令人目眩的萬花筒嫂易，螺旋紋路的西蘭花兄朋，它們之間存在什么相似之處掐禁？
我們說“一花一世界怜械，一樹一菩提”颅和，說的是以小見大，從細微之處洞察宏觀的哲學思考缕允，而“一即是全峡扩，全即是一”，是我能想到的對分形最傳神的表達障本。無數(shù)自然景物中都存在這樣一個特點教届，你越是仔細去看，放大觀察驾霜，就能發(fā)現(xiàn)越多的細節(jié)案训，放大鏡下的世界，不僅沒有變得單調(diào)乏味粪糙，反而顯現(xiàn)出和正常尺度下相似的復雜性强霎。想一想，如果有這么一樣東西蓉冈，不管你怎么放大它城舞，看到的都是相似圖案的循環(huán)，在放大10000倍的一個角落里寞酿，居然出現(xiàn)了和整個物體相同的花紋家夺，這是多么美妙的圖案！實際上伐弹，這就是完美分形的概念拉馋。
分形（Fractal）和物體的自相似性有很大聯(lián)系。生活里面惨好，我們發(fā)現(xiàn)許多自然生成的東西往往有極其復雜的細節(jié)椅邓，而且組成它們的微小部分就好像是整體的縮小版，它們在各個尺度上的復雜程度都很相似昧狮。蜿蜒的海岸線景馁，發(fā)散的樹枝，海螺的斷面逗鸣，這些都是自然生成的自相似圖形合住，它們可能還不那么完美，但是一旦我們進入到理想世界撒璧，就可以構(gòu)造出各種各樣的完美分形透葛。
數(shù)學里的分形
數(shù)學里的分形可以說是從康托爾集（Cantor Set）開始的。取一個線段卿樱，把它中間的1/3去掉得到兩個分開的線段僚害，再對剩下的兩段進行相同的操作，得到4個線段繁调，這樣重復進行下去直到無窮萨蚕，最后得到的圖形集合就是康托爾集靶草。
這樣我們就用一個看似簡單的步驟得到了一個無限復雜的圖形，而且它的每一個細節(jié)放大之后都和整體看起來一樣岳遥，這不是很神奇很有趣的一件事嗎奕翔！
類似地，我們來看看科克曲線（Koch snowflake）的構(gòu)造過程浩蓉。從一個正三角形開始派继，在它的每個邊上增加一個1/3大小的小三角，它就變成了一個六角星捻艳，接著在每個小三角的邊上繼續(xù)增加它的1/3大小的小三角驾窟，然后一直重復這個過程。
如果說康托爾集只是最平淡的分形作品认轨，那么科克曲線終于讓我們領(lǐng)略到了分形之美纫普，總體看來它是一個雪花的形狀，放大之后好渠，你會發(fā)現(xiàn)它的細節(jié)就是本身形狀的無數(shù)次復制昨稼，沒有窮盡。聰明的你一定也發(fā)現(xiàn)了拳锚，這樣一個圖案會有非常奇怪的特性：它的周長是無限大假栓，面積卻不可能超過六角星的外接圓，它是一個無限復雜的封閉曲線霍掺，但絕不會和自己相交匾荆。
基于這些特性，著名數(shù)學家Mandelbrot聯(lián)想到了一個困擾了人們很多年的問題：英國的海岸線究竟有多長杆烁？以此為題牙丽，他在科學雜志上發(fā)表了對這一問題的深入探討，我們之所以測不準海岸線的長度兔魂，是因為海岸線就是一個天然的分形烤芦，你測量的尺子越精細，得到的長度就會越長析校，隨著放大倍數(shù)的增大构罗，海岸線呈現(xiàn)出來的細節(jié)也就越多。
最后我們來看一看這個以他的名字命名的Mandelbrot集合智玻，這個集合在平面上繪制出來就是一個奇異的分型圖案遂唧，它集非常簡單的產(chǎn)生公式和無限復雜的圖像為一體冠句，是的走贪，它就是這樣的一個怪物饺谬，所以曾被人們譽為“上帝的指紋”突想。
這一集合的產(chǎn)生是在一個二維平面內(nèi)扮惦，具體來說是x軸是正常實數(shù)萤彩，y軸是對應復數(shù)的復平面稳吮。得到它的步驟是：
在平面內(nèi)任取一點乙墙，例如（x,y）
讓c=x+y
從a1=0開始循環(huán)計算這樣一個式子：
如果這個式子構(gòu)成的數(shù)列是發(fā)散的，即最后趨近于無窮掌实，那么這個點（x,y）不在Mandelbrot集合之內(nèi)；反之邦马，如果這個數(shù)列是有邊界的贱鼻，那么這個點在集合之內(nèi)。
如果根據(jù)這個規(guī)則，我們把平面內(nèi)的所有的點都驗證一遍掘宪，就會畫出Mandelbrot集合這個圖案蛾扇，它本身的細節(jié)極其復雜，以至于放大了百億倍之后還呈現(xiàn)出精細的圖案魏滚，每一個細節(jié)又和整體極其相似镀首。
在這一圖像剛剛被發(fā)現(xiàn)的時候鼠次，人們還不能看清它的精細結(jié)構(gòu)更哄，有大量數(shù)學家對這一發(fā)現(xiàn)表示不屑，他們認為分形沒有實際用途腥寇，甚至不應該屬于數(shù)學這一門類成翩。但是很快，隨著電腦技術(shù)的興起赦役，分形被廣泛運用到復雜圖像的產(chǎn)生和處理上麻敌，其中包括大量電影里的星球表面，山川起伏和液體噴射的畫面掂摔。
工程學上庸论，我們很早就發(fā)現(xiàn)了它在天線設(shè)計領(lǐng)域的重要性，使用分形樣式的天線棒呛，不僅可以大大縮小天線的體積聂示，還可以保證更好的收發(fā)效果，也正是因為分形的這一應用簇秒，我們的手機才得以擺脫那些明顯的天線鱼喉，做成現(xiàn)在這種簡約時尚的樣式。到現(xiàn)在，幾乎所有的復雜工程建模里都可以看到分形的身影了扛禽。
分形的維度
既然是維度探索锋边，那么我們就來談談分形和維度之間的巧妙聯(lián)系吧。在上一篇維度探索中（維度探索：四維空間和更高維度）编曼，我們討論了從0維到多維的世界豆巨，以及降維觀察一個高維度物體的辦法，但是提及的維度都是不小于0的整數(shù)維度掐场，那么存不存在不是整數(shù)的維度呢往扔？從數(shù)學的角度來說，答案是肯定的熊户。
首先我們來看看一個有趣的圖案萍膛，它的名字叫皮亞諾曲線（Peano Curve），它是通過不斷構(gòu)造這種自相似的形狀最終把正方形填滿的一種曲線嚷堡。
如果這樣一條本該是一維的曲線卻憑借分形特征填滿了二維的形狀蝗罗，那它到底是一維還是二維呢？
為了解決類似這樣的問題蝌戒，我們需要了解一下分形維度串塑，它的神奇之處在于，這種定義下的維度可以是分數(shù)北苟，也可以是無理數(shù)拟赊。也就是說存在這樣的分形，它的維度是log2(3)粹淋，或者是1.58吸祟。
想知道這是怎么做到的，我們要先玩一個找規(guī)律的游戲桃移，以經(jīng)典的謝爾賓斯基三角形（Sierpinski triangle）為例屋匕，來看看所謂分形維度是怎么確定的吧：
1借杰，我們找到一個長度為1的線段过吻，再把它的尺寸縮小成原來的0.5倍，那么要2個新的線段才能組成原來的線段蔗衡。
2纤虽，接著找到一個面積為1的正方形，把它的尺寸（邊長）縮小成原來的0.5倍绞惦，那么要4個新的正方形才能組成原來的正方形逼纸。
3，同樣找到一個體積為1的正方體济蝉，把它的尺寸（邊長）縮小成原來的0.5倍杰刽，那么要8個新的正方體才能組成原來的正方體菠发。
4，最后找到一個單位尺寸的謝爾賓斯基三角形贺嫂，把它的尺寸（邊長）縮小成原來的0.5倍滓鸠，那么要3個新的三角形才能組成原來的三角形。
關(guān)注上面出現(xiàn)的這幾組數(shù)字第喳，我們就能解開分形維度的秘密：
對于普通的線段糜俗，縮放倍數(shù)是0.5時，新線段就是原來的0.5倍長曲饱，由于0.51=0.5悠抹，所以我們說線段是1維的；再看看正方形渔工，縮放倍數(shù)是0.5的時候锌钮，新正方形是原來的0.25倍大桥温，由于0.52=0.25引矩，所以我們說正方形是2維的；同樣侵浸，正方體縮放倍數(shù)是0.5旺韭，小正方體只有原來的八分之一即0.125，而0.53=0.125掏觉，代表正方體為3維区端。（Tips：縮放倍數(shù)也可以不是0.5，如果取其他的倍數(shù)澳腹，對計算結(jié)果沒有影響织盼。）
有興趣的小伙伴可以自行檢驗，謝爾賓斯基三角形的維度計算結(jié)果是1.585維酱塔，或者說是之前提到過的log2(3)維（即log0.5(1/3)）沥邻。按照這樣的定義，一個分形物體的維度就出現(xiàn)了無理數(shù)的情況羊娃，這是多么的神奇唐全！
課后習題時間：對于下圖這樣一個分形（在矩形邊上不斷增加小矩形邊得到的），它的分形維度又是多少呢蕊玷？大家可以在留言里寫下你的答案邮利。
到這里我們就完成了對分形維度的認識，或者可以叫它的另一個名字：Hausdorff維度垃帅。它的提出不僅解決了這種特殊的維度計算延届，還和整數(shù)維度的形體吻合得很好，就像我們的例子里計算的那樣贸诚，不得不說是一個偉大的發(fā)現(xiàn)了祷愉。其實窗宦，分形維度更主要的是用來形容形體的不規(guī)則程度，和我們一般理解的空間維度已經(jīng)有所不同了二鳄，但還是會受到傳統(tǒng)意義上整數(shù)維度的約束赴涵，表現(xiàn)為平面上的分形維度在1到2之間，當然也有立體的分形订讼，它們的維度也會更高髓窜。
為了幫助理解這種不規(guī)則度的評價方法，點擊原文可以進入一個神奇的網(wǎng)站（ipfs）欺殿，里面列舉了許多形體的分形維度寄纵。在這里我也找到了一些有趣的東西，例如西蘭花的分形維度是2.66脖苏，而人體肺部達到了2.97程拭，也就是說肺部的復雜程度比西蘭花要高，但實際上在傳統(tǒng)空間維度上來說棍潘，它們都是三維物體恃鞋。
來源參考
https://ipfs.io/ipfs/QmXoypizjW3WknFiJnKLwHCnL72vedxjQkDDP1mXWo6uco/wiki/List_of_fractals_by_Hausdorff_dimension.html
https://mathigon.org/world/Fractals
https://mathigon.org/world/resources/Fractals/Fractals.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=gB9n2gHsHN4
Video by PBS: Hunting the hidden dimension (2008)
