放射性和核的穩(wěn)定性

放射性衰變的基本規(guī)律

放射性衰變一般現(xiàn)象

$\alpha$ 射線是高速運(yùn)動(dòng)的氦原子核組成的礁苗。電離作用大，貫穿作用小徙缴。
$\beta$ 射線是高速運(yùn)動(dòng)的電子流试伙。電離作用較小，貫穿本領(lǐng)較大于样。
$\gamma$ 實(shí)現(xiàn)是波長很短的電磁波疏叨。電離作用小，貫穿本領(lǐng)大穿剖。

用下式表示 $\alpha$ 衰變：
$^A_ZX\to ^{A-4}_{Z-2}Y+^{4}_2He\tag{1}$
用下式表示 $\beta$ 衰變：

$\beta^-$ 衰變： $^A_ZX\to ^A_{Z+1}Y+e^-\tag{2}$
$\beta^+$ 衰變： $^A_ZX\to ^A_{Z-1}Y+e^+\tag{3}$
軌道電子俘獲： $^A_ZX+e^-\to ^A_{Z-1}Y\tag{4}$

$\gamma$ 衰變?yōu)?strong>原子核發(fā)生 $\gamma$ 躍遷發(fā)出不帶電的 $\gamma$ 光子蚤蔓。

放射性衰變的指數(shù)衰減規(guī)律

原子核的衰變過程如式(5)所示：
$N=N_0e^{-\lambda t}\tag{5}$
其中 $\lambda$ 為衰變常量， $N_0$ 為最初時(shí)刻的原子核數(shù)目糊余。
推導(dǎo)得到一系列結(jié)果：

放射性活度：
$A=\lambda N\tag{6}$
平均壽命：
$\tau=\frac{1}{\lambda}\tag{7}$
半衰期：
$t_{\frac{1}{2}}=\frac{\ln 2}{\lambda}=\tau\ln 2\tag{8}$

放射性平衡

本節(jié)討論的過程成為：
$A\to B\to C$
根據(jù)半衰期的不同分三種情況來討論：

暫時(shí)平衡

當(dāng)A的半衰期不是很長但是還是比B的要長的時(shí)候秀又，在觀察時(shí)間內(nèi)可以看出母體放射性的變化，以及字體B在經(jīng)過足夠長的時(shí)間之后贬芥，將和母體的核數(shù)目建立一定的固定的比例吐辙，即此時(shí)字體B的變化將按照母體A的半衰期衰減。這叫做暫時(shí)平衡蘸劈。
B的數(shù)目：
$N_2(t)=\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}N_1(0)(e^{-\lambda_1t}-e^{{-\lambda_2t}})=\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}N_1(t)[1-e^{-(\lambda_2-\lambda_1)t}]\tag{9}$
時(shí)間足夠長之后袱讹，由于 $\lambda_1<\lambda_2$ ，此時(shí)有：
$\frac{N_2}{N_1}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}昵时，\frac{A_2}{A_1}=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}\tag{10}$
下圖展示了放射性活度的變化：

fig13.png

其中曲線a表示子體的放射性活度捷雕，b表示母體的放射性活度，c表示兩者母子體共同的放射性活度 $A_1+A_2$ 壹甥。

對(duì)于多代子體的遞次衰變救巷，只要母體 $A_1$ 的衰變常量 $\lambda_1$ 小于各個(gè)子代的衰變常量，則當(dāng)衰變時(shí)間足夠長的時(shí)候句柠，整個(gè)衰變系列也會(huì)達(dá)到暫時(shí)平衡浦译，即各個(gè)放射體的數(shù)量之比不隨時(shí)間變化棒假，各個(gè)子體都按照母體的半衰期而衰減。

長期平衡

母體的半衰期比子體的長很多精盅，而且在觀察時(shí)間內(nèi)帽哑，看不出母體放射性的變化，在相當(dāng)長的時(shí)間以后叹俏，子體的數(shù)目和放射性活度達(dá)到飽和妻枕，并且子體和母體的放射性活度相等。這叫長期平衡粘驰。
$N_2(t)=\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}N_1(0)e^{-\lambda_1t}[1-e^{-(\lambda_2-\lambda_1)t}]=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}N_1(t)(1-e^{-\lambda_2t})\tag{11}$
當(dāng)時(shí)間足夠長時(shí)屡谐，
$\lambda_2N_2(t)=\lambda_1N_1(t)，A_1=A_2\tag{12}$
長期平衡過程中的放射性活度變化如下圖所示：

fig14.png

對(duì)于多代字體衰變蝌数，時(shí)間足夠長的時(shí)候愕掏，各代的活度彼此相等：
$\lambda_1N_1=\lambda_2N_2=\lambda_3N_3=......\tag{13}$

不平衡情況

當(dāng)母體的半衰期短于字體，即 $\lambda_1>\lambda_2$ 時(shí)顶伞，無法達(dá)到平衡饵撑。時(shí)間足夠長時(shí)字體將按照自身的半衰期進(jìn)行衰減。依舊使用遞進(jìn)衰減的公式：
$N_2(t)=\frac{\lambda_1}{\lambda_1-\lambda_2}N_1(0)e^{-\lambda_2t}[1-e^{-(\lambda_1-\lambda_2)t}]\tag{14}$

記憶時(shí)僅需注意保證 $N_2(t)$ 大于零即可唆貌。

當(dāng)時(shí)間足夠長滑潘，
$N_2(t)=\frac{\lambda_1}{\lambda_1-\lambda_2}N_1(0)e^{-\lambda_2t}\tag{15}$
放射性活度 $A(t)=\lambda_2N_2(t)$
可見當(dāng)時(shí)間足夠長，母體幾乎全部轉(zhuǎn)換為子體挠锥，子體則按照自身的指數(shù)衰減規(guī)律衰減众羡。因此子體間不會(huì)存在任何平衡。

放射系

遞次衰變系列通稱放射系蓖租。地殼中存在的一些重的放射性核素形成三個(gè)天然的放射系粱侣。它們的母體半衰期都很長，和地球年齡相近或更長蓖宦，他們的成員大多具有 $\alpha$ 放射性齐婴，少數(shù)具有 $\beta$ 放射性，一般都伴隨有 $\gamma$ 輻射稠茂，但不具有 $\beta^+$ 衰變或者軌道電子俘獲柠偶。最終都建立起長期平衡。

放射性活度單位

衡量放射性強(qiáng)弱用每秒的衰變次數(shù)來衡量睬关，單位是 $Ci$ (居里)诱担，規(guī)定1 $Ci$ 的放射源每秒產(chǎn)生 $3.7\times10^{10}$ 次衰變，即：
$\begin{aligned} &1Ci=3.7\times 10^{10}s^{-1}\\ &1mCi=3.7\times 10^{7}s^{-1}\\ &1\mu Ci=3.7\times 10^{4}s^{-1}\tag{16} \end{aligned}$

除居里外电爹，早期的文獻(xiàn)上還用另一種放射性活度的單位“盧瑟改柘桑”(間記為 $Ed$ )，它的定義如下：
$1Rd=1\times10^{6}s^{-1}\tag{17}$
它和居里的關(guān)系是 $1mCi=37Rd$ 丐箩。
后來規(guī)定國際單位制“貝克勒爾”為每秒產(chǎn)生一次衰變摇邦，符號(hào)為 $Bq$ 恤煞，因此，它與“居里”和“盧瑟甘┘”的關(guān)系如下：
$\begin{aligned} &1Ci=3.7\times10^{10}Bq\\ &1Rd=1\times10^{6}Bq\tag{18} \end{aligned}$

在實(shí)際應(yīng)用中居扒，會(huì)遇到比活度和射線強(qiáng)度這兩個(gè)物理量：

比活度(有時(shí)也叫做放射性比度)：指的是放射源的放射性活度與其質(zhì)量之比，即單位質(zhì)量放射源的放射性活度丑慎。
射線強(qiáng)度：指的是放射源在單位時(shí)間內(nèi)放出的某種射線的個(gè)數(shù)喜喂。

原子核的結(jié)合能

質(zhì)能關(guān)系

一般的質(zhì)能關(guān)系：
$E^2=p^2c^2+m_0^2c^4=m^2c^4\tag{19}$
推導(dǎo)得到一系列結(jié)論：

動(dòng)能為能量減去靜止能量
$E_k=E-m_0c^2\tag{20}$
對(duì)于靜止質(zhì)量為0的光子
$E_k=E=cp\tag{21}$

光子靜止質(zhì)量等于0，但是質(zhì)量不為零立哑， $m=E/c^2$

在原子物理學(xué)中夜惭，常用 $u$ 來作質(zhì)量單位姻灶，1 $u$ 所具有的能量為：
$E=mc^2=1.492418\times 10^{-10}J$
用電子伏特( $eV$ )作為能量單位：
$1eV=1.60217646\times10^{-19}J$
得到一些常用的關(guān)系：
$\begin{aligned} &1u=931.4940MeV/c^2\\ &m_e=0.51100MeV/c^2\\ &m_ec^2=511.00keV \end{aligned}$

質(zhì)量虧損

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)铛绰，原子核的質(zhì)量總是小于組成它的核子的質(zhì)量和。
首先將原子(注意不是原子核产喉！)拆分捂掰，得到質(zhì)量、能量的一個(gè)關(guān)系：
$M(Z,A)=m(Z,A)+Zm_e-B_e(Z)/c^2\tag{22}$
其中 $M$ 代表原子的質(zhì)量曾沈， $m$ 代表原子核的質(zhì)量这嚣， $m_e$ 代表電子的質(zhì)量， $B_e(Z)$ 代表電荷數(shù)為Z的元素的電子結(jié)合能塞俱。

質(zhì)子質(zhì)量： $m_p$ 姐帚，中子質(zhì)量： $m_n$

一般忽略電子結(jié)合能，于是障涯，以 $\alpha$ 粒子為例罐旗，原子核與獨(dú)立核子之間的質(zhì)量差為：
$\begin{aligned} \Delta m(^4He)&=(2m_p+2m_n)-m(^4He)\\ &=2M(^1H)+2m_n-M(^4He)\\ &=0.030377u \end{aligned}$

上面第一行到第二行是在質(zhì)子和氦核上面同時(shí)加了兩個(gè)電子，電子的影響相互抵消唯蝶。

組成某一原子核的核子的質(zhì)量和與核子的質(zhì)量之差為原子核的質(zhì)量虧損九秀，即：
$\Delta M(Z,A)=ZM(^1H)+(Z-A)m_n-M(Z,A)\tag{23}$
為了方便，在一些表中給出的并不是元素原子質(zhì)量粘我，而是列出了質(zhì)量過剩鼓蜒，以 $u$ 為單位，即：
$\Delta(Z,A)=[M(Z,A)-A\times1]c^2\tag{24}$

原子核的結(jié)合能

結(jié)合能就是質(zhì)量虧損所對(duì)應(yīng)的能量：
$B(Z,A)=\Delta M(Z,A)c^2=[ZM(^1H)+(Z-A)m_n-M(Z,A)]c^2\tag{25}$
用質(zhì)量過剩來表示的話就是：
$B(Z,A)=Z\Delta(^1H)+(A-Z)\Delta(n)-\Delta(Z,A)\tag{26}$
原子核平均每個(gè)核子的結(jié)合能稱為比結(jié)合能：
$\varepsilon=B/A\tag{27}$

比結(jié)合能曲線

fig15.png

最后一個(gè)核子的結(jié)合能

原子核最后一個(gè)核子結(jié)合能的大小征字，反映了這種原子核相對(duì)臨近的那些原子核的穩(wěn)定程度都弹。用 $S$ 來表示最后一個(gè)核子的結(jié)合能。則最后一個(gè)中子的結(jié)合能為：

$\begin{aligned} &S_n(Z,A)=[M(Z,A-1)+m_n-M(Z,A)]c^2\\ &=\Delta(Z,A-1)+\Delta(n)-\Delta(Z,A)\\ &=B(Z,A)-B(Z,A-1) \end{aligned}$
同理最后一個(gè)質(zhì)子的結(jié)合能為：
$\begin{aligned} S_p(Z,A)&=[M(Z-1,A-1)+M(^1H)-M(Z,A)]c^2\\ &=\Delta(Z-1,A-1)+\Delta(^1H)-\Delta(Z,A)\\ &=B(Z,A)-B(Z-1,A-1) \end{aligned}$

一般只有中子寫為 $m$ 匙姜，其他的基本上都是 $M$

原子核穩(wěn)定性的經(jīng)驗(yàn)規(guī)律

$\beta$ 穩(wěn)定線

$Z=\frac{A}{1.98+0.0155A^{2/3}}\tag{29}$
原子核中的質(zhì)子和中子有對(duì)稱相處的趨勢畅厢，中子數(shù)等于質(zhì)子數(shù)時(shí)更穩(wěn)定。

核子數(shù)的奇偶

fig16.png

重核的不穩(wěn)定性

重核比結(jié)合能較小搁料，更加不穩(wěn)定或详。

原子核的液滴模型

將原子核看做是帶電的液滴系羞，根據(jù)液滴模型，原子核的結(jié)合能主要包括體積能 $B_V$ 霸琴、表面能 $B_S$ 和庫倫能 $B_C$ 三項(xiàng)椒振。

體積能與體積成正比，于是與核子數(shù)A成正比：
$B_V=a_VA\tag{30}$
表面能與表面積成正比梧乘，于是：
$B_S=-a_SA^{2/3}\tag{31}$
對(duì)于球形核澎迎，假設(shè)質(zhì)子均勻分布，庫倫能為：
$B_C=-a_CZ^2A^{-1/3}\tag{32}$

在結(jié)合能公式中选调，除去以上三項(xiàng)夹供，應(yīng)該還要反映原子核穩(wěn)定性的經(jīng)驗(yàn)規(guī)律：核子間有中子、質(zhì)子對(duì)稱相處的趨勢仁堪，有一項(xiàng)對(duì)稱能 $B_a$ ;同類核子有陪對(duì)相處的趨勢哮洽，有一項(xiàng)對(duì)能 $B_p$

原子核結(jié)合能的半經(jīng)驗(yàn)公式

對(duì)稱能和對(duì)能

對(duì)稱能可以寫成：
$B_a=-a_a(\frac{A}{2}-Z)^2A^{-1}\tag{33}$
對(duì)能(奇偶能)：
$B_p=\delta a_pA^{-1/2}\tag{34}$
其中，
$\delta=\begin{cases} 1弦聂，~~偶偶核\\ 0鸟辅，~~奇偶核或偶奇核\\ -1，~~奇奇核 \end{cases}$

結(jié)合能半經(jīng)驗(yàn)公式

$B(Z,A)=a_VA-a_SA^{2/3}-a_CZ^2A^{-1/3}-a_a(\frac{A}{2}-Z)^2A^{-1}+a_p\delta A^{-1/2}\tag{35}$

考慮庫倫自能時(shí)第三項(xiàng)中 $Z^2\to Z(Z-1)$

最后編輯于：2022.04.09 13:19:51

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