【面試高頻題】值得仔細推敲的貪心及其證明

## 題目描述 這是 LeetCode 上的 **[1846. 減小和重新排列數(shù)組后的最大元素](https://leetcode-cn.com/problems/maximum-element-after-decreasing-and-rearranging/solution/gong-shui-san-xie-noxiang-xin-ke-xue-xi-yh9qt/)** 术羔，難度為 **中等**赢赊。 Tag : 「貪心」 給你一個正整數(shù)數(shù)組?`arr`。 請你對 `arr`?執(zhí)行一些操作（也可以不進行任何操作）级历，使得數(shù)組滿足以下條件： 1. `arr`?中 第一個?元素必須為?$1$ 2. 任意相鄰兩個元素的差的絕對值小于等于?$1$ 對于任意的 $1 <= i < arr.length$?释移，都滿足?`abs(arr[i]-arr[i-1])<=1`，`abs(x)`?為?`x`?的絕對值寥殖。 你可以執(zhí)行以下 $2$ 種操作任意次： * 減小 `arr` 中任意元素的值玩讳，使其變?yōu)橐粋€更小的正整數(shù) * 重新排列?`arr`?中的元素，你可以以任意順序重新排列 請你返回執(zhí)行以上操作后嚼贡，在滿足前文所述的條件下熏纯，`arr`?中可能的最大值。 示例 1： ``` 輸入：arr = [2,2,1,2,1] 輸出：2 解釋： 我們可以重新排列 arr 得到 [1,2,2,2,1] 粤策，該數(shù)組滿足所有條件樟澜。 arr 中最大元素為 2 。 ``` 示例 2： ``` 輸入：arr = [100,1,1000] 輸出：3 解釋： 一個可行的方案如下： 1. 重新排列 arr 得到 [1,100,1000] 叮盘。 2. 將第二個元素減小為 2 秩贰。 3. 將第三個元素減小為 3 。 現(xiàn)在 arr = [1,2,3] 柔吼，滿足所有條件萍膛。 arr 中最大元素為 3 。 ``` 示例 3： ``` 輸入：arr = [1,2,3,4,5] 輸出：5 解釋：數(shù)組已經(jīng)滿足所有條件嚷堡，最大元素為 5 蝗罗。 ``` 提示： * $1 <= arr.length <= 10^5$ * $1 <= arr[i] <= 10^9$ ## 基本分析 & 證明 根據(jù)題意艇棕，數(shù)組的第一位必須是 $1$，且每個數(shù)只能 **減小** 或 **不變**串塑，數(shù)值位置可以任意調(diào)整沼琉。 求解經(jīng)過調(diào)整后，符合要求的數(shù)組中的最大值是多少桩匪。 首先符合條件的數(shù)組相鄰位差值絕對值不超過 $1$打瘪，這限定了數(shù)組的必然是如下三種分布之一： * （非嚴格）單調(diào)遞減 * 存在波段 * （非嚴格）單調(diào)遞增 *證明一：取得最優(yōu)解對應的數(shù)組「必然是」或者「可調(diào)整為」（非嚴格）單調(diào)遞增的形式。* 我們使用反證法來證明另外兩種分布不能取得最優(yōu)解： * （非嚴格）單調(diào)遞減：題目限定了數(shù)的范圍為正整數(shù)傻昙，且第一位為 $1$闺骚，這種情況不用討論了，跳過妆档； * 存在波段：我們始終可以將波峰的右側(cè)出現(xiàn)的值僻爽，納入到波峰的左側(cè)，從而消掉這個波峰贾惦，最終將整個分布調(diào)整為「（非嚴格）單調(diào)遞增」的形式胸梆，結(jié)果不會變差： ![](https://upload-images.jianshu.io/upload_images/1980848-eb70ab40fb4acfd5.png) 多個波段的情況也是同理，可以自己在紙上畫畫须板。 都是利用 *波峰右側(cè)的點可以調(diào)整成波峰左側(cè)的點碰镜，從而使分布變?yōu)椋ǚ菄栏瘢﹩握{(diào)遞增*。 *至此习瑰，我們證明了最優(yōu)解對應的數(shù)組必然符合（非嚴格）單調(diào)遞增绪颖。* 這啟發(fā)我們可以先對原數(shù)組排個序，在此基礎上進行分析甜奄。 對原數(shù)組排序得到的有序數(shù)組菠发，不一定是符合「相鄰位差值絕對值不超過 $1$」的，同時由于每個數(shù)值可以選擇 **減小** 或 **不變**贺嫂。 *證明二：當必須要對當前位進行調(diào)整的時滓鸠，優(yōu)先選擇調(diào)整為「與前一值差值為 $1$ 的較大數(shù)」不會比調(diào)整為「與前一差值為 $0$ 的較小數(shù)」更差。* 這可以使用歸納推理第喳，假設采取「優(yōu)先調(diào)整為與前一值差值為 $1$ 的較大數(shù)」得到的序列為 `a`糜俗，采用「優(yōu)先調(diào)整與前一差值為 $0$ 的較小數(shù)」得到的序列為 `b`。 *根據(jù)「$a[0] = b[0] = 1$」曲饱、「`a` 和 `b` 長度一致」悠抹、「`a` 和 `b` 均為（非嚴格）單調(diào)遞增」以及「`a` 和 `b` 均滿足相鄰位差值不超過 $1$」，可推導出 $sum(a) >= sum(b)$扩淀，和任意位置 $a[i] >= b[i]$楔敌，從而推導出 `a` 序列的最后一位必然大于等于 `b` 的最后一位。* 即 `b` 不會比 `a` 更優(yōu)驻谆。 *證明三：調(diào)整大小的操作不會改變數(shù)組元素之間的相對位置關系卵凑。* 在證明二的分析中庆聘，我們會對某些元素進行“減小”操作，使得整個數(shù)組最終滿足「相鄰位差值絕對值不超過 $1$」勺卢。 但該證明成立的還有一個很重要的前提條件伙判，就是調(diào)整操作不會出發(fā)元素的位置重排。 那么該前提條件是否必然成立呢黑忱？答案是必然成立宴抚。 假設原排序數(shù)組中存在需要調(diào)整的點 $i$ 和點 $j$，且 $nums[i] <= nums[j]$甫煞。 為了讓數(shù)組滿足條件菇曲，它們都進行了“減少”操作的調(diào)整，分別變?yōu)榱?$p$ 和 $q$抚吠，如果觸發(fā)位置重排的話常潮，必然有 $nums[p] >= nums[q]$。 此時埃跷，我們能夠通過調(diào)整它們的變化關系：點 $i$ 變?yōu)辄c $q$蕊玷、點 $j$ 變成點 $p$ 來確保同樣滿足條件邮利，且不觸發(fā)元素在有序數(shù)組中的位置重排弥雹。 ![](https://upload-images.jianshu.io/upload_images/1980848-38637e31c6a6a119.png) ## 貪心 排序，限定第一位值為 $1$延届，從前往后處理剪勿，根據(jù)每一位是否「必須修改（與上一位差值是否大于 $1$）」做決策，如果必須被修改方庭，則修改為與前一值差值為 $1$ 的較大數(shù)厕吉。 代碼： ```Java class Solution { public int maximumElementAfterDecrementingAndRearranging(int[] arr) { int n = arr.length; Arrays.sort(arr); arr[0] = 1; for (int i = 1; i < n; i++) { if (arr[i] - arr[i - 1] > 1) { arr[i] = arr[i - 1] + 1; } } return arr[n - 1]; } } ``` * 時間復雜度：假定 `Arrays.sort` 使用的是雙軸快排實現(xiàn)。復雜度為 $O(n\log{n})$ * 空間復雜度：假定 `Arrays.sort` 使用的是雙軸快排實現(xiàn)械念。復雜度為 $O(\log{n})$ ## 最后 這是我們「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.1846` 篇头朱，系列開始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道題目龄减，部分是有鎖題项钮，我們將先把所有不帶鎖的題目刷完。 在這個系列文章里面希停，除了講解解題思路以外烁巫，還會盡可能給出最為簡潔的代碼。如果涉及通解還會相應的代碼模板宠能。 為了方便各位同學能夠電腦上進行調(diào)試和提交代碼亚隙，我建立了相關的倉庫：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 在倉庫地址里违崇，你可以看到系列文章的題解鏈接阿弃、系列文章的相應代碼诊霹、LeetCode 原題鏈接和其他優(yōu)選題解。 更多更全更熱門的「筆試/面試」相關資料可訪問排版精美的 [合集新基地](https://www.acoier.com/archives/) ???? 本文由[mdnice](https://mdnice.com/?platform=6)多平臺發(fā)布
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