(sinx)^n+(cosx)^n 的值域

今天看到「善科題庫」發(fā)了一條微博秕铛，求函數(shù) f(x) =\sin^6 x+\cos^6 x 的值域 ????。

這個(gè)題目當(dāng)然是很簡單的，高中套路題溯职，算一下 $(\sin^2 x+\cos^2 x)^3$ 就好啦，無聊的我居然真的拿筆算了一下帽哑，答案是 $[ \tfrac{1}{4} ,1]$ 谜酒。

然后我又想著用 Mathematica 算一下指數(shù)是其他數(shù)時(shí)的情況，發(fā)現(xiàn)這個(gè)是有規(guī)律的啊妻枕，

觀察可以發(fā)現(xiàn)僻族，對于 $f(x) = \sin^n x+\cos^n x,\,n \in \mathbb{N}^+$ ，當(dāng) $n=1$ 時(shí)值域是 $[-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}]$ 屡谐，當(dāng) $n>1$ 時(shí)要看 $n$ 的奇偶性述么，當(dāng) $n$ 是奇數(shù)時(shí)值域一直是 $[-1,1]$ ，當(dāng) $n$ 是偶數(shù)時(shí)值域是 $[2^{1-\frac{n}{2}},1]$ 愕掏。為了表達(dá)的美觀性度秘，可以記 $n$ 為偶數(shù)時(shí) $n = 2k$ ， $f(x)$ 的值域是 $[ \tfrac{1}{2^{k-1}},1]$ 饵撑。

觀察到了結(jié)論剑梳，想一想怎么說明它吧，試了試也不是很難滑潘。

$n=1$ 時(shí)是很熟悉的
$f(x) = \sin x+\cos x = \sqrt{2} \sin(x+\frac{\pi}{4} ) \in[-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}]$

當(dāng) $n \geq 2$ 時(shí)垢乙，
$f(x) = \sin^n x+ \cos^n x \le \vert \sin x \vert^n + \vert \cos x \vert^n \le \sin^2 x + \cos^2 x = 1$

等號(hào)可以取到，比如 $x= 0$ 時(shí)语卤。所以 $n \geq 2$ 時(shí) $f(x)$ 的最大值就是 $1$ 侨赡。

$n = 2k$ 時(shí)，考慮到 $g(x) = x^k$ 在 $(0,+\infty)$ 上是一個(gè)下凸函數(shù)粱侣，有
$f(x) = \sin^{2k} x + \cos^{2k} x \geq 2 \cdot \left( \dfrac{\sin^2 x + \cos^2 x}{2} \right)^k = \dfrac{1}{2^{k-1}}$

當(dāng) $\sin^2 x = \cos^2 x$ 時(shí)取到最小值羊壹；
$n$ 為大于 $1$ 的奇數(shù)時(shí)，
$f(x) = \sin^n x + \cos^n x \ge -\vert \sin x \vert^n - \vert \cos x \vert^n \ge - \sin^2 x - \cos^2 x = -1$

等號(hào)可以取到齐婴，比如 $x = \pi$ 時(shí)油猫。

考慮函數(shù)的連續(xù)性，到這里就完成說明了柠偶，可以確定 $f(x)$ 的值域正如前面觀察到的那樣情妖。

參考：

Finding range of values of trigonometric function - Mathematics Stack Exchange

最后編輯于：2020.03.17 09:39:19

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者