BigInteger （億進制高精度）類設(shè)計實驗報告

課程設(shè)計題目：BigInteger（億進制高精度）類設(shè)計實驗

一株茶、問題描述

C/C++ 語言中的 int 類型能表示的整數(shù)范圍是-2^{31}~2^{31}-1，unsigned int 類型能表示的整數(shù)范圍是 0~2^{32}-1滞诺，即 0~4294967295吨悍，所以胚想，int 和 unsigned int 類型都不能存儲超過10位的整數(shù)尼啡。有些問題需要處理的整數(shù)遠遠不止10位暂衡，這種大整數(shù)用C/C++語言的基本數(shù)據(jù)類型無法直接表示。請編寫算法完成兩個大整數(shù)的加崖瞭、減狂巢、乘和除等基本的代數(shù)運算。

二书聚、基本要求

  1. 大整數(shù)的長度在100位以下隧膘；
  2. 設(shè)計存儲結(jié)構(gòu)表示大整數(shù)；
  3. 設(shè)計算法實現(xiàn)兩個大整數(shù)的加寺惫、減、乘和除等基本的代數(shù)運算蹦疑；
  4. 分析算法的時間復雜度和空間復雜度西雀。

三、概要設(shè)計

1. 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的設(shè)計

采取符號和數(shù)位分離歉摧，以便模擬手算艇肴。

存儲結(jié)構(gòu)我們使用 C++ 自帶的 vector腔呜，這樣既在能隨機存取的情況下，又能實現(xiàn)按需分配空間再悼。

存儲數(shù)位時核畴，我們每8位存放在一個 int 里（億進制高精度）。較之每1位存一個 int 的寫法（十進制高精度）冲九，雖然不改變時間復雜度和空間復雜度谤草，但通過壓位能降低常數(shù)（相當于 n 變成 n/8，n 為 BigInteger 的位數(shù)）莺奸，實際運行表現(xiàn)有較大改善丑孩。

2. 算法的設(shè)計

關(guān)于 BigInteger 類實現(xiàn)的各種算法，多為模擬手算過程灭贷，在此就以較復雜的除法（BigInteger 除 BigInteger）為例温学，其余的算法就只給出時間復雜度和空間復雜度，實現(xiàn)方法便不一一贅述了甚疟。

偽代碼如下

BigInteger operator/(BigInteger a, BigInteger b) {
    if (b == 0) throw "被零除";
    c.sign = a.sign * b.sign;
    a.sign = b.sign = 1; // 這樣只用考慮整數(shù)除整數(shù)
    for (int i = a.s.size() - b.s.size(); i >= 0; i--) {
        // 模擬手算的豎式除法仗岖，這里用二分求要填的數(shù)
        int l = 0, r = BigInteger::BASE - 1;
        int mid = (l + r + 1) >> 1;
        for (; l < r; mid = (l + r + 1) >> 1) {
            d = b * mid 再移位（乘以10^?）;
            
            // 更新 l 或 r
            if (a > d) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        a = a - b * l 再移位（乘以10^?）;
        c.s[i] = l; // 豎式除法中的填上數(shù)步驟
    }
    return c;
}

記n為大整數(shù)的位數(shù)（十進制），BASE為進制览妖，WIDTH為 BigInteger 中一位對應(yīng)十進制的寬度轧拄。在億進制高精度的情況下，這里BASE=10^8,WIDTH=8黄痪。

我們分析整個除法計算次數(shù)最多的步驟紧帕。類似手算除法的豎式除法，商的位數(shù)最多是除數(shù)位數(shù)與被除數(shù)的位數(shù)之差桅打，又因為采用億進制是嗜，故商的位數(shù)與n/WIDTH同階。每一位我們都要試商挺尾，若用二分法試商鹅搪，則試商次數(shù)為log_2{BASE}。商試過程中遭铺，我們需要到道高精度乘低精度和高精度比較大小丽柿，時間復雜度為O(n)。故時間復雜度為O(\frac{n}{WIDTH}*log_2{BASE}*n)魂挂，忽略常數(shù)得O(n^2)甫题。

整個算法中，需要幾個臨時的 BigInteger 變量涂召，故空間復雜度為O(n)坠非。

時間復雜度 空間復雜度
O(n^2) O(n)

其余的基本代數(shù)運算：

加、減

時間復雜度 空間復雜度
O(n) O(n)

乘果正、取模

時間復雜度 空間復雜度
O(n^2) O(n)

比較運算符

時間復雜度 空間復雜度
O(n) O(1)

3. 抽象數(shù)據(jù)類型的設(shè)計

ADT BigInteger
Operation
    構(gòu)造函數(shù)
        前置條件：BigInteger 不存在
        輸入：一個 long long 或正確的 string
        功能：構(gòu)造相應(yīng)的 BigInteger
        輸出：無
        后置條件：一個相應(yīng)的 BigInteger
    析構(gòu)函數(shù)
        前置條件：一個已經(jīng)存在的 BigInteger
        輸入：無
        功能：銷毀該 BigInteger
        輸出：無
        后置條件：釋放該 BigInteger 所占用的存儲空間
    +  -  *
        前置條件：無
        輸入：兩個已經(jīng)存在的 BigInteger
        功能：實現(xiàn)兩個 BigInteger 的加炎码、減或乘運算
        輸出：返回運算結(jié)果（BigInteger）
        后置條件：兩個 BigInteger 不變
    /  %
        前置條件：無
        輸入：兩個已經(jīng)存在的 BigInteger
        功能：實現(xiàn)兩個 BigInteger 的整除或取模運算
        輸出：若除數(shù)非零盟迟，返回運算結(jié)果（BigInteger），否則拋出異常
        后置條件：兩個 BigInteger 不變
    <  >  ==  <=  >=
        前置條件：無
        輸入：兩個已經(jīng)存在的 BigInteger
        功能：實現(xiàn)兩個 BigInteger 的比較大小
        輸出：返回運算結(jié)果（bool）
        后置條件：兩個 BigInteger 不變
    +=  -=  *=  /=  %=
        前置條件：一個已經(jīng)存在的 BigInteger
        輸入：另一個已經(jīng)存在的 BigInteger
        功能：實現(xiàn)類似于 C++ int 的五個賦值運算符
        輸出：返回運算結(jié)果（BigInteger）
        后置條件：類似于 C++ int 的結(jié)果
    <<
        前置條件：無
        輸入：一個已經(jīng)存在的 BigInteger
        功能：輸出該 BigInteger
        輸出：返回運算結(jié)果（ostream）
        后置條件：該 BigInteger 不變
    >>
        前置條件：有輸入流
        輸入：一個已經(jīng)存在的 BigInteger
        功能：從輸入流中提取大整數(shù)到該 BigInteger 中
        輸出：返回運算結(jié)果（istream）
        后置條件：該 BigInteger 讀入了大整數(shù)
endADT

四潦闲、詳細設(shè)計

1. 設(shè)計抽象數(shù)據(jù)類型對應(yīng)的C++類定義

為避免文章過于冗雜攒菠，請參見后文五、運行與測試 -> 4. 程序清單與運行結(jié)果歉闰。

2. 設(shè)計每個成員函數(shù)

成員函數(shù)除了前文三辖众、概要設(shè)計 -> 3. 抽象數(shù)據(jù)類型的設(shè)計中所列出的借口，還有部分輔助函數(shù)新娜，例如void __defragment()用于實現(xiàn)整理 BigInteger赵辕，BigInteger __BigInteger_shift(const BigInteger &b, const int &x)用于實現(xiàn)除法過程中需要的移位。它們的實現(xiàn)并不復雜概龄，為避免文章過于冗雜还惠，請參見后文五、運行與測試 -> 4. 程序清單與運行結(jié)果私杜。

3. 設(shè)計主函數(shù)

主函數(shù)主要包括調(diào)用構(gòu)造函數(shù)蚕键，加減乘除取模等運算進行測試。

五衰粹、運行與測試

1. 測試環(huán)境

運行環(huán)境：Windows 20H2, i7-9750H @ 2.60GHz, 16GB RAM

編譯器：gcc version 8.1.0 (x86_64-posix-seh-rev0, Built by MinGW-W64 project)

編譯命令：-g

運行終端：cmd

2. 在調(diào)試程序的過程中遇到的問題與解決方案

問題1：執(zhí)行完sprintf后變量i莫名其妙改變了

解決方案：經(jīng)過仔細檢查锣光，我排除了自己編程出錯的情況，于是判斷為編譯器異常铝耻。后重裝編譯器誊爹，現(xiàn)問題已解決。

問題2：對拍時與 Python 計算結(jié)果有差異

解決方案：出現(xiàn)問題的原因是瓢捉，Python 中的整除是向下取整频丘，而 C++ 一般是向零取整，所以當遇到負數(shù)的情況下泡态，兩種取整方式計算出的商和余數(shù)可能不同搂漠。后在和 Python 的對拍中，只考慮自然數(shù)大整數(shù)運算某弦，現(xiàn)問題已解決桐汤。

問題3：對拍中 Python 運行速度遠遠快于 C++

解決方案：原來是對拍程序里的有個計時器忘記累加時間了，改正后現(xiàn)問題已解決靶壮。

3. 設(shè)計的測試數(shù)據(jù)與測試結(jié)果

測試1為設(shè)計部分極端樣例怔毛，觀察程序是否符合預期。

輸入樣例1

12
-5

輸出樣例1

7
17
-60
-2
2

輸入樣例2

-12
5

輸出樣例2

-7
-17
-60
-2
-2

輸入樣例3

-12
-5

輸出樣例3

-17
-7
60
2
2
-2

輸入樣例4

12345678901234567890
0

輸出樣例4

12345678901234567890
12345678901234567890
0

然后在除零時拋出異常腾降。

有先導0的情況會在測試2中測試馆截。

測試2為用隨機數(shù)生成100位左右的大整數(shù)，和標程對拍，對拍10000次蜡娶。

4. 程序清單及運行結(jié)果

程序清單如下

// main.cpp

#include <iostream>
#include "BigInteger.h"
using namespace std;

int main()
{
    // BigInteger y;
    // BigInteger x = y;
    // BigInteger z = -12356789012345678ll;
    // cout << z;

    BigInteger a, b;
    cin >> a >> b;
    cout << a + b << "\n";
    cout << a - b << "\n";
    cout << a * b << "\n";
    cout << a / b << "\n";
    cout << a % b << "\n";

    return 0;
}

// BigInteger.h

#ifndef BIGINTEGER_H
#define BIGINTEGER_H 1

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;

class BigInteger
{
public:
    BigInteger(long long num = 0);
    BigInteger(const string &str);
    ~BigInteger();

    BigInteger operator=(const long long num);
    BigInteger operator=(const string &str);

    BigInteger operator+() const;
    BigInteger operator-() const;

    friend BigInteger operator+(const BigInteger &a, const BigInteger &b);
    friend BigInteger operator-(const BigInteger &a, const BigInteger &b);
    friend BigInteger operator*(const BigInteger &a, const BigInteger &b);
    friend BigInteger operator/(const BigInteger &a, const BigInteger &b);
    friend BigInteger operator%(const BigInteger &a, const BigInteger &b);

    BigInteger operator+=(const BigInteger&b);
    BigInteger operator-=(const BigInteger&b);
    BigInteger operator*=(const BigInteger&b);
    BigInteger operator/=(const BigInteger&b);
    BigInteger operator%=(const BigInteger&b);

    friend bool operator<(const BigInteger &a, const BigInteger &b);
    friend bool operator>(const BigInteger &a, const BigInteger &b);
    friend bool operator==(const BigInteger &a, const BigInteger &b);
    friend bool operator<=(const BigInteger &a, const BigInteger &b);
    friend bool operator>=(const BigInteger &a, const BigInteger &b);

    friend ostream &operator<<(ostream &out, const BigInteger &x);
    friend istream &operator>>(istream &in, BigInteger &x);

private:
    vector<int> s;
    int sign = 1;

    static const int BASE = 100000000;
    static const int WIDTH = 8;

    void __defragment();
    friend BigInteger __BigInteger_shift(const BigInteger &b, const int &x);
};

#endif /* BIGINTEGER_H */


#ifndef BIGINTEGER_H
#define BIGINTEGER_H 1

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;

class BigInteger
{
public:
    BigInteger(long long num = 0);
    BigInteger(const string &str);
    ~BigInteger();

    BigInteger operator=(const long long num);
    BigInteger operator=(const string &str);

    BigInteger operator+() const;
    BigInteger operator-() const;

    friend BigInteger operator+(const BigInteger &a, const BigInteger &b);
    friend BigInteger operator-(const BigInteger &a, const BigInteger &b);
    friend BigInteger operator*(const BigInteger &a, const BigInteger &b);
    friend BigInteger operator/(const BigInteger &a, const BigInteger &b);
    friend BigInteger operator%(const BigInteger &a, const BigInteger &b);

    BigInteger operator+=(const BigInteger&b);
    BigInteger operator-=(const BigInteger&b);
    BigInteger operator*=(const BigInteger&b);
    BigInteger operator/=(const BigInteger&b);
    BigInteger operator%=(const BigInteger&b);

    friend bool operator<(const BigInteger &a, const BigInteger &b);
    friend bool operator>(const BigInteger &a, const BigInteger &b);
    friend bool operator==(const BigInteger &a, const BigInteger &b);
    friend bool operator<=(const BigInteger &a, const BigInteger &b);
    friend bool operator>=(const BigInteger &a, const BigInteger &b);

    friend ostream &operator<<(ostream &out, const BigInteger &x);
    friend istream &operator>>(istream &in, BigInteger &x);

private:
    vector<int> s;
    int sign = 1;

    static const int BASE = 100000000;
    static const int WIDTH = 8;

    void __defragment();
    friend BigInteger __BigInteger_shift(const BigInteger &b, const int &x);
};

#endif /* BIGINTEGER_H */

測試1

樣例1（符合預期）

D:\OneDrive - mail2.sysu.edu.cn\MyDocuments\code\DSA\week04\BigInteger>BigInteger.exe
12
-5
7
17
-60
-2
2

樣例2（符合預期）

D:\OneDrive - mail2.sysu.edu.cn\MyDocuments\code\DSA\week04\BigInteger>BigInteger.exe
-12
5
-7
-17
-60
-2
-2

樣例3（符合預期）

D:\OneDrive - mail2.sysu.edu.cn\MyDocuments\code\DSA\week04\BigInteger>BigInteger.exe
-12
-5
-17
-7
60
2
-2

樣例4（符合預期）

D:\OneDrive - mail2.sysu.edu.cn\MyDocuments\code\DSA\week04\BigInteger>BigInteger.exe
12345678901234567890
0
12345678901234567890
12345678901234567890
0
terminate called after throwing an instance of 'char const*'

測試2（符合預期）

和 Python 對拍

Python 代碼

# BigInteger.py

a = int(input())
b = int(input())
print(a + b)
print(a - b)
print(a * b)
print(a // b)
print(a % b)

對拍程序（.cpp）

// 對拍.cpp

#include <ctime>
#include <iostream>
using namespace std;

const int _T = 1e4;

int main()
{
    clock_t mycpp_start_time, mycpp_end_time;
    double mycpp_total_time;
    clock_t ans_py_start_time, ans_py_end_time;
    double ans_py_total_time;

    int TTT = _T;
    while (TTT--)
    {
        cout << "Case: " << _T - TTT << "\n";
        system("rand.exe > BigInteger.in");

        ans_py_start_time = clock();
        system("python BigInteger.py < BigInteger.in > BigInteger.ans");
        ans_py_end_time = clock();
        ans_py_total_time += (double)(ans_py_end_time - ans_py_start_time) / CLOCKS_PER_SEC;
        
        mycpp_start_time = clock();
        system("BigInteger.exe < BigInteger.in > BigInteger.out");
        mycpp_end_time = clock();
        mycpp_total_time += (double)(mycpp_end_time - mycpp_start_time) / CLOCKS_PER_SEC;

        if (system("fc BigInteger.ans BigInteger.out"))
        {
            system("pause");
            break;
        }
    }
    if (TTT == -1)
    {
        cout << "Complete.\n";
        cout << "Run times: " << _T << "\n";
        cout << "Ans py total time: " << ans_py_total_time << "s\n";
        cout << "My cpp total time: " << mycpp_total_time << "s\n";
    }
    else
        cout << "error" << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

隨機數(shù)據(jù)生成程序（.cpp）（不考慮負數(shù)，原因見五映穗、運行與測試 -> 2. 在調(diào)試程序的過程中遇到的問題與解決方案）

// rand.cpp

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using namespace std;

inline void work(int x)
{
    // if (rand() & 1)
    //     printf("-");
    while (rand() & 15)
        printf("0");
    while (x--)
        printf("%d", (rand() << 15) + rand());
    printf("\n");
}

int main()
{
    srand(time(NULL));
    rand(), rand(), rand();

    work(12);
    work(10);

    return 0;
}

對拍結(jié)果如下

D:\OneDrive - mail2.sysu.edu.cn\MyDocuments\code\DSA\week04\BigInteger>對拍.exe

（中間輸出過長已省略）

Case: 9999
Comparing files BigInteger.ans and BIGINTEGER.OUT
FC: no differences encountered

Case: 10000
Comparing files BigInteger.ans and BIGINTEGER.OUT
FC: no differences encountered

Complete.
Run times: 10000
Ans py total time: 357.602s
My cpp total time: 173.728s
Press any key to continue . . .

像這類的程序窖张，C++ 比 Python 運行速度更快但代碼實現(xiàn)更難，這是符合預期的蚁滋。

和 cpp 標程對拍

cpp標程來自技能書的博客高精度壓位（億進制）模板宿接，網(wǎng)址https://blog.csdn.net/long_hen/article/details/105023965。不過他取模的兩個數(shù)均為負的情況符號寫錯了辕录，我?guī)退倪^來了睦霎。

代碼過長，在此便不展示了走诞。

對拍程序大體同上副女，只修改了部分名稱。

隨機數(shù)據(jù)生成程序同上蚣旱，但刪去注釋碑幅，即考慮有負數(shù)的情況。

對拍結(jié)果如下

D:\OneDrive - mail2.sysu.edu.cn\MyDocuments\code\DSA\week04\BigInteger>對拍.exe

（中間輸出過長已省略）

Case: 9999
Comparing files BigInteger.ans and BIGINTEGER.OUT
FC: no differences encountered

Case: 10000
Comparing files BigInteger.ans and BIGINTEGER.OUT
FC: no differences encountered

Complete.
Run times: 10000
Ans cpp total time: 136.167s
My cpp total time: 173.101s
Press any key to continue . . .

考慮到我用的是vector塞绿，而標程用的是數(shù)組沟涨，這個結(jié)果可以接受。

六异吻、總結(jié)與心得

  1. C++ 相較于其他編程語言的高性能在本例中體現(xiàn)得淋漓盡致裹赴。

  2. 高精度不愧為最能鍛煉代碼能力的模板之一，原理簡單但實現(xiàn)難诀浪，同時還得考慮很多特殊情況棋返。寫一遍高精度，受益匪淺笋妥。

  3. 實際上懊昨，上述部分寫法有些部分為了代碼實現(xiàn)方便而小幅度犧牲了性能，例如 BigInteger 的構(gòu)造函數(shù)可以直接寫而不是調(diào)用operator =春宣。如需獲得更好的性能表現(xiàn)酵颁，這些部分可以改善，但會使代碼更加冗雜月帝。

  4. 如果采用FFT（快速傅里葉變換）和NTT（快速數(shù)論變換）算法躏惋，可以將乘法的時間復雜度優(yōu)化到O(nlonn)。再利用牛頓迭代嚷辅，可以將除法的時間復雜度優(yōu)化到O(nlonn)簿姨，進而優(yōu)化取模。不過可惜的是，本人實力有限扁位。

  5. 筆者以前沒有敲過高精度除高精度准潭，也沒敲過億進制高精度。以前總想著代碼實現(xiàn)很難很恐怖域仇，但敲完這次后感覺也沒有那么繁瑣刑然。人有時候真的只是被自己嚇倒了。不禁讓人想起一句曾經(jīng)的網(wǎng)絡(luò)流行語：

消除恐懼的最好辦法就是面對恐懼暇务。加油泼掠，奧利給！

七垦细、參考資料

  1. 劉汝佳. 算法競賽入門經(jīng)典. 清華大學出版社, 2009.
?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者
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