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各種被整除的數(shù)的特征（放在這里以備以后查閱方便）

（1）被2整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末位是偶數(shù)（0茵宪、2算撮、4槽华、6、8）的數(shù)能被2整除匠襟。

（2）被3整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的數(shù)字和能被3整除，則這個數(shù)能被3整除该园。

（3）被4整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除則這個數(shù)能被4整除酸舍。可以這樣快速判斷：最后兩位數(shù)里初，要是十位是單數(shù)啃勉，個位就是2或6，要是十位是雙數(shù)双妨，個位就是0淮阐、4叮阅、8。

（4）被5整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末位是0或者5的數(shù)能被5整除泣特。

（5）被6整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)能被2和3整除浩姥，則這個數(shù)能被6整除。

（6）被7整除的數(shù)的特征：“割減法”状您。若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去勒叠，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的2倍竞阐，這樣缴饭，一次次下去，直到能清楚判斷為止骆莹，如果差是7的倍數(shù)（包括0）颗搂，則這個數(shù)能被7整除。過程為：截尾幕垦、倍大丢氢、相減、驗差先改。

　　例如疚察，判斷133是否7的倍數(shù)的過程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍數(shù)仇奶；又例如判斷6139是否7的倍數(shù)的過程如下：613－9×2＝595 貌嫡， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍數(shù)该溯，余類推岛抄。

（7）被8整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的未尾三位數(shù)能被8整除，則這個數(shù)能被8整除狈茉。

（8）被9整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的數(shù)字和能被9整除夫椭，則這個數(shù)能被9整除。

（9）被10整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末位是0氯庆，則這個數(shù)能被10整除蹭秋。

（10）被11整除的數(shù)的特征：“奇偶位差法”。一個整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差是11的倍數(shù)（包括0）堤撵，則這個數(shù)能被11整除仁讨。（隔位和相減）

　　例如，判斷491678能不能被11整除的過程如下：奇位數(shù)字的和9+6+8=23实昨，偶位數(shù)位的和4+1+7=12陪竿。23-12=11。因此491678能被11整除。

（11）被12整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)能被3和4整除族跛，則這個數(shù)能被12整除闰挡。

（12）被13整除的數(shù)的特征：若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中礁哄，加上個位數(shù)的4倍长酗，這樣，一次次下去桐绒，直到能清楚判斷為止夺脾，如果是13的倍數(shù)（包括0），則這個數(shù)能被13整除茉继。過程為：截尾咧叭、倍大、相加烁竭、驗差菲茬。

（13）被17整除的數(shù)的特征：若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中派撕，減去個位數(shù)的5倍婉弹，這樣，一次次下去终吼，直到能清楚判斷為止镀赌，如果差是17的倍數(shù)（包括0），則這個數(shù)能被17整除际跪。過程為：截尾商佛、倍大、相減姆打、驗差威彰。

（14）被19整除的數(shù)的特征：若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中穴肘，加上個位數(shù)的2倍，這樣舔痕，一次次下去评抚，直到能清楚判斷為止，如果是19的倍數(shù)（包括0）伯复，則這個數(shù)能被19整除慨代。過程為：截尾、倍大啸如、相加侍匙、驗差。

（15）被7、11想暗、13整除的數(shù)的共同特征：若一個整數(shù)的末3位與末3位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減懈竞埂）能被7、11说莫、13 整除杨箭，則這個數(shù)能被7、11储狭、13 整除互婿。

　　例如：128114，由于128-114=14辽狈，14是7的倍數(shù)慈参，所以128114能被7整除。64152刮萌，由于152-64=88驮配，88是11的倍數(shù)，所以64152能被11整除尊勿。94146僧凤，由于146-94=52，52是13的倍數(shù)元扔，所以94146能被13整除躯保。

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另外一篇：

整除原理

一、數(shù)的整除的特征

（1）1與0的特性：

1是任何整數(shù)的約數(shù)澎语，即對于任何整數(shù)a途事，總有1|a.

0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)，a≠0,a為整數(shù)擅羞，則a|0.

（2）若一個整數(shù)的末位是0尸变、2、4减俏、6或8召烂，則這個數(shù)能被2整除。

（3）若一個整數(shù)的數(shù)字和能被3整除娃承，則這個整數(shù)能被3整除奏夫。

? (4)? ?若一個整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個數(shù)能被4整除历筝。

（5）若一個整數(shù)的末位是0或5酗昼，則這個數(shù)能被5整除。

（6）若一個整數(shù)能被2和3整除梳猪，則這個數(shù)能被6整除麻削。

（7）若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的2倍呛哟，如果差是7的倍數(shù)叠荠，則原數(shù)能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數(shù)竖共，就需要繼續(xù)上述「截尾蝙叛、倍大、相減公给、驗差」的過程借帘，直到能清楚判斷為止。例如淌铐，判斷133是否7的倍數(shù)的過程如下：13－3×2＝7肺然，所以133是7的倍數(shù)；又例如判斷6139是否7的倍數(shù)的過程如下：613－9×2＝595 腿准， 59－5×2＝49际起，所以6139是7的倍數(shù)，余類推吐葱。

（8）若一個整數(shù)的未尾三位數(shù)能被8整除街望，則這個數(shù)能被8整除。

（9）若一個整數(shù)的數(shù)字和能被9整除弟跑，則這個整數(shù)能被9整除灾前。

（10）若一個整數(shù)的末位是0，則這個數(shù)能被10整除孟辑。

（11）若一個整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除哎甲，則這個數(shù)能被11整除。11的倍數(shù)檢驗法也可用上述檢查7的「割尾法」處理饲嗽！過程唯一不同的是：倍數(shù)不是2而是1炭玫！

（12）若一個整數(shù)能被3和4整除，則這個數(shù)能被12整除貌虾。

（13）若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去吞加，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的4倍尽狠，如果差是13的倍數(shù)衔憨，則原數(shù)能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數(shù)晚唇，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大盗似、相加哩陕、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。

（14）若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去悍及，再從余下的數(shù)中闽瓢，減去個位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)心赶，則原數(shù)能被17整除扣讼。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾缨叫、倍大椭符、相減、驗差」的過程耻姥，直到能清楚判斷為止销钝。

（15）若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中琐簇，加上個位數(shù)的2倍蒸健，如果差是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除婉商。如果差太大或心算不易看出是否19的倍數(shù)似忧，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大丈秩、相加盯捌、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止癣籽。

（16）若一個整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除挽唉，則這個數(shù)能被17整除。

（17）若一個整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除筷狼，則這個數(shù)能被19整除瓶籽。

（18）若一個整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23(或29)整除，則這個數(shù)能被23整除

（19）最末兩位是25的倍數(shù)（00埂材、25塑顺、50、75）

任何一個正整數(shù)都具有100A+b的形式俏险，其中A是自然數(shù)严拒、b是兩位的自然數(shù)。

因為100A+b=25*4A+b.25*4A是25的倍數(shù)竖独，如果b是25的倍數(shù)裤唠，它們的和（原數(shù)）就是25的倍數(shù)。如果不是25的倍數(shù)莹痢，那么兩項的和（原數(shù)）种蘸，就不是25的倍數(shù)墓赴。而兩位數(shù)中只且只有00、25航瞭、50诫硕、75是25的倍數(shù)。

二刊侯、判斷一個數(shù)能否被7整除章办，有兩種方法：

①割尾法：

若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中滨彻，減去個位數(shù)的2倍藕届，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除疮绷。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數(shù)翰舌，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大冬骚、相減椅贱、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止只冻。例如庇麦，判斷133是否7的倍數(shù)的過程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍數(shù)喜德；又例如判斷6139是否7的倍數(shù)的過程如下：613－9×2＝595 山橄， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍數(shù)舍悯，余類推航棱。

割尾法：

證明過程：

??設(shè)p=a1+a2*10+a3*10^2+...+a(n-1)*10^(n-1)+an*10^n

????q=a2+a3*10+...+a(n-1)*10^(n-2)+an*10^(n-1)-2a1

??2p+q=21(a2+a3*10+...+an*10^(n-1))

??又因為21=7*3，所以若p是7的倍數(shù),那么可以得到q是7的倍數(shù)

②末三法：

這個數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（反過來也行）能被7萌衬、11饮醇、13整除。這個數(shù)就能被7秕豫、11朴艰、13整除。

例如：1005928

末三位數(shù)：928混移，末三位之前：1005??1005-928=77

因為7 | 77祠墅，所以7|1005928

末三法，簡略證明：

設(shè)一個數(shù)為ABCDEF=ABC×1000+DEF=ABC×1001-ABC+DEF=ABC×7×13×11-(ABC-DEF),由此可見只要ABC-DEF能被7整除歌径，則ABCDEF能被7整除毁嗦。

三、能被11整除的數(shù)的特征

把一個數(shù)由右邊向左邊數(shù),將奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分別加起來,再求它們的差,如果這個差是11的倍數(shù)(包括0),那么,原來這個數(shù)就一定能被11整除.

例如:判斷491678能不能被11整除.

—→奇位數(shù)字的和9+6+8=23

—→偶位數(shù)位的和4+1+7=12 23-12=11

因此,491678能被11整除.

這種方法叫"奇偶位差法".

除上述方法外,還可以用割減法進(jìn)行判斷.即:從一個數(shù)里減去11的10倍,20倍,30倍……到余下一個100以內(nèi)的數(shù)為止.如果余數(shù)能被11整除,那么,原來這個數(shù)就一定能被11整除.

又如:判斷583能不能被11整除.

用583減去11的50倍(583-11×50=33)余數(shù)是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.