī)劃3
-----最長公共子串逾滥，LCS問題
f[i,j]={0 (i=0)&(j=0);
f[i-1,j-1]+1 (i>0,j>0,x[i]=y[j]);
max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x[i]<>y[j]);
22. 最大子矩陣2
-----最大帶權(quán)01子矩陣O(n^2*m)
枚舉行的起始峰档，壓縮進數(shù)列，求最大字段和，遇0則清零
23. 資源問題4
-----裝箱問題(判定性01背包)
f[j]:=(f[j] or f[j-v[i]]);
24. 數(shù)字三角形1
-----樸素の數(shù)字三角形
f[i,j]:=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);
25. 數(shù)字三角形2
-----晴天小豬歷險記之Hill
同一階段上暴力動態(tài)規(guī)劃
if[i,j]:=min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]
26. 雙向動態(tài)規(guī)劃1
數(shù)字三角形3
-----小胖辦證
f[i,j]:=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j])
27. 數(shù)字三角形4
-----過河卒
//邊界初始化
f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1];
28. 數(shù)字三角形5
-----樸素的打磚塊
f[i,j,k]:=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]);
29. 數(shù)字三角形6
-----優(yōu)化的打磚塊
f[I,j,k]:=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]}
30. 線性動態(tài)規(guī)劃3
-----打鼴鼠’
f[i]:=f[j]+1;(abs(x[i]-x[j])+abs(y[i]-y[j])<=t[i]-t[j])
31. 樹形動態(tài)規(guī)劃3
-----貪吃的九頭龍
32. 狀態(tài)壓縮動態(tài)規(guī)劃1
-----炮兵陣地
Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k])
If (map[i] and plan[k]=0) and
((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0)
33. 遞推天地3
-----情書抄寫員
f[i]:=f[i-1]+k*f[i-2]
34. 遞推天地4
-----錯位排列
f[i]:=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]);
f[n]:=n*f[n-1]+(-1)^(n-2);
35. 遞推天地5
-----直線分平面最大區(qū)域數(shù)
f[n]:=f[n-1]+n
:=n*(n+1) div 2 + 1;
36. 遞推天地6
-----折線分平面最大區(qū)域數(shù)
f[n]:=(n-1)(2*n-1)+2*n;
37. 遞推天地7
-----封閉曲線分平面最大區(qū)域數(shù)
f[n]:=f[n-1]+2*(n-1)
:=sqr(n)-n+2;
38 遞推天地8
-----凸多邊形分三角形方法數(shù)
f[n]:=C(2*n-2,n-1) div n;
對于k邊形
f[k]:=C(2*k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3)
39 遞推天地9
-----Catalan數(shù)列一般形式
1,1,2,5,14,42,132
f[n]:=C(2k,k) div (k+1);
40 遞推天地10
-----彩燈布置
排列組合中的環(huán)形染色問題
f[n]:=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1); (f[1]:=m; f[2]:=m(m-1);
41 線性動態(tài)規(guī)劃4
-----找數(shù)
線性掃描
sum:=f[i]+g[j];
(if sum=Aim then getout; if sum<Aim then inc(i) else inc(j);)
42 線性動態(tài)規(guī)劃5
-----隱形的翅膀
min:=min{abs(w[i]/w[j]-gold)};
if w[i]/w[j]<gold then inc(i) else inc(j);
43 剖分問題5
-----最大獎勵
f[i]:=max(f[i],f[j]+(sum[j]-sum[i])*i-t
44 最短路1
-----Floyd
f[i,j]:=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);
ans[q[i,j,k]]:=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j];
45 剖分問題6
-----小H的小屋
F[l,m,n]:=f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k);
46 計數(shù)問題2
-----隕石的秘密（排列組合中的計數(shù)問題）
Ans[l1,l2,l3,D]:=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D];
F[l1,l2,l3,D]:=Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]);
47 線性動態(tài)規(guī)劃
------合唱隊形
兩次F[i]:=max{f[j]+1}＋枚舉中央結(jié)點
48 資源問題
------明明的預(yù)算方案：加花的動態(tài)規(guī)劃
f[i,j]:=max(f[i,j],f[l,j-v[i]-v[fb[i]]-v[fa[i]]]+v[i]*p[i]+v[fb[i]]*p[fb[i]]+v[fa[i]]*p[fa[i]]);
49 資源問題
-----化工場裝箱員
50 樹形動態(tài)規(guī)劃
-----聚會的快樂
f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);
f[i,1]:=sigma(f[t[i]^.son,0]);
f[i,0]:=sigma(f[t[i]^.son,3]);
51 樹形動態(tài)規(guī)劃
-----皇宮看守
f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);
f[i,1]:=sigma(f[t[i]^.son,0]);
f[i,0]:=sigma(f[t[i]^.son,3]);
52 遞推天地
-----盒子與球
f[i,1]:=1;
f[i,j]:=j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]);
53 雙重動態(tài)規(guī)劃
-----有限的基因序列
f[i]:=min{f[j]+1}
g[c,i,j]:=(g[a,i,j] and g[b,i,j]) or (g[c,i,j])
54 最大子矩陣問題
-----居住空間
f[i,j,k]:=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),
min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])),
min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]),
f[i-1,j-1,k-1]))+1;
55 線性動態(tài)規(guī)劃
------日程安排
f[i]:=max{f[j]}+P[I]; (e[j]<s[i])
56 遞推天地
------組合數(shù)
C[I,j]:=C[i-1,j]+C[I-1,j-1]
C[I,0]:=1
57 樹形動態(tài)規(guī)劃
-----有向樹k中值問題
F[I,r,k]:=max{max{f[l[i],I,j]+f[r[i],I,k-j-1]},f[f[l[i],r,j]+f[r[i],r,k-j]+w[I,r]]}
58 樹形動態(tài)規(guī)劃
-----CTSC 2001選課
F[I,j]:=w[i](if i∈P)+f[l[i],k]+f[r[i],m-k](0≤k≤m)(if l[i]<>0)
59 線性動態(tài)規(guī)劃
-----多重歷史
f[i,j]:=sigma{f[i-k,j-1]}(if checked)
60 背包問題(+-1背包問題+回溯)
-----CEOI1998 Substract
f[i,j]:=f[i-1,j-a[i]] or f[i-1,j+a[i]]
61 線性動態(tài)規(guī)劃(字符串)
-----NOI 2000 古城之謎
f[i,1,1]:=min{f[i+length(s),2,1], f[i+length(s),1,1]+1} f[i,1,2]:=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]}
62 線性動態(tài)規(guī)劃
-----最少單詞個數(shù)
f[i,j]:=max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l}
63 線型動態(tài)規(guī)劃
-----APIO2007 數(shù)據(jù)備份
狀態(tài)壓縮＋剪掉每個階段j前j*2個狀態(tài)和j*2+200后的狀態(tài)貪心動態(tài)規(guī)劃
f[i]:=min(g[i-2]+s[i],f[i-1]);
64 樹形動態(tài)規(guī)劃
-----APIO2007 風鈴
f[i]:=f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])}
g[i]:=1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r])
g[l]=g[r]=1 then Halt;
65 地圖動態(tài)規(guī)劃
-----NOI 2005 adv19910
F[t,i,j]:=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];
66 地圖動態(tài)規(guī)劃
-----優(yōu)化的NOI 2005 adv19910
F[k,i,j]:=max{f[k-1,i,p]+1} j-b[k]<=p<=j;
67 目標動態(tài)規(guī)劃
-----CEOI98 subtra
F[I,j]:=f[I-1,j+a[i]] or f[i-1,j-a[i]]
68 目標動態(tài)規(guī)劃
----- Vijos 1037搭建雙塔問題
F[value,delta]:=g[value+a[i],delta+a[i]] or g[value,delta-a[i]]
69 樹形動態(tài)規(guī)劃
-----有線電視網(wǎng)
f[i,p]:=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j])
leaves[i]>=p>=l, 1<=q<=p;
70 地圖動態(tài)規(guī)劃
-----vijos某題
F[I,j]:=min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]);
71 最大子矩陣問題
-----最大字段和問題
f[i]:=max(f[i-1]+b[i],b[i]); f[1]:=b[1]
72 最大子矩陣問題
-----最大子立方體問題
枚舉一組邊i的起始讥巡，壓縮進矩陣 B[I,j]+=a[x,I,j]
枚舉另外一組邊的其實掀亩，做最大子矩陣
73 括號序列
-----線型動態(tài)規(guī)劃
f[I,j]:=min(f[I,j],f[i+1,j-1](s[i]s[j]=”()”or(”[]”)),
f[I+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ] , f[I,j-1]+1(s[j]=”)”or”]” )
74 棋盤切割
-----線型動態(tài)規(guī)劃
f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],
f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]
min{}}
75 概率動態(tài)規(guī)劃
-----聰聰和可可(NOI2005)
x:=p[p[i,j],j]
f[I,j]:=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1
f[I,i]=0
f[x,j]=1
76 概率動態(tài)規(guī)劃
-----血緣關(guān)系
F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2
f[I,i]=1
f[I,j]=0(I,j無相同基因)
77 線性動態(tài)規(guī)劃
-----決斗
F[I,j]=(f[I,j] and f[k,j]) and (e[I,k] or e[j,k]),i<k<j
78 線性動態(tài)規(guī)劃
-----舞蹈家
F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]])
79 線性動態(tài)規(guī)劃
-----積木游戲
F[I,a,b,k]=max(f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k’],f[I,a+1,a+1,k’])
80 樹形動態(tài)規(guī)劃（雙次記錄）
-----NOI2003 逃學(xué)的小孩
樸素的話枚舉節(jié)點i和離其最遠的兩個節(jié)點 j,k O(n^2)
每個節(jié)點記錄最大的兩個值，并記錄這最大值分別是從哪個相鄰節(jié)點傳過來的欢顷。當遍歷到某個孩子節(jié)點的時候槽棍，只需檢查最大值是否是從該孩子節(jié)點傳遞來的。如果是抬驴，就取次大炼七，否則取最大值
81 樹形動態(tài)規(guī)劃(完全二叉樹)
-----NOI2006 網(wǎng)絡(luò)收費
F[I,j,k]表示在點i所管轄的所有用戶中，有j個用戶為A布持，在I的每個祖先u上豌拙，如果N[a]>N[b]則標0否則標1，用二進制狀態(tài)壓縮進k中鳖链，在這種情況下的最小花費
F[I,j,k]:=min{f[l,u,k and (s[i]<<(i-1))]+w1,f[r,j-u,k and(s[i]<<(i-1))]}
82 樹形動態(tài)規(guī)劃
-----IOI2005 河流
F[i]:=max
83 記憶化搜索
-----Vijos某題,忘了
F[pre,h,m]:=sigma{SDP(I,h+1,M+i)} (pre<=i<=M＋1)
84 狀態(tài)壓縮動態(tài)規(guī)劃
-----APIO 2007 動物園
f[I,k]:=f[i-1,k and not (1<<4)] + NewAddVal
85 樹形動態(tài)規(guī)劃
-----訪問術(shù)館
f[i,j-c[i]×2]:= max ( f[l[i],k], f[r[i],j-c[i]×2-k] )
86 字符串動態(tài)規(guī)劃
-----Ural 1002 Phone
if exist(copy(s,j,i-j)) then f[i]:=min(f[i],f[j]+1);
87 多進程動態(tài)規(guī)劃
-----CEOI 2005 service
Min( f[i,j,k], f[i-1,j,k] + c[t[i-1],t[i]] )
Min( f[i,t[i-1],k], f[i-1,j,k] + c[j,t[i]] )
Min( f[i,j,t[i-1]], f[i-1,j,k] + c[k,t[i]] )
88 多進程動態(tài)規(guī)劃
-----Vijos1143 三取方格數(shù)
max(f[i,j,k,l],f[i-1,j-R[m,1],k-R[m,2],l-R[m,3]]);
if (j=k) and (k=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]) else
if (j=k) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[l,i-l]) else
if (k=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else
if (j=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else
inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]+a[l,i-l]);
89 線型動態(tài)規(guī)劃
-----IOI 2000 郵局問題
f[i,j]:=min(f[I,j],f[k,j-1]+d[k+1,i]);
90 線型動態(tài)規(guī)劃
-----Vijos 1198 最佳課題選擇
if j-k>=0 then Min(f[i,j],f[i-1,j-k]+time(i,k));
91 背包問題
----- USACO Raucous Rockers
多個背包姆蘸，不可以重復(fù)放物品，但放物品的順序有限制芙委。
F[I,j,k]表示決策到第i個物品逞敷、第j個背包，此背包花費了k的空間灌侣。
f[I,j,k]:=max(f[I-1,j,k],f[I-1,j,k-t[i]]+p[i],f[i-1,j-1,maxtime-t[i]])
92 多進程動態(tài)規(guī)劃
-----巡游加拿大（IOI95推捐、USACO）
d[i,j]=max{d[k,j]+1(a[k,i] & j<k<i),d[j,k]+1(a[I,j] & (k<j))}。
f[i,j]表示從起點出發(fā)侧啼，一個人到達i牛柒，另一個人到達j時經(jīng)過的城市數(shù)。d[i,j]=d[j,i]痊乾，所以我們限制i>j
分析狀態(tài)(i,j)皮壁，它可能是(k,j)(j<k<i)中k到達i得到（方式1），也可能是(j,k)(k<j)中k超過j到達i得到（方式2）哪审。但它不能是(i,k)(k<j)中k到達j得到蛾魄，因為這樣可能會出現(xiàn)重復(fù)路徑。即使不會出現(xiàn)重復(fù)路徑湿滓，那么它由(j,k)通過方式2同樣可以得到滴须，所以不會遺漏解 時間復(fù)雜度O(n3)
93 動態(tài)規(guī)劃
-----ZOJ cheese
f[i,j]:=f[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]+a[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]
94 動態(tài)規(guī)劃
-----NOI 2004 berry 線性
F[I,1]:=s[i]
F[I,j]:=max{min{s[i]-s[l-1]},f[l-1,j-1]} (2≤j≤k, j≤l≤i)
95 動態(tài)規(guī)劃
-----NOI 2004 berry 完全無向圖
F[I,j]:=f[i-1,j] or (j≥w[i]) and (f[i-1,j-w[i]])
96 動態(tài)規(guī)劃
-----石子合并 四邊形不等式優(yōu)化
m[i,j]=max{m[i+1,j], m[i,j-1]}+t[i,j]
97 動態(tài)規(guī)劃
-----CEOI 2005 service
（k≥long[i]，i≥1）g[i, j, k]=max{g[i-1,j,k-long[i]]+1叽奥，g[i-1,j,k]}
（k<long[i]扔水，i≥1） g[i, j, k]=max{g[i-1,j-1,t-long[i]]+1，g[i-1,j,k]}
(0≤j≤m朝氓， 0≤k<t) g[0,j,k]=0;
ans:=g[n,m,0]魔市。
狀態(tài)優(yōu)化：g[i, j]=min{g[i-1,j]主届，g[i-1,j-1]+long[i]}
其中(a, b)+long[i]=(a’, b’)的計算方法為：
當b+long[i] ≤t時： a’=a; b’=b+long[i];
當b+long[i] ＞t時： a’=a+1; b’=long[i];
規(guī)劃的邊界條件：
當0≤i≤n時，g[i,0]=(0,0)
98 動態(tài)規(guī)劃
-----AHOI 2006寶庫通道
f[k]:=max{f[k-1]+x[k,j]-x[k,i-1], x[k,j]-x[k,i-1]}
99 動態(tài)規(guī)劃
-----Travel
A) 費用最少的旅行計劃待德。
設(shè)f[i]表示從起點到第i個旅店住宿一天的最小費用岂膳；g[i]表示從起點到第i個旅店住宿一天，在滿足最小費用的前提下所需要的最少天數(shù)磅网。那么：
f[i]=f[x]+v[i], g[i]=g[x]+1
x滿足：
1、 x<i筷屡，且d[i] – d[x] <= 800（一天的最大行程）涧偷。
2、 對于所有的t < i, d[i] – d[t] <= 800毙死，都必須滿足：
A. g[x] < g[t](f[x] = f[t]時) B. f[x] < f[t] (其他情況)
f[0] = 0燎潮，g[0] = 0。 Ans:=f[n + 1]扼倘，g[n+1]确封。
B). 天數(shù)最少的旅行計劃。
方法其實和第一問十分類似再菊。
設(shè)g’[i]表示從起點到第i個旅店住宿一天的最少天數(shù)爪喘；f’[i]表示從起點到第i個旅店住宿一天，在滿足最小天數(shù)前提下所需要的最少費用纠拔。那么：
g’[i] = g’[x] + 1, f’[i] = f’[x] + v[i]
x滿足：
1秉剑、 x<i，且d[i] – d[x] <= 800（一天的最大行程）稠诲。
2侦鹏、 對于所有的t < i, d[i] – d[t] <= 800，都必須滿足：
f’[x] < f’[t] g’[x] = g’[t]時
g’[x] < g’[t] 其他情況
f’[0] = 0臀叙，g’[0] = 0略水。 Ans:=f’[n + 1]，g’[n+1]劝萤。
100 動態(tài)規(guī)劃
-----NOI 2007 cash
y:=f[j]/(a[j]*c[j]+b[j]);
g:=c[j]*y*a[i]+y*b[i];
f[i]:=max(f[i],g)
