想練好排列組合二項(xiàng)式？來這里腰奋。

排列組合二項(xiàng)式練習(xí)

一单起、選擇題（本大題共10小題，共20.0分）

安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作劣坊，每人至少完成1項(xiàng)揉抵，每項(xiàng)工作由1人完成丈氓，則不同的安排方式共有( )

A. 12種 B. 18種 C. 24種 D. 36種

【答案】D

【解析】【分析】
本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用兼砖，注意分組方法以及排列方法的區(qū)別训貌，把工作分成3組，然后安排3名志愿者完成即可．
【解答】

解：4項(xiàng)工作分成3組康二，有 $C_{4}^{2} = 6$ 種分組方式碳胳，
安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)沫勿，每項(xiàng)工作由1人完成挨约，
可得有 $6 \times A_{3}^{3} = 36$ 種安排方式．
故選D．

$(x + y)(2x - y)^{5}$ 的展開式中的 $x^{3}y^{3}$ 系數(shù)為( )

A. $- 80$ B. $- 40$ C. 40 D. 80

【答案】C

【解析】【分析】
本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力藕帜，屬于中檔題．
【解答】
解： $(2x - y)^{5}$ 展開式的通項(xiàng)公式為 $T_{r + 1} = C_{5}^{r}(2x)^{5 - r}( - y)^{r}$
令 $5 - r = 2$ 烫罩，解得 $r = 3$ ，
令 $5 - r = 3$ 洽故，解得 $r = 2$ 贝攒，
$\therefore(x + y)(2x - y)^{5}$ 的展開式中的 $x^{3}y^{3}$ 系數(shù)為 $2^{2} \times ( - 1)^{3}C_{5}^{3} + 2^{3} \times ( - 1)^{2} \times C_{5}^{2} = 40$ ．
故選C．

已知 $(1 + x)^{n}$ 的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為 $($ 　　 $)$

A. $2^{12}$ B. $2^{11}$ C. $2^{10}$ D. $2^{9}$

【答案】D

【解析】解：已知 $(1 + x)^{n}$ 的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等时甚，
可得 $C_{n}^{3} = C_{n}^{7}$ 隘弊，可得 $n = 3 + 7 = 10$ ．
$(1 + x)^{10}$ 的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為： $\frac{1}{2} \times 2^{10} = 2^{9}$ ．
故選：D．
直接利用二項(xiàng)式定理求出n，然后利用二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果即可．
本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用荒适，組合數(shù)的形狀的應(yīng)用梨熙，考查基本知識(shí)的靈活運(yùn)用以及計(jì)算能力．

六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙刀诬，最右端不能排甲咽扇，則不同的排法共有 $($ 　　 $)$

A. 192種 B. 216種 C. 240種 D. 288種

【答案】B

【解析】【分析】
本題考查排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力质欲，屬于基礎(chǔ)題．
分類討論树埠，最左端排甲；最左端只排乙嘶伟，最右端不能排甲怎憋，根據(jù)加法原理可得結(jié)論．
【解答】
解：最左端排甲，共有 $A_{5}^{5} = 120$ 種九昧，
最左端排乙绊袋，最右端不能排甲，有 $C_{4}^{1}A_{4}^{4} = 96$ 種铸鹰，
根據(jù)加法原理可得癌别，共有 $120 + 96 = 216$ 種．
故選B．

6把椅子排成一排，3人隨機(jī)就座掉奄，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為( )

A. 144 B. 120 C. 72 D. 24

【答案】D

【解析】【分析】
本題考查排列知識(shí)的運(yùn)用规个，考查乘法原理，先排人姓建，再插入椅子是關(guān)鍵．
使用"插空法" $.$ 第一步，三個(gè)人先坐成一排缤苫，有 $A_{3}^{3}$ 種速兔，即全排，6種活玲；第二步涣狗，由于三個(gè)人必須隔開，因此必須先在1號(hào)位置與2號(hào)位置之間擺放一張凳子舒憾，2號(hào)位置與3號(hào)位置之間擺放一張凳子镀钓，剩余一張凳子可以選擇三個(gè)人的左右共4個(gè)空擋，隨便擺放即可镀迂，即有 $C_{4}^{1}$ 種辦法 $.$ 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得結(jié)論．
【解答】

解：使用"插空法" $.$ 第一步丁溅，三個(gè)人先坐成一排，有 $A_{3}^{3}$ 種探遵，即全排窟赏，6種；
第二步箱季，由于三個(gè)人必須隔開涯穷，因此必須先在1號(hào)位置與2號(hào)位置之間擺放一張凳子，
2號(hào)位置與3號(hào)位置之間擺放一張凳子藏雏，剩余一張凳子可以選擇三個(gè)人的左右共4個(gè)空擋拷况，隨便擺放即可，
即有 $C_{4}^{1}$ 種辦法．
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理， $6 \times 4 = 24$ ．
故選D．

設(shè)i為虛數(shù)單位赚瘦，則 $(x + i)^{6}$ 的展開式中含 $x^{4}$ 的項(xiàng)為 $($
$)$

A. $- 15x^{4}$ B. $15x^{4}$ C. $- 20ix^{4}$ D. $20ix^{4}$

【答案】A

【解析】【分析】
本題考查二項(xiàng)式定理粟誓，深刻理解二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是迅速作答的關(guān)鍵，屬于中檔題．
利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可得到答案．
【解答】
解： $(x + i)^{6}$ 的展開式中含 $x^{4}$ 的項(xiàng)為 $C_{6}^{4}x^{4} \cdot i^{2} = - 15x^{4}$ 蚤告，
故選A．

從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長(zhǎng)助理努酸，則甲、乙至少有1人入選杜恰，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為( )

A. 28 B. 49 C. 56 D. 85

【答案】B

【解析】【分析】

本小題主要考查了排列組合等知識(shí) $.$ 排列組合的題目要搞清楚是排列問題不是組合問題获诈，一般地說，與順序有關(guān)屬于排列問題心褐，與順序無關(guān)屬于組合問題 $.$ 易錯(cuò)點(diǎn)舔涎，學(xué)生分不清是排列問題還是組合問題出錯(cuò)．

【解答】

解：依題意，滿足條件的不同選法的種數(shù)為 $C\,_{2}^{2}C\,_{7}^{1} + C\,_{2}^{1}C\,_{7}^{2} = 49$ 種．

故選B．

某單位要邀請(qǐng)10位教師中的6位參加一個(gè)會(huì)議逗爹，其中甲亡嫌、乙兩位教師不能同時(shí)參加，則邀請(qǐng)的不同方法有( )

A. 84種 B. 98種 C. 112種 D. 140種

【答案】D

【解析】【分析】
本題考查兩個(gè)基本原理掘而，組合數(shù)公式挟冠，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題 $.$ 分甲袍睡、乙兩位教師都不參加知染，甲、乙兩位教師只有一人參加斑胜，兩種情況來解．
【解答】
解：若甲控淡、乙兩位教師都不參加，則有 $C_{8}^{6} = C_{8}^{2} = 28$ 種不同方法止潘；
若甲掺炭、乙兩位教師只有一人參加，則有 $C_{2}^{1}C_{8}^{5} = 112$ 種不同方法凭戴，
綜上涧狮，所有的不同的邀請(qǐng)方法有 $28 + 112 = 140$ 種，
故選D．

將來自四個(gè)班級(jí)的8名同學(xué) $($ 每班2名同學(xué) $)$ 分到四個(gè)不同小區(qū)進(jìn)行社會(huì)調(diào)查簇宽，每個(gè)小區(qū)2名同學(xué)勋篓，剛恰好有2個(gè)小區(qū)分派到的2名同學(xué)來自同一班級(jí)的分派方案有 $($ 　　 $)$

A. 48種 B. 72種 C. 144種 D. 288種

【答案】D

【解析】解：先從4個(gè)班級(jí)中選2個(gè)，分到4個(gè)小區(qū)中的2個(gè)魏割， $($ 保證恰好有2個(gè)小區(qū)分派到的2名同學(xué)來自同一班級(jí) $)$ 譬嚣，
再?gòu)氖Ｏ碌膬蓚€(gè)班級(jí)中各選一人，分配剩下2個(gè)小區(qū)的一個(gè)钞它，故有 $C_{4}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{1}C_{2}^{1}C_{2}^{1} = 288$ 種拜银，
故選：D
先從4個(gè)班級(jí)中選2個(gè)殊鞭，分陪到4個(gè)小區(qū)的2個(gè)，再?gòu)氖Ｏ碌膬蓚€(gè)班級(jí)中各選一人尼桶，分配剩下2個(gè)小區(qū)的一個(gè)操灿，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得．
本題考查了分步計(jì)數(shù)原理，關(guān)鍵是分步泵督，屬于中檔題．

已知有顏色為紅趾盐、黃藍(lán)綠的四個(gè)小球，準(zhǔn)備放到顏色為紅小腊、黃救鲤、藍(lán)綠的四個(gè)箱子里每個(gè)箱子只放一個(gè)小球，則恰好只有一個(gè)小球的顏色與箱子的顏色正好一致的概率為 $($ 　　 $)$

A. $\frac{1}{4}$ B. $\frac{1}{3}$ C. $\frac{1}{6}$ D. $\frac{5}{12}$

【答案】B

【解析】解：有顏色為紅秩冈、黃本缠、藍(lán)、綠的四個(gè)小球入问，準(zhǔn)備放到顏色為紅丹锹、黃、藍(lán)綠的四個(gè)箱子里每個(gè)箱子只放一個(gè)小球芬失，
基本事件總數(shù) $n = A_{4}^{4} = 24$ 楣黍，
恰好只有一個(gè)小球的顏色與箱子的顏色正好一致包含的基本事件個(gè)數(shù)：
$m = C_{4}^{1} \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 8$ ，
則恰好只有一個(gè)小球的顏色與箱子的顏色正好一致的概率 $p = \frac{m}{n} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ ．
故選：B．
基本事件總數(shù) $n = A_{4}^{4} = 24$ 棱烂，恰好只有一個(gè)小球的顏色與箱子的顏色正好一致包含的基本事件個(gè)數(shù) $m = C_{4}^{1} \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 8$ 锡凝，由此能求出恰好只有一個(gè)小球的顏色與箱子的顏色正好一致的概率．
本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)垢啼，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

二张肾、填空題（本大題共10小題芭析，共50.0分）

有3男2女共5名學(xué)生被分派去A，B吞瞪，C三個(gè)公司實(shí)習(xí)馁启，每個(gè)公司至少1人，且A公司只要女生芍秆，共有_________種不同的分派方法 $.($ 用數(shù)字作答 $)$

【答案】34

【解析】【分析】
利用分類計(jì)數(shù)原理將該問題分成兩類惯疙，對(duì)A公司進(jìn)行分類討論，每一類中用分步乘法計(jì)數(shù)原理及排列組合的綜合應(yīng)用進(jìn)行解答即可．
本題考查了分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理妖啥，屬于中檔題．
【解答】
解：第一類霉颠，A公司只有1個(gè)女生，有 $C_{2}^{1} = 2$ 種分派方案荆虱，則B蒿偎，C公司分派人數(shù)可以為2朽们，2或者1，3或者3诉位，1共3種分派方案骑脱，共 $C_{4}^{2} + C_{4}^{1} + C_{4}^{3} = 14$ 種，所以一共有 $2 \times 14 = 28$ 種分派方案苍糠，
第二類叁丧，A公司有2個(gè)女生，只有1種分派方案岳瞭，B拥娄，C公司的分派人數(shù)只能是1，2或者2寝优，1条舔；則有 $C_{3}^{1} + C_{3}^{2} = 6$ 種，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有 $28 + 6 = 34$ 種乏矾，
故答案為34．

在 $(\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x})^{n}$ 的二項(xiàng)式中孟抗，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則常數(shù)項(xiàng)等于______．

【答案】112

【解析】【分析】
本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用钻心，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式凄硼，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)捷沸，屬于中檔題．
根據(jù)展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于 $2^{n} = 256$ 摊沉，求得 $n = 8.$ 在展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0痒给，求得r的值说墨，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)．
【解答】
解： $\because$ 在 $(\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x})^{n}$ 的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256苍柏，
$\therefore 2^{n} = 256$ 尼斧，解得 $n = 8$ ，
$\therefore(\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x})^{8}$ 中试吁， $T_{r + 1} = C_{8}^{r}(\sqrt[3]{x})^{8 - r}( - \frac{2}{x})^{r} = ( - 2)^{r}C_{8}^{r}x^{\frac{8 - 4r}{3}}$ 棺棵，
$\therefore$ 當(dāng) $\frac{8 - 4r}{3} = 0$ ，即 $r = 2$ 時(shí)熄捍，常數(shù)項(xiàng)為 $T_{3} = ( - 2)^{2}C_{8}^{2} = 112$ ．
故答案為112．

已知多項(xiàng)式 ${(x + 1)}^{3}{(x + 2)}^{2} = x^{5} + a_{1}x^{4} + a_{2}x^{3} + a_{3}x^{2} + a_{4}x + a_{5}$ ，則 $a_{4} =$ ____________缚柏， $a_{5} =$ _____________．

【答案】16宾添；4

【解析】解：多項(xiàng)式 $(x + 1)^{3}(x + 2)^{2} = x^{5} + a_{1}x^{4} + a_{2}x^{3} + a_{3}x^{2} + a_{4}x + a_{5}$ ，
$(x + 1)^{3}$ 中粱锐，x的系數(shù)是：3，常數(shù)是1； $(x + 2)^{2}$ 中x的系數(shù)是4搀暑，常數(shù)是4，
$a_{4} = 3 \times 4 + 1 \times 4 = 16$ 桂敛；
$a_{5} = 1 \times 4 = 4$ ．
故答案為：16滚澜；4．
利用二項(xiàng)式定理的展開式借浊，求解x的系數(shù)就是兩個(gè)多項(xiàng)式的展開式中x與常數(shù)乘積之和， $a_{5}$ 就是常數(shù)的乘積．
本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力召噩，是基礎(chǔ)題．

從1凹嘲，3趋艘，5棚愤，7瘸洛，9中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4铃在，6中任取2個(gè)數(shù)字怕敬，一共可以組成______個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù) $.($ 用數(shù)字作答 $)$

【答案】1260

【解析】【分析】
本題考查排列組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題畸陡，先選后排是解決問題的關(guān)鍵，注意"0"是否在4位數(shù)中去易錯(cuò)點(diǎn)，是中檔題．
可先從1贡必，3，5，7，9中任取2個(gè)數(shù)字，然后通過0是否存在欲侮，求解即可．

【解答】
解：從1橄仍，3虑粥，5锁孟，7涧至，9中任取2個(gè)數(shù)字有 $C_{5}^{2}$ 種方法哑了，
從2窄陡，4们镜，6颈抚，0中任取2個(gè)數(shù)字不含0時(shí)锚赤，有 $C_{3}^{2}$ 種方法，
可以組成 $C_{5}^{2} \cdot C_{3}^{2} \cdot A_{4}^{4} = 720$ 個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；
含有0時(shí)蠢莺，0不能在千位位置考蕾，其它任意排列，共有 $C_{3}^{1} \cdot C_{3}^{1} \cdot C_{5}^{2} \cdot A_{3}^{3} = 540$ 巍沙，
故一共可以組成 $720 + 540 = 1260$ 個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．
故答案為1260．

在報(bào)名的3名男教師和6名女教師中允乐，選取5人參加義務(wù)獻(xiàn)血蠢笋，要求男炊邦、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為__________ $($ 結(jié)果用數(shù)值表示 $)$ ．

【答案】120

【解析】【分析】
本題考查排列、組合的運(yùn)用，本題適宜用排除法 $($ 間接法 $)$ ，可以避免分類討論，簡(jiǎn)化計(jì)算．
根據(jù)題意，運(yùn)用排除法分析叉钥，先在9名老師中選取5人歉秫，參加義務(wù)獻(xiàn)血，由組合數(shù)公式可得其選法數(shù)目，再排除其中只有女教師的情況；即可得答案．
【解答】

解：根據(jù)題意，報(bào)名的有3名男老師和6名女教師，共9名老師，
在9名老師中選取5人，參加義務(wù)獻(xiàn)血，有 $C_{9}^{5} = 126$ 種；
其中只有女教師的有 $C_{6}^{5} = 6$ 種情況藕筋；
則男掰茶、女教師都有的選取方式的種數(shù)為 $126 - 6 = 120$ 種把兔；
故答案為120．

把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種．

【答案】36

【解析】【分析】
本題考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，要優(yōu)先分析受到限制的元素，如本題的A、B、 $C.$ 分3步進(jìn)行分析：
$①$ 用捆綁法分析A、B，
$②$ 計(jì)算其中A谒出、B相鄰又滿足B隅俘、C相鄰的情況邻奠，即將ABC看成一個(gè)元素为居，與其他產(chǎn)品全排列碌宴，
$③$ 在全部數(shù)目中將A、B相鄰又滿足A蒙畴、C相鄰的情況排除即可得答案．

【解答】
解：先考慮產(chǎn)品A與B相鄰贰镣，把A、B作為一個(gè)元素有 $A_{4}^{4}$ 種方法八孝，而A、B可交換位置鸠项，所以有 $2A_{4}^{4} = 48$ 種擺法，
又當(dāng)A子姜、B相鄰又滿足A祟绊、C相鄰，有 $2A_{3}^{3} = 12$ 種擺法哥捕，
故滿足條件的擺法有 $48 - 12 = 36$ 種．
故答案為：36．

有一個(gè)五邊形ABCDE牧抽，若把頂點(diǎn)A，B遥赚，C扬舒，D，E涂上紅凫佛、黃讲坎、綠三種顏色中的一種，使得相鄰的頂點(diǎn)所涂的顏色不同愧薛，則共有______
種不同的涂色方法．

【答案】30

【解析】解：由題意知本題需要分類來解答晨炕，
首先A選取一種顏色，有3種情況．
如果A的兩個(gè)相鄰點(diǎn)顏色相同毫炉，2種情況瓮栗；
這時(shí)最后兩個(gè)邊也有2種情況；
如果A的兩個(gè)相鄰點(diǎn)顏色不同瞄勾，2種情況费奸；
這時(shí)最后兩個(gè)邊有3種情況．
$\therefore$ 方法共有 $3(2 \times 2 + 2 \times 3) = 30$ 種．
故答案為：30．
本題需要分類來解答，首先A選取一種顏色进陡，有3種情況 $.$ 如果A的兩個(gè)相鄰點(diǎn)顏色相同愿阐，2種情況，這時(shí)最后兩個(gè)邊也有2種情況四濒；如果A的兩個(gè)相鄰點(diǎn)顏色不同换况，2種情況职辨，最后兩個(gè)邊有3種情況 $.$ 根據(jù)計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．
對(duì)于復(fù)雜一點(diǎn)的計(jì)數(shù)問題，有時(shí)分類以后戈二，每類方法并不都是一步完成的舒裤，必須在分類后又分步，綜合利用兩個(gè)原理解決觉吭，即類中有步腾供，步中有類．

有5個(gè)大學(xué)保送名額夭坪，計(jì)劃分到3個(gè)班級(jí)恋追，每班至少一個(gè)名額，則不同的分法種數(shù)為________種．

【答案】6

【解析】【分析】
本題考查了名額的分配方法：隔板法 $.$ 名額是沒有差別锯梁，先將名額排成一列徙硅，中間有四個(gè)空榜聂，放入兩個(gè)隔板即可分成三份 $.$ 關(guān)鍵是理解隔板法的使用條件和方法．
【解答】
解：一共有5個(gè)保送名額，分到3個(gè)班級(jí)嗓蘑，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)名額须肆，即將名額分成3份至少1個(gè)．
將5個(gè)名額排成一列產(chǎn)生6個(gè)空，中間有4個(gè)空桩皿，只需在中間4個(gè)空中插入2個(gè)隔板豌汇，隔板不同的方法共有 $C\,_{4}^{2} = 6$ 種．
故答案為6．

某救災(zāi)小組共有8人，其中男同志5人泄隔，女同志3人拒贱，現(xiàn)從這8人中選出3人參加災(zāi)后防疫工作，要求這3個(gè)中男佛嬉、女同志都有逻澳，則不同的選法有_______種 $($ 用數(shù)字作答 $)$ ．

【答案】45

【解析】【分析】
本題考查了排列組合的綜合應(yīng)用，考查了正難則反的解題策略 $.$ 由于從正面入手暖呕，需要分類討論赡盘，比較麻煩 $.$ 若這3人中男、女同志都有缰揪，則從全部方案中減去只選派女同志的方案數(shù) $C\,_{3}^{3}$ 陨享，再減去只選派男同志的方案數(shù) $C\,_{5}^{3}$ 即可 $.$ 注意正難則反的解題策略．
【解答】
解：從3名女同志和5名男同志中選出3人，分別參加災(zāi)后防疫工作钝腺，若這3人中男抛姑、女同志都有，則從全部方案中減去只選派女同志的方案數(shù) $C\,_{3}^{3}$ 艳狐，再減去只選派男同志的方案數(shù) $C\,_{5}^{3}$ 定硝，合理的選派方案共有 $C\,_{8}^{3} - C\,_{3}^{3} - C\,_{5}^{3} = 45($ 種 $)$ ．
故答案為45．

如圖，矩形的對(duì)角線把矩形分成A毫目，B蔬啡，C诲侮，D四部分，現(xiàn)用5種不同顏色給四部分涂色箱蟆，每部分涂1種顏色沟绪，要求共邊的兩部分顏色互異，則共有________種不同的涂色方法．

image.png

【答案】260

【解析】【分析】

本題考查分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用．

【解答】

解：第一步給A涂色空猜，有5種方法绽慈；

第二步給B涂色，有4種方法辈毯；

第三步給C和D涂色坝疼，分2類：當(dāng)C與A的顏色相同時(shí)，涂色方法為 $1*4 = 4$ 種谆沃；

當(dāng)C與A顏色不同時(shí)钝凶，涂色方法有 $3*3 = 9$ 種，故共有 $4 + 9 = 13$ 種．

由分步計(jì)數(shù)原理唁影，總共方法數(shù)為 $5*4*13 = 260$ 種．

故答案為260．

三腿椎、解答題（本大題共8小題，共80.0分）

設(shè) $(1 + \frac{1}{2}x)^{m} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + \ldots + a_{m}x^{m}$ 夭咬，若 $a_{0}$ ， $a_{1}$ 铆隘， $a_{2}$ 成等差數(shù)列．
$(1)$ 求 $(1 + \frac{1}{2}x)^{m}$ 展開式的中間項(xiàng)卓舵；
$(2)$ 求 $(1 + \frac{1}{2}x)^{m}$ 展開式中所有含x奇次冪的系數(shù)和；
$(3)$ 求 $(1 + \frac{1}{2}x)^{m + 6}$ 展開式中系數(shù)最大項(xiàng)．

【答案】解： $(1)$ 依題意得 $T_{r + 1} = C_{m}^{r}(\frac{1}{2})^{r}x^{r}$ 膀钠， $r = 0$ 掏湾，1， $\ldots m$ ．
則 $a_{0} = 1$ 肿嘲， $a_{1} = \frac{m}{2}$ 融击， $a_{2} = C_{m}^{2}(\frac{1}{2})^{2}$ ，
由 $2a_{1} = a_{0} + a_{2}$ 得 $m^{2} - 9m + 8 = 0$ 可得 $m = 1($ 舍去 $)$ 雳窟，或 $m = 8$ 尊浪，
所以 $(1 + \frac{1}{2}x)^{m}$ 展開式的中間項(xiàng)是第五項(xiàng)為： $T_{5} = C_{8}^{4}(\frac{1}{2}x)^{4} = \frac{35}{8}x^{4}$ ；
$(2)(1 + \frac{1}{2}x)^{m} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + \ldots + a_{m}x^{m}$ 封救，
即 $(1 + \frac{1}{2}x)^{8} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + \ldots + a_{8}x^{8}$ ．
令 $x = 1$ 則 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{8} = (\frac{3}{2})^{8}$ 拇涤，
令 $x = - 1$ 則 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \ldots + a_{8} = (\frac{1}{2})^{8}$ ，
所以 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} = \frac{3^{8} - 1}{2^{9}} = \frac{205}{16}$ 誉结，所以展開式中含x的奇次冪的系數(shù)和為 $\frac{205}{16}$ 鹅士；
$(3)$ 假設(shè)第 $r + 1$ 項(xiàng)的系數(shù)為 $T_{r + 1} = C_{14}^{r}(\frac{1}{2})^{r}$ ，令 $\left\{ \begin{matrix} T_{r + 1} \geq T_{r} \\ T_{r + 1} \geq T_{r + 2} \\ \end{matrix} \right.\$ 惩坑，解得： $4 \leq r \leq 5$ 掉盅，
所以展開式中系數(shù)最大項(xiàng)為 $T_{5} = \frac{1001}{16}x^{4}$ 和 $T_{6} = \frac{1001}{16}x^{5}$ ．

【解析】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用也拜，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)趾痘，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) $.$ 注意根據(jù)題意慢哈，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過給二項(xiàng)式的x賦值扼脐，求展開式的系數(shù)和岸军，屬于基礎(chǔ)題．
$(1)$ 由條件利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得 $a_{0}$ 瓦侮、 $a_{1}$ 艰赞、 $a_{2}$ 的值，再根據(jù) $2a_{1} = a_{0} + a_{2}$ 得到n的值肚吏；
$(2)$ 在所給的式子中方妖，分別令 $x = 1$ 、 $x = - 1$ 得到2個(gè)式子罚攀，把這2個(gè)式子變形可得展開式中所有含x奇次冪的系數(shù)和党觅；
$(3)$ 假設(shè)第 $r + 1$ 項(xiàng)的系數(shù)為 $T_{r + 1} = C_{14}^{r}(\frac{1}{2})^{r}$ ，令 $\left\{ \begin{matrix} T_{r + 1} \geq T_{r} \\ T_{r + 1} \geq T_{r + 2} \\ \end{matrix} \right.\$ 斋泄，由此求得r的范圍杯瞻，可得r的值，從而求得系數(shù)最大項(xiàng)．

設(shè) $(2x - 1)^{5} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \ldots + a_{5}x^{5}$ 炫掐，求：
$(1)a_{0} + a_{1} + \ldots + a_{5}$ 魁莉；
$(2)|a_{0}| + |a_{1}| + \ldots + |a_{5}|$ ；
$(3)a_{1} + a_{3} + a_{5}$ 募胃；
$(4)(a_{0} + a_{2} + a_{4})^{2} - (a_{1} + a_{3} + a_{5})^{2}$ ．

【答案】解： $\because(2x - 1)^{5} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \ldots + a_{5}x^{5}$ 旗唁，
$(1)\therefore$ 令 $x = 1$ ，可得 $a_{0} + a_{1} + \ldots + a_{5} = 1①$ ．
$(2)$ 在 $(2x + 1)^{5}$ 中痹束，令 $x = 1$ 检疫，可得 $|a_{0}| + |a_{1}| + \ldots + |a_{5}| = 3^{5} = 243$ ．
$(3)$ 在 $(2x - 1)^{5} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \ldots + a_{5}x^{5}$ ，中祷嘶，令 $x = - 1$ 屎媳，可得 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - a_{5} = - 243②$ ，
$① - ②$ 可得 $2(a_{1} + a_{3} + a_{5}) = 244$ 论巍， $\therefore a_{1} + a_{3} + a_{5} = 122$ ．
$(4)① + ②$ 可得 $2(a_{0} + a_{2} + a_{4}) = - 242$ 剿牺， $\therefore a_{0} + a_{2} + a_{4} = - 121$ ，
$\therefore(a_{0} + a_{2} + a_{4})^{2} - (a_{1} + a_{3} + a_{5})^{2} = ( - 121)^{2} - 122^{2} = - 243$ ．

【解析】 $(1)$ 在所給的等式中环壤，令 $x = 1$ 晒来，可得 $a_{0} + a_{1} + \ldots a_{5} = 1①$ ；
$(2)$ 在 $(2x + 1)^{5}$ 中郑现，令 $x = 1$ 湃崩，可得 $|a_{0}| + |a_{1}| + \ldots + |a_{5}|$ 的值．
$(3)$ 在所給的等式中荧降，令 $x = - 1$ ，可得 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - a_{5} = - 243②$ 攒读， $① - ②$ 可得 $a_{1} + a_{3} + a_{5}$ 的值．
$(4)① + ②$ 可得 $a_{0} + a_{2} + a_{4}$ 的值朵诫，從而求得 $(a_{0} + a_{2} + a_{4})^{2} - (a_{1} + a_{3} + a_{5})^{2}$ 的值．
本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意薄扁，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)剪返，通過給二項(xiàng)式的x賦值，求展開式的系數(shù)和邓梅，可以簡(jiǎn)便的求出答案脱盲，屬于基礎(chǔ)題．

7個(gè)人排成一排，按下列要求各有多少種排法 $\cdot$

$(1)$ 其中甲不站排頭日缨，乙不站排尾钱反；

$(2)$ 其中甲、乙匣距、丙3人兩兩不相鄰面哥；

$(3)$ 其中甲、乙中間有且只有1人毅待；

$(4)$ 其中甲尚卫、乙、丙按從左到右的順序排列．

【答案】解： $(1)$ 根據(jù)題意尸红，分2種情況討論：
$①$ 吱涉、甲站在排尾，剩余6人進(jìn)行全排列驶乾，安排在其他6個(gè)位置，有 $A_{6}^{6}$ 種排法循签，
$②$ 级乐、甲不站在排尾，則甲有5個(gè)位置可選县匠，有 $A_{5}^{1}$ 種排法风科，
乙不能在排尾，也有5個(gè)位置可選乞旦，有 $A_{5}^{1}$ 種排法贼穆，
剩余5人進(jìn)行全排列，安排在其他5個(gè)位置兰粉，有 $A_{5}^{5}$ 種排法故痊，
則此時(shí)有 $A_{5}^{1}A_{5}^{1}A_{5}^{5}$ 種排法；
故甲不站排頭玖姑，乙不站排尾的排法有 $A_{6}^{6} + A_{5}^{1}A_{5}^{1}A_{5}^{5} = 3720$ 種 $;$
$(2)$ 根據(jù)題意愕秫，分2步進(jìn)行分析慨菱，
$①$ 、將除甲戴甩、乙符喝、丙之外的4人進(jìn)行全排列，有 $A_{4}^{4}$ 種情況甜孤，
排好后协饲，有5個(gè)空位，
$②$ 缴川、在5個(gè)空位種任選3個(gè)茉稠，安排甲、乙二跋、丙3人战惊，有 $A_{5}^{3}$ 種情況，
則共有 $A_{4}^{4}A_{5}^{3} = 1440$ 種排法 $;$
$(3)$ 根據(jù)題意扎即，
$①$ 吞获、先將甲、乙全排列谚鄙，有 $A_{2}^{2}$ 種情況各拷，
$②$ 、在剩余的5個(gè)人中任選1個(gè)闷营，安排在甲乙之間烤黍，有 $A_{5}^{1}$ 種選法，
$③$ 傻盟、將三人看成一個(gè)整體速蕊，與其他四人進(jìn)行全排列，有 $A_{5}^{5}$ 種排法娘赴，
則甲规哲、乙中間有且只有1人共有 $A_{2}^{2}A_{5}^{1}A_{5}^{5} = 1200$ 種排法 $;$
$(4)$ 根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
$①$ 诽表、在7個(gè)位置中任取4個(gè)唉锌，安排除甲、乙竿奏、丙之外的4人袄简，有 $A_{7}^{4}$ 種排法，
$②$ 泛啸、將甲绿语、乙、丙按從左到右的順序安排在剩余的3個(gè)空位中，只有1種排法汞舱，
則甲伍纫、乙、丙按從左到右的順序排列的排法有 $A_{7}^{4} = 840$ 種．

【解析】本題考查排列昂芜、組合的應(yīng)用莹规，注意特殊問題的處理方法，如相鄰用捆綁法泌神，不能相鄰用插空法良漱，其次要注意分類、分步計(jì)數(shù)原理的熟練運(yùn)用．

按下列要求分配6本不同的書欢际，各有多少種不同的分配方式 $\cdot$

$(1)$ 分成三份母市，1份1本，1份2本损趋，1份3本 $;$

$(2)$ 甲患久、乙、丙三人中浑槽，一人得1本蒋失，一人得2本，一人得3本 $;$

$(3)$ 平均分成三份桐玻，每份2本 $;$

$(4)$ 平均分配給甲篙挽、乙、丙三人镊靴，每人2本 $;$

$(5)$ 分成三份铣卡，1份4本，另外兩份每份1本 $;$

$(6)$ 甲偏竟、乙煮落、丙三人中，一人得4本踊谋，另外兩人每人得1本 $;$

$(7)$ 甲得1本蝉仇，乙得1本，丙得4本．

【答案】解： $(1)$ 無序不均勻分組問題．
先選1本有 $C\,_{6}^{1}$ 種選法褪子；
再?gòu)挠嘞碌?本中選2本有 $C\,_{5}^{2}$ 種選法量淌；
最后余下3本全選有 $C\,_{3}^{3}$ 種選法．
故共有 $C\,_{6}^{1}C\,_{5}^{2}C\,_{3}^{3} = 60($ 種 $)$ 不同的分配方式骗村；　
$(2)$ 有序不均勻分組問題．
由于甲嫌褪、乙、丙是不同三人胚股，在第 $(1)$ 題的基礎(chǔ)上笼痛，還應(yīng)考慮再分配，
故共有 $C\,_{6}^{1}C\,_{5}^{2}C\,_{3}^{3}A\,_{3}^{3} = 360($ 種 $)$ 不同的分配方式；　
$(3)$ 無序均勻分組問題．
先分三步缨伊，則應(yīng)是 $C\,_{6}^{2}C\,_{4}^{2}C\,_{2}^{2}$ 種方法摘刑，但是這里出現(xiàn)了重復(fù)．
不妨記六本書為A，B刻坊，C枷恕，D，E谭胚，F徐块，若第一步取了A，B灾而，第二步取了C胡控，D，第三步取了E旁趟，F昼激，記該種分法為 $(\text{AB},$ CD， $\text{EF})$ 锡搜，
則 $C\,_{6}^{2}C\,_{4}^{2}C\,_{2}^{2}$ 種分法中還有 $(\text{AB}$ 橙困、EF、 $\text{CD})$ 余爆， $(\text{CD},$ AB纷宇， $\text{EF})$ ， $(\text{CD},$ EF蛾方， $\text{AB})$ 像捶， $(\text{EF},$ CD， $\text{AB})$ 桩砰， $(\text{EF},$ AB拓春， $\text{CD})$ ，共有 $A\,_{3}^{3}$ 種情況亚隅，
而這 $A\,_{3}^{3}$ 種情況僅是AB硼莽，CD，EF的順序不同煮纵，因此只能作為一種分法懂鸵，
故分配方式有 $\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}} = 15($ 種 $)$ ；　
$(4)$ 有序均勻分組問題 $.$ 在第 $(3)$ 題的基礎(chǔ)上再分配給3個(gè)人行疏，
共有分配方式 $\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}} \cdot A\,_{3}^{3} = C\,_{6}^{2}C\,_{4}^{2}C\,_{2}^{2} = 90($ 種 $)$ 匆光；
$(5)$ 無序部分均勻分組問題．
共有分配方式 $\frac{C_{6}^{4}C_{2}^{1}C_{1}^{1}}{A_{2}^{2}} = 15($ 種 $)$ ；　
$(6)$ 有序部分均勻分組問題．
在第 $(5)$ 題的基礎(chǔ)上再分配給3個(gè)人酿联，共有分配方式 $\frac{C_{6}^{4}C_{2}^{1}C_{1}^{1}}{A_{2}^{2}} \cdot A\,_{3}^{3} = 90($ 種 $)$ 终息；
$(7)$ 直接分配問題．
甲選1本有 $C\,_{6}^{1}$ 種方法夺巩，乙從余下5本中選1本有 $C\,_{5}^{1}$ 種方法，余下4本留給丙有 $C\,_{4}^{4}$ 種方法．
共有分配方式 $C\,_{6}^{1}C\,_{5}^{1}C\,_{4}^{4} = 30($ 種 $)$ ．

【解析】本題考查排列周崭、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題柳譬，考查計(jì)算能力，理解能力 $.$ 正確區(qū)分無序不均勻分組問題续镇、有序不均勻分組問題美澳、無序均勻分組問題，是解好組合問題的一部分．

有編號(hào)分別為1摸航、2人柿、3、4的四個(gè)盒子和四個(gè)小球忙厌，把小球全部放入盒子 $.$ 問：
$(1)$ 共有多少種放法凫岖？
$(2)$ 恰有一個(gè)空盒，有多少種放法逢净？
$(3)$ 恰有2個(gè)盒子內(nèi)不放球哥放，有多少種放法？

【答案】解： $(1)$ 本題要求把小球全部放入盒子爹土，
$\because 1$ 號(hào)小球可放入任意一個(gè)盒子內(nèi)甥雕，有4種放法．
同理，2胀茵、3社露、4號(hào)小球也各有4種放法，
$\therefore$ 共有 $4^{4} = 256$ 種放法．
$(2)\because$ 恰有一個(gè)空盒琼娘，則這4個(gè)盒子中只有3個(gè)盒子內(nèi)有小球峭弟，
且小球數(shù)只能是1、1脱拼、2．
先從4個(gè)小球中任選2個(gè)放在一起瞒瘸，有 $C_{4}^{2}$ 種方法，
然后與其余2個(gè)小球看成三組熄浓，分別放入4個(gè)盒子中的3個(gè)盒子中情臭，有 $A_{4}^{3}$ 種放法．
$\therefore$ 由分步計(jì)數(shù)原理知共有 $C_{4}^{2} \cdot A_{4}^{3} = 144$ 種不同的放法．
$(3)$ 恰有2個(gè)盒子內(nèi)不放球，也就是把4個(gè)小球只放入2個(gè)盒子內(nèi)赌蔑，有兩類放法：
$①$ 一個(gè)盒子內(nèi)放1個(gè)球俯在，另一個(gè)盒子內(nèi)放3個(gè)球．
先把小球分為兩組，一組1個(gè)娃惯，另一組3個(gè)跷乐，有 $C_{4}^{1}$ 種分法，
再放到2個(gè)盒子內(nèi)石景，有 $A_{4}^{2}$ 種放法劈猿，
共有 $C_{4}^{1} \cdot A_{4}^{2}$ 種方法；
$②2$ 個(gè)盒子內(nèi)各放2個(gè)小球．
先把4個(gè)小球平均分成2組潮孽，每組2個(gè)揪荣，有 $\frac{C_{4}^{2}}{A_{2}^{2}}$ 種分法，
再放入2個(gè)盒子內(nèi)往史，有 $A_{4}^{2}$ 種放法仗颈，
共有 $\frac{C_{4}^{2}}{A_{2}^{2}} \cdot A_{4}^{2}$ ．
$\therefore$ 由分類計(jì)數(shù)原理知共有 $C_{4}^{1} \cdot A_{4}^{2} + \frac{C_{4}^{2}}{A_{2}^{2}} \cdot A_{4}^{2} = 84$ 種不同的放法．

【解析】本題考查計(jì)數(shù)問題，考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用椎例，排列問題要做到不重不漏挨决，有些題目帶有一定的約束條件，解題時(shí)要先考慮有限制條件的元素．
$(1)$ 本題要求把小球全部放入盒子订歪，1號(hào)小球可放入任意一個(gè)盒子內(nèi)脖祈，有4種放法，余下的2刷晋、3盖高、4號(hào)小球也各有4種放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．
$(2)$ 恰有一個(gè)空盒眼虱，則這4個(gè)盒子中只有3個(gè)盒子內(nèi)有小球喻奥，且小球數(shù)只能是1、1捏悬、 $2.$ 先從4個(gè)小球中任選2個(gè)放在一起撞蚕，與其他兩個(gè)球看成三個(gè)元素，在三個(gè)位置排列．
$(3)$ 恰有2個(gè)盒子內(nèi)不放球过牙，也就是把4個(gè)小球只放入2個(gè)盒子內(nèi)甥厦，有兩類放法：一個(gè)盒子內(nèi)放1個(gè)球，另一個(gè)盒子內(nèi)放3個(gè)球寇钉；2個(gè)盒子內(nèi)各放2個(gè)小球 $.$ 寫出組合數(shù)矫渔，根據(jù)分類加法得到結(jié)果．

10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只摧莽，試求各有多少種情況出現(xiàn)以下結(jié)果：
$(1)4$ 只鞋子沒有成雙的庙洼；
$(2)4$ 只恰好成兩雙；
$(3)4$ 只鞋子中有2只成雙镊辕，另2只不成雙．

【答案】解： $(1)$ 先從10雙中取出4雙油够，然后再?gòu)拿侩p中取出一只，
結(jié)果就是取出的4只鞋子征懈，任何兩只都不能配成1雙石咬，根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理得： $C_{10}^{4} \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 3360$ ，
$(2)4$ 只恰好成兩雙卖哎，從10雙中取出2雙鬼悠，故有 $C_{10}^{2} = 45$ 删性，
$(3)$ 先從10雙中取出1雙，再?gòu)?雙中取出2雙焕窝，然后再?gòu)拿侩p中取出一只蹬挺，
結(jié)果就是4只鞋子中有2只成雙，另2只不成雙它掂，根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理得： $C_{10}^{1} \times C_{9}^{2} \times 2 \times 2 = 1440$ ．

【解析】 $(1)$ 先從10雙中取出4雙巴帮，然后再?gòu)拿侩p中取出一只剪侮，結(jié)果就是取出的4只鞋子梅桩，任何兩只都不能配成1雙譬重，根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理得蛤袒，
$(2)4$ 只恰好成兩雙掸犬，從10雙中取出2雙晶丘，問題得以解決
$(3)$ 先從10雙中取出1雙尊勿，再?gòu)?雙中取出2雙报慕，然后再?gòu)拿侩p中取出一只靶剑，結(jié)果就是4只鞋子中有2只成雙只恨，另2只不成雙，根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理得．
本題考查排列抬虽、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題官觅，解題的關(guān)鍵是審清題意，本題考查了推理判斷的能力及計(jì)數(shù)的技巧．

從5名男生和4名女生中選出4人去參加座談會(huì)阐污，問：
$($ Ⅰ $)$ 如果4人中男生和女生各選2人休涤，有多少種選法？
$($ Ⅱ $)$ 如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)笛辟，有多少種選法功氨？
$($ Ⅲ $)$ 如果4人中必須既有男生又有女生，有多少種選法手幢？

【答案】解： $($ Ⅰ $)$ 根據(jù)題意捷凄，從5名男生中選出2人，有 $C_{5}^{2} = 10$ 種選法围来，
從4名女生中選出2人跺涤，有 $C_{4}^{2} = 6$ 種選法，
則4人中男生和女生各選2人的選法有 $10 \times 6 = 60$ 種监透；
$($ Ⅱ $)$ 先在9人中任選4人桶错，有 $C_{9}^{4} = 126$ 種選法，
其中甲乙都沒有入選胀蛮，即從其他7人中任選4人的選法有 $C_{7}^{4} = 35$ 種院刁，
則甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)的選法有 $126 - 35 = 91$ 種；
$($ Ⅲ $)$ 先在9人中任選4人粪狼，有 $C_{9}^{4} = 126$ 種選法退腥，
其中只有男生的選法有 $C_{5}^{1} = 5$ 種任岸，只有女生的選法有 $C_{4}^{4} = 1$ 種，
則4人中必須既有男生又有女生的選法有 $126 - 5 - 1 = 120$ 種．

【解析】 $($ Ⅰ $)$ 根據(jù)題意狡刘，分別計(jì)算"從5名男生中選出2人"和"從4名女生中選出2人"的選法數(shù)目享潜，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
$($ Ⅱ $)$ 用間接法分析：先計(jì)算在9人中任選4人的選法數(shù)目颓帝，再排除其中"甲乙都沒有入選"的選法數(shù)目，即可得答案窝革；
$($ Ⅲ $)$ 用間接法分析：先計(jì)算在9人中任選4人的選法數(shù)目购城，再排除其中"只有男生"和"只有女生"的選法數(shù)目，即可得答案．
本題考查排列虐译、組合的應(yīng)用瘪板，涉及分步、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用漆诽， $($ Ⅱ $)($ Ⅲ $)$ 中可以選用間接法分析．

在產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)時(shí)侮攀，常從產(chǎn)品中抽出一部分進(jìn)行檢查 $.$ 現(xiàn)在從98件正品和2件次品共100件產(chǎn)品中，任意抽出3件檢查．
$(1)$ 共有多少種不同的抽法厢拭？
$(2)$ 恰好有一件是次品的抽法有多少種兰英？
$(3)$ 至少有一件是次品的抽法有多少種？
$(4)$ 恰好有一件是次品供鸠，再把抽出的3件產(chǎn)品放在展臺(tái)上畦贸，排成一排進(jìn)行對(duì)比展覽，共有多少種不同的排法楞捂？

【答案】解： $(1)100$ 件產(chǎn)品薄坏，從中任意抽出3件檢查，共有 $C_{100}^{3} = 161700$ 種不同的抽法寨闹，
$(2)$ 事件分兩步完成胶坠，第一步從2件次品中抽取1件次品，第二步從98件正品中抽取2件正品繁堡，根據(jù)乘法原理得恰好有一件是次品的抽法有 $C_{2}^{1}C_{98}^{2} = 9506$ 種不同的抽法
$(3)$ 利用間接法沈善，從中任意抽出3件檢查，共有 $C_{100}^{3}$ 種不同的抽法椭蹄，全是正品的抽法有 $C_{98}^{3}$ 矮瘟，則至少有一件是次品的抽法有 $C_{100}^{3} - C_{98}^{3} = 9604$ 種不同的抽法
$(4)$ 恰好有一件是次品，再把抽出的3件產(chǎn)品放在展臺(tái)上塑娇，排成一排進(jìn)行對(duì)比展覽澈侠，共有 $9506 \times 6 = 57036$ 種不同的排法．

【解析】 $(1)100$ 件產(chǎn)品，從中任意抽出3件檢查埋酬，共有 $C_{100}^{3}$ 種不同的抽法哨啃；
$(2)$ 事件分兩步完成烧栋，第一步從2件次品中抽取1件次品，第二步從98件正品中抽取2件正品拳球，根據(jù)乘法原理計(jì)算求得审姓；
$(3)$ 利用間接法，從中任意抽出3件種數(shù)祝峻，排除全是正品的種數(shù)魔吐，得到至少有一件是次品的抽法種數(shù)；
$(4)$ 在 $(2)$ 的基礎(chǔ)上莱找，再進(jìn)行全排酬姆，即可得出結(jié)論．
本題考查計(jì)數(shù)原理及應(yīng)用，考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用奥溺，解題時(shí)要認(rèn)真審題．

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道士緝兇錄：失蹤的賣姜人
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城市分裂傳說
那天萎羔，我揣著相機(jī)與錄音，去河邊找鬼碳默。笑死贾陷，一個(gè)胖子當(dāng)著我的面吹牛，可吹牛的內(nèi)容都是我干的嘱根。我是一名探鬼主播髓废，決...
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雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
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萬榮殺人案實(shí)錄
序言：老撾萬榮一對(duì)情侶失蹤柔逼，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎，沒想到半個(gè)月后割岛，有當(dāng)?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體愉适，經(jīng)...
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?護(hù)林員之死
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?白月光啟示錄
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活死人
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正文年R本政府宣布，位于F島的核電站较性，受9級(jí)特大地震影響用僧，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏。R本人自食惡果不足惜赞咙，卻給世界環(huán)境...
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