最近在復(fù)習(xí)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的東西，主要是《數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文精選與點(diǎn)評(píng)(2011-2015)》和《數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用》兩本書，資源在下面。（包括文中出現(xiàn)的一些案例就來源于書中）

個(gè)人覺得數(shù)學(xué)建模是介乎業(yè)務(wù)模型和數(shù)據(jù)挖掘之間的東西，既要有將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的思維，同時(shí)在采用的模型奴烙、算法方面和數(shù)據(jù)挖掘有極大的重合。所以對(duì)于開拓橫向的數(shù)據(jù)化業(yè)務(wù)思維剖张、分析能力以及基礎(chǔ)的數(shù)據(jù)挖掘能力都有幫助切诀。

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一、引言

數(shù)學(xué)建模方法：

• 機(jī)理分析方法
• 構(gòu)造分析方法（先建立一個(gè)合理的模型結(jié)構(gòu)搔弄，再對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)模擬）
• 直觀分析方法
• 數(shù)值分析方法：差值幅虑、回歸等
• 數(shù)學(xué)分析方法：圖論、微分顾犹、概率統(tǒng)計(jì)等
  （數(shù)學(xué)建模所需要的知識(shí)首先是廣翘单！其次才是精！）

數(shù)學(xué)建模步驟：
問題分析→模型假設(shè)→模型建立→模型求解→解的分析與檢驗(yàn)→寫作和應(yīng)用

二蹦渣、兩種初等分析方法

• 量綱分析方法
• 集合分析方法

三哄芜、微分方程方法

基礎(chǔ)理論：

• 微分方程的一般形式（這個(gè)還是差不多記得的）
• 微分方程解的存在唯一性（定理肯定會(huì)忘）
• 微分方程的穩(wěn)定性問題：在給定的初始解/擾動(dòng)的條件下，微分方程的解是不是穩(wěn)定的（是趨于某個(gè)穩(wěn)定值還是無窮值）

典型場景
微分方程一般是時(shí)間微分方程柬唯，微分方程穩(wěn)定性問題的典型場景是判斷博弈過程认臊，判斷最終哪一方會(huì)贏、哪一方會(huì)敗锄奢，比如下面的戰(zhàn)爭問題失晴；或者就是消息/疾病隨時(shí)間傳播的過程。

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四拘央、差分方程方法

基礎(chǔ)理論：

• 差分方程的定義：

  
  
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差分只是一個(gè)過程變量涂屁，既可以求微分，也可以求積分灰伟。而且差分方程本身也是需要求解拆又、以及判斷穩(wěn)定性的儒旬，但是似乎利用差分方程求解方程本身很少，而利用差分/差商來積分反而更常用

• 微分的差分方法：向前差帖族、向后差栈源、中心差（利用差分求微分）
• 定積分的差分方法：復(fù)化矩形公式、復(fù)化梯形公式竖般、復(fù)化辛普森公式甚垦、復(fù)化科斯特公式（利用差分求積分）
• 常微分方程的差分方法：就是已知微分方程，但是你可能不想把原方程求解出來涣雕，而是想轉(zhuǎn)化成一個(gè)差分方程艰亮，這樣你在有初始解的條件下，就可以不斷差分挣郭，然后求解出之后所有的值垃杖，而不是把原始方程解出來。丈屹。。常用方法有歐拉公式伶棒、梯形公式旺垒、龍格庫塔方法（一階、二階肤无、三階先蒋、四階。宛渐。竞漾。）

五、差值與擬合方法

基礎(chǔ)理論：

• 一般差值方法：拉格朗日插值窥翩，就是多項(xiàng)式插值业岁；牛頓插值，也是多項(xiàng)式插值寇蚊，牛頓插值其實(shí)是拉格朗日插值的變形笔时，關(guān)鍵在于牛頓插值可以直接接受新的插值點(diǎn)，而進(jìn)行新的多項(xiàng)式更新仗岸，而不是拉格朗日要從頭開始更新允耿。
• 樣條差值：分二次樣條函數(shù)插值和三次樣條函數(shù)插值，二次就是多段的二項(xiàng)式扒怖，三次就是多段的三項(xiàng)式较锡。
  最簡單的理解是，兩點(diǎn)可以確定一次多項(xiàng)式（一條直線）盗痒，兩點(diǎn)加臨界點(diǎn)的一次導(dǎo)數(shù)可以確定二次多項(xiàng)式蚂蕴，兩點(diǎn)加臨界點(diǎn)的一二次導(dǎo)數(shù)可以確定三次多項(xiàng)式。所以三次樣條就是在已知臨界點(diǎn)一二次導(dǎo)數(shù)的情況下求取的三次多項(xiàng)式，目的是保證充分光滑掂墓，適用于飛機(jī)谦纱、汽車等光滑界面的處理。
  樣條函數(shù)的目的是保證光滑君编，而不是用拉格朗日擬合方法來進(jìn)行非常高階的強(qiáng)行擬合跨嘉。但實(shí)際過程中，一二階導(dǎo)數(shù)通常未知吃嘿，所以常采用差分方法來估計(jì)
• B樣條函數(shù)差值：B樣條相對(duì)樣條函數(shù)好像是多了一個(gè)滿足凹凸函數(shù)特性祠乃，不過這個(gè)確實(shí)應(yīng)該用不到。

擬合方法：

• 最小二乘法：最小二乘法的本質(zhì)是均方差的極小化問題兑燥。

一般線性最小二乘擬合方法是可以直接求解的亮瓷，但是非線性最小二乘問題，通常求解很復(fù)雜降瞳，可以采用梯度法（這個(gè)最常用）嘱支、共軛梯度法、最速下降法（后兩者是求解特殊的正定矩陣）進(jìn)行求解挣饥。除师。。扔枫。

六汛聚、層次分析法

基礎(chǔ)理論：
方案層、準(zhǔn)則層短荐、決策目標(biāo)→構(gòu)造比較矩陣→相對(duì)權(quán)重向量確定→一致性校驗(yàn)→計(jì)算組合權(quán)重和組合一致性校驗(yàn)（兩層權(quán)重的累加）
應(yīng)用場景：
實(shí)際應(yīng)用應(yīng)該很廣了倚舀，發(fā)現(xiàn)一個(gè)可以用在互聯(lián)網(wǎng)運(yùn)營中的：http://www.reibang.com/p/f4fdf18988cb

七、概率分布方法

基礎(chǔ)理論：

• 排列和組合：就是P（n忍宋，k）和C（n痕貌，k）的區(qū)別
• 事件和概率：隨機(jī)試驗(yàn)和事件類有，必然事件糠排、不可能事件芯侥；包含事件、相等事件乳讥、互補(bǔ)相容事件柱查、差事件、積事件云石；概率類有一般概率唉工、條件概率、全概率事件（多個(gè)條件概率事件的累加表示）

• 隨機(jī)變量與分布函數(shù)：離散型隨機(jī)變量汹忠、連續(xù)性隨機(jī)變量淋硝；分布函數(shù)F雹熬、密度函數(shù)f；多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)谣膳、聯(lián)合分布密度竿报；期望、方差继谚，除了傳統(tǒng)求期望和方差的公式烈菌，還有這個(gè)轉(zhuǎn)化方法

  
  
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采用概率分布：

• 常用為離散型：
  1、兩點(diǎn)分布花履、二項(xiàng)分布（由很多個(gè)兩點(diǎn)分布組成的）
  2芽世、泊松分布：當(dāng)二項(xiàng)分布的n很大而p很小時(shí)，泊松分布由二項(xiàng)分布推導(dǎo)而來诡壁。泊松分布適合于描述單位時(shí)間（或空間）內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)济瓢。如某一服務(wù)設(shè)施在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)，電話交換機(jī)接到呼叫的次數(shù)妹卿，汽車站臺(tái)的候客人數(shù)旺矾。舉個(gè)例子，要計(jì)算造8點(diǎn)在車站站臺(tái)的人數(shù)夺克，這個(gè)n就是全市區(qū)的人數(shù)箕宙，p就是一個(gè)乘客在8點(diǎn)出現(xiàn)在站臺(tái)的概率，可以知道n足夠大懊直，p足夠小，最后的人數(shù)就是一個(gè)泊松分布火鼻。所以廣義意義上理解泊松分布是室囊，容易出現(xiàn)一個(gè)小值，但是很難出現(xiàn)一個(gè)大值魁索。
• 通常為連續(xù)型：
  1融撞、比較通用的，均勻分布粗蔚、正態(tài)分布尝偎；
  2、卡方分布：正態(tài)分布平方的累加
  
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  3鹏控、t分布：正太分布與卡方開方的比值（所以肯定比較趨于1）
  
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  4致扯、F分布：兩個(gè)卡方分布的比值，像是正態(tài)平方/正態(tài)平方
  
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  參考：<u>https://blog.csdn.net/anshuai_aw1/article/details/82735201</u>

八当辐、數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法

基礎(chǔ)理論：

• 樣本抖僵、樣本的容量、觀測值
• 簡單隨機(jī)樣本：隨機(jī)性+獨(dú)立性缘揪，所以必須保證獨(dú)立耍群，從盒子里不放回的拿10個(gè)球這不是簡單隨機(jī)樣本义桂，但是重復(fù)“從盒子離不放回得拿10個(gè)球”十次，每一次都是簡單隨機(jī)樣本蹈垢。關(guān)鍵在于樣本的含義是“一組”慷吊，而不是“一個(gè)”，“一組”涵蓋“一個(gè)”曹抬。
• 統(tǒng)計(jì)量：
  1溉瓶、位置統(tǒng)計(jì)量：平均值、中位數(shù)沐祷、分位數(shù)
  2嚷闭、變異程度統(tǒng)計(jì)量：標(biāo)準(zhǔn)差、方差赖临、極差（最大值與最小值之差）
  3胞锰、分布形態(tài)統(tǒng)計(jì)量：偏度、峰度兢榨、原點(diǎn)矩和中心矩

參數(shù)估計(jì)：

• 點(diǎn)估計(jì)：
  1嗅榕、矩估計(jì)法：用樣本的k階原點(diǎn)矩來估計(jì)總體的k階原點(diǎn)矩，并求解出參數(shù)（典型的就是均值是一階原點(diǎn)矩是樣本均值吵聪，然后二階原點(diǎn)矩是均值平方+方差平方）凌那；
  2、最大似然估計(jì)：求解得到樣本數(shù)據(jù)的概率吟逝，此時(shí)使概率達(dá)到最大的參數(shù)（因?yàn)闃颖疽呀?jīng)發(fā)生）就是參數(shù)的最大似然估計(jì)值帽蝶。

• 區(qū)間估計(jì)：
  1、定義是：參數(shù)處在某個(gè)區(qū)間的概率是1-α块攒，則該區(qū)間是被估計(jì)參數(shù)在置信水平為1-α下的置信區(qū)間励稳。
  2、區(qū)間估計(jì)準(zhǔn)確來說是只適用服從正太分布的函數(shù)的囱井，只不過這里有一條驹尼，似乎也意味著在實(shí)際問題處理上，通常把樣本夠大的數(shù)據(jù)經(jīng)過轉(zhuǎn)化后認(rèn)為服從正態(tài)分布：

  
  
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  3庞呕、轉(zhuǎn)換估計(jì)：已知方差新翎，求期望的置信區(qū)間：經(jīng)過轉(zhuǎn)化是服從標(biāo)準(zhǔn)正太分布未知方差，求期望的置信區(qū)間：用樣本方差來代替方差住练，經(jīng)過轉(zhuǎn)化是服從t（n-1）分布的地啰。。等等讲逛。
  4髓绽、估計(jì)量評(píng)價(jià)：

  
  
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方差分析：
分為單因素方差分析法和多因素方差分析法。這里只考慮單因素妆绞。

• 組間方差SSA：

  
  
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• 組內(nèi)方差SSE：

  
  
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  因?yàn)槭欠讲钏撑唬椒降男问椒闩剩赞D(zhuǎn)化過后肯定是卡方分布，兩者都是卡方分布株茶，只是自由度和轉(zhuǎn)化形式方面確實(shí)不容易記住来涨。而且中間的推導(dǎo)過程其實(shí)是省略的，重點(diǎn)還是要放在會(huì)用上面启盛。

• 構(gòu)造一個(gè)F分布：

  
  
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相關(guān)分析方法：

• 協(xié)方差：
  Cov(X,Y) = E(XY) ? E(X)E(Y)

• 皮爾遜相關(guān)性系數(shù)蹦掐，所以相當(dāng)于是將協(xié)方差經(jīng)過了標(biāo)準(zhǔn)化，最終處在-1~1之間：

  
  
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九僵闯、回歸分析方法

基礎(chǔ)理論：

• 求解方法：最小二乘法

• 回歸方程的顯著性校驗(yàn)：校驗(yàn)的是回歸系數(shù)是否為0卧抗，利用回歸均方（預(yù)測數(shù)據(jù)和均值的差值均方）和殘差均方（預(yù)測數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)的差值均方）的比值符合F分布：

  
  
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• 回歸方程的擬合校驗(yàn)：顯著性校驗(yàn)的是相關(guān)系數(shù)是否不為0，擬合校驗(yàn)校驗(yàn)的是常數(shù)項(xiàng)+常數(shù)項(xiàng)系數(shù)（兩者共同構(gòu)成了回歸方程）與隨機(jī)誤差之間的一個(gè)比率關(guān)系鳖粟，顯然也是F分布社裆。這個(gè)擬合其實(shí)校驗(yàn)的是誤差水準(zhǔn)問題，所以一般顯著性都會(huì)設(shè)置到0.05向图，在這個(gè)情況下我們才認(rèn)為擬合是有效的泳秀。但是實(shí)際應(yīng)用中一般就是直接分析殘差，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不會(huì)用0.05這個(gè)水平來要求榄攀。

多元回歸方程的顯著性校驗(yàn)和擬合校驗(yàn)：

• 顯著性校驗(yàn)：校驗(yàn)多個(gè)回歸系數(shù)至少有一個(gè)不為0嗜傅；
• 擬合校驗(yàn)：原理也是一樣的，只是如果校驗(yàn)出來擬合效果不好的話檩赢，如何對(duì)指標(biāo)進(jìn)行調(diào)整（如果擬合不好的吕嘀，實(shí)際需要的是新增，淘汰的話其實(shí)是在擬合情況比較好的情況下將無用指標(biāo)給剔除）：
  a)淘汰法：第一次先盡量把所有的指標(biāo)都納入進(jìn)去贞瞒，然后逐個(gè)剔除檢驗(yàn)偶房；
  b)納新法：先把確定的變量選進(jìn)去，然后逐漸添加變量憔狞；
  c)逐步回歸法：一邊淘汰一邊納新
  （所以在做回歸的時(shí)候蝴悉，是可以用這個(gè)方法來篩選和剔除指標(biāo)的彰阴，思想就是看調(diào)整了變量之后的回歸平方和和殘差平方和的F分布是否明顯（也有一個(gè)顯著性水平））

回歸模型正交化
正交化的目的只是為了計(jì)算瘾敢，比如自變量有x1，x2和x3=x1*x2尿这，這個(gè)時(shí)候明知變量中有相關(guān)性問題存在簇抵，正交化的計(jì)算最快。實(shí)際應(yīng)該不會(huì)考慮這種情況射众，反正都是機(jī)器跑碟摆。

十、線性規(guī)劃方法

基礎(chǔ)理論：

• 線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式：

  
  
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• 線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式：
  
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  所以一般形式要引入一個(gè)松弛變量變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式求解叨橱。

線性規(guī)劃的求解方法
知己用lingo吧騷年典蜕！

線性規(guī)劃的對(duì)偶問題

• 典型的對(duì)偶問題：
  原問題：

  
  
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  對(duì)偶問題：

  
  
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• 拉格朗日對(duì)偶問題：
  原問題：

  
  
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  可能約束無法轉(zhuǎn)化為基可行解（因?yàn)椴皇蔷€性約束）断盛，所以引入一個(gè)拉格朗日乘子（為什么是max？因?yàn)閷?shí)際上是優(yōu)化α和β的值愉舔，讓其盡量很大钢猛，在不滿足約束的時(shí)候有一個(gè)很大的值）：

  
  
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  進(jìn)一步，原始優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為：
  
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  然后先優(yōu)化出x轩缤，再確定參數(shù)α和β命迈。。火的。詳細(xì)的優(yōu)化步驟先省了壶愤，以后遇到了再看。

十一馏鹤、整數(shù)規(guī)劃方法

常用方法

• 分支界定發(fā)
• 切割法
• 0-1規(guī)劃的窮舉法（竟然是窮舉）
• 總的來說還不如優(yōu)化算法好使

十二征椒、非線性規(guī)劃方法

基礎(chǔ)理論

• 存在局部極值和全局極值的問題。
• 海賽矩陣概念（二階偏導(dǎo)）
• 局部極值的必要條件是梯度為0（一階偏導(dǎo)）假瞬，充分條件是梯度為0陕靠，然后海賽矩陣還有要求。

無約束規(guī)劃的解法

• 梯度法（最速下降法）：就每次按最大梯度方向走脱茉，但是梯度法的步長很影響效率剪芥，我搜了一下網(wǎng)上，關(guān)于步長的確定有幾種方法琴许，沒有最優(yōu)的一種通用方法税肪。（文中給的一個(gè)步長應(yīng)該是結(jié)合了海賽矩陣給的一個(gè)保證肯定能夠到達(dá)一個(gè)更優(yōu)值的步長，但是似乎也沒有什么意義榜田，對(duì)計(jì)算機(jī)而言益兄，還不如固定步長來得快呢）。
• 共軛梯度法：umm箭券，適用于求解正定二次函數(shù)的規(guī)劃
• 牛頓法：也是求解正定二次函數(shù)的規(guī)劃
  Umm净捅，所以看了這些之后，大概心里有數(shù)辩块，求解非線性規(guī)劃一般就是梯度法蛔六、爬坡法還有其他的優(yōu)化算法，因?yàn)槠鋵?shí)也沒有什么很標(biāo)準(zhǔn)的解法

有約束非線性規(guī)劃的解法

• 廣泛采用懲罰函數(shù)方法废亭。国章。

十三、動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法

我認(rèn)為真正的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題豆村，其實(shí)是類似于馬爾可夫鏈的那種問題液兽，這里其實(shí)沒有涉及到這么高深。反而是把本來可以用靜態(tài)規(guī)劃方法求解的掌动，轉(zhuǎn)化成動(dòng)態(tài)來求解四啰。

十四宁玫、排隊(duì)論方法

基礎(chǔ)理論

• X/Y/Z/A/B/C模型表示：
  X：相繼到達(dá)的時(shí)間
  Y：服務(wù)時(shí)間
  Z：服務(wù)臺(tái)數(shù)目
  A：系統(tǒng)容量限制
  B：顧客源數(shù)目
  C：服務(wù)規(guī)則
  （X,Y一般有幾種典型的分布方式：負(fù)指數(shù)分布、泊松分布柑晒、愛爾朗分布）
• 運(yùn)行指標(biāo)：
  隊(duì)長
  排隊(duì)長
  逗留時(shí)間
  等待時(shí)間
  服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)工作時(shí)間
  損失率
  服務(wù)強(qiáng)度
• 優(yōu)化目標(biāo)：
  靜態(tài)最優(yōu)化：優(yōu)化系統(tǒng)的配置撬统，包括服務(wù)機(jī)構(gòu)規(guī)模大小、個(gè)數(shù)等
  動(dòng)態(tài)最優(yōu)化：根據(jù)系統(tǒng)情況尋求運(yùn)營機(jī)制

XY分布
分布才是排隊(duì)論的理論核心敦迄，在確定了分布之后恋追，你甚至可以直接用蒙特卡洛模擬出排隊(duì)結(jié)果嘛。

• 泊松分布：泊松分布就是典型的隨機(jī)時(shí)間分布罚屋，原理是把時(shí)間段切割到足夠短苦囱，這樣每個(gè)時(shí)間段只有事件發(fā)生/未發(fā)生，而且每個(gè)時(shí)間段事件的發(fā)生與否完全獨(dú)立脾猛。換做排隊(duì)問題就是撕彤，把1個(gè)小時(shí)分為60分鐘或者3600秒，每秒有人排隊(duì)的概率是多少猛拴。
• 負(fù)指數(shù)分布（其實(shí)就是指數(shù)分布）：泊松分布是t時(shí)間內(nèi)有多少人來排隊(duì)的概率羹铅，而負(fù)指數(shù)分布式在此基礎(chǔ)上求解的后一個(gè)顧客到來所需的時(shí)間的分布。
• 愛爾朗分布：有串列的k個(gè)服務(wù)臺(tái)愉昆，一個(gè)顧客在接受完k個(gè)服務(wù)臺(tái)的總時(shí)間所服從的分布（其實(shí)就是負(fù)指數(shù)分布的拓展）

十五职员、對(duì)策論方法

二人有限零和對(duì)策的基本模型：

• 確定模型：根據(jù)雙方策略集，確定雙方的贏得值矩陣（雙方互為相反）跛溉，整體模型極為G={S1,S2;A}
• 確定最優(yōu)策略：根據(jù)矩陣可以確定最優(yōu)解焊切，可以看出，這個(gè)解是根據(jù)對(duì)方的選擇芳室，自己再做出最優(yōu)的選擇专肪，所以是先min（對(duì)方會(huì)想方設(shè)法讓自己min），然后自己想方設(shè)法max
• 對(duì)策的鞍點(diǎn)：umm堪侯，好像就是最優(yōu)解啊嚎尤，鞍點(diǎn)就是最平衡的局勢(shì)，是雙方博弈后的最優(yōu)解

二人有限零和對(duì)策的混合策略：
（雙方為了獲取更多的利益伍宦，會(huì)根據(jù)概率來博弈）

• 確定模型：雙方選擇策略是根據(jù)概率選擇的芽死，不同策略對(duì)壘是有一個(gè)贏得值，所以在此基礎(chǔ)上可以構(gòu)建贏得矩陣和函數(shù)
• 最優(yōu)策略：這個(gè)是要優(yōu)化雙方的概率選擇雹拄，從而保證贏得最優(yōu)

二人有限非零和對(duì)策：

• 納什平衡點(diǎn)：是雙方博弈后的一個(gè)平衡點(diǎn)
• 在此基礎(chǔ)上有不同的解的定義：
  （1）嚴(yán)格意義下的解：首先是有一個(gè)帕累托最優(yōu)策略對(duì)的集合收奔，然后如果里面存在納什平衡點(diǎn)掌呜，那肯定這個(gè)解就是最優(yōu)解（因?yàn)椴┺暮筮€會(huì)達(dá)到共同最優(yōu)滓玖，那肯定大家都會(huì)選這個(gè)點(diǎn)），但顯然囚犯問題的解不是嚴(yán)格意義下的解
  （2）完全弱意義下的解：似乎就是納什平衡點(diǎn)里面的一個(gè)最優(yōu)解质蕉，但并不是全局的最優(yōu)解
• 進(jìn)一步如果考慮雙方存在合作關(guān)系：那就有一個(gè)概率違約的問題势篡，最終其實(shí)也只是根據(jù)概率求期望再確定最優(yōu)策略翩肌。
  （總的來說，對(duì)策論要么就是求一個(gè)最優(yōu)的贏得值禁悠，要么就是求一個(gè)概率保證能夠有更大的贏得值）

十六念祭、隨機(jī)性決策分析方法

基礎(chǔ)理論

• 主觀概率：通常不能利用大量重復(fù)試驗(yàn)來確定其概率分布，因此只能由決策人主觀地做出估計(jì)碍侦。
• 效用函數(shù)：就是做出不同決策所對(duì)應(yīng)的帶來的效用粱坤。
• 效用和風(fēng)險(xiǎn)理論：厭惡型、喜好型瓷产、中立型站玄，因?yàn)樾в煤瘮?shù)其實(shí)對(duì)應(yīng)一個(gè)概率問題，所以就對(duì)應(yīng)一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)濒旦，然后又設(shè)計(jì)決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好問題株旷；效用可以單獨(dú)計(jì)算，也可以把風(fēng)險(xiǎn)偏好考慮進(jìn)去再進(jìn)行綜合折算尔邓，不過整體也是要進(jìn)行折算的晾剖。不過有一種S型效用函數(shù)曲線很通用，反映的是財(cái)產(chǎn)一旦增加梯嗽，則越發(fā)的追求高風(fēng)險(xiǎn)高收益齿尽。
• 損失函數(shù)：就是效用函數(shù)的負(fù)值，表示采用決策會(huì)收到多少損失灯节，不過一般需要確定一個(gè)基準(zhǔn)雕什，讓損失函數(shù)一定為負(fù)。

十七显晶、第十七章多目標(biāo)決策分析方法

在帕累托最優(yōu)解中贷岸，再找最優(yōu)解

十八、圖論方法

圖：

• 有向圖/無向圖
• 簡單圖：任兩個(gè)頂點(diǎn)最多只有一條邊磷雇，而且每條邊端點(diǎn)不重合（不會(huì)像花瓣一樣繞回自己）偿警，簡單圖就是比較常見的圖啦。唯笙。螟蒸。
• 完全圖：任兩個(gè)定點(diǎn)都有至少一條邊，即都相鄰崩掘。我們說的一般是簡單完全圖七嫌。
• 二分圖：https://blog.csdn.net/li13168690086/article/details/81506044
  
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  二分圖就是可以將所有頂點(diǎn)分為兩個(gè)集合，集合里面的點(diǎn)互不相連苞慢，所有頂點(diǎn)的邊只會(huì)連接另一個(gè)集合的點(diǎn)诵原。二分圖有比較多的理論，包括如何判定什么的。绍赛。蔓纠。
• 連通圖：任兩個(gè)點(diǎn)都有路徑可以實(shí)現(xiàn)連通，如果是無向圖的話吗蚌，不用考慮路徑問題腿倚，否則必須是雙向都有路徑。連通圖有點(diǎn)完全圖的意思蚯妇，但是一個(gè)是連通圖有更嚴(yán)格的路徑要求敷燎，一個(gè)是只要求兩點(diǎn)有連通的路徑，并不是一定兩點(diǎn)直接相連箩言。
  連通圖用Dijkstra迪克斯特拉算法可以實(shí)現(xiàn)求解懈叹。典型問題是制定城市到另一個(gè)城市去的最短路線

樹：

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• 可以從多個(gè)方法判定是不是樹，一種判定是分扎，無圈的連通圖就是樹澄成。
• 典型問題是修路選線問題，已知一個(gè)大公路網(wǎng)中各個(gè)相鄰城市的造假畏吓，設(shè)計(jì)一條路線使得整個(gè)公路往能夠連通墨状，同時(shí)造價(jià)最低。所以這不是上面那個(gè)求圖中的最短路徑的問題菲饼，而是尋求一個(gè)最小生成樹肾砂，保證涵蓋各個(gè)頂點(diǎn)（城市），而且總造價(jià)最低宏悦。
• 典型方法是Kruskal克魯斯卡爾算法求解镐确。

遍歷

• 歐拉圖：并不是所有連通圖都能實(shí)現(xiàn)遍歷，如果從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)饼煞，每邊恰通過一次能回到出發(fā)點(diǎn)源葫，則成為歐拉圖。
• 曼哈頓圖：從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)砖瞧，每一個(gè)頂點(diǎn)恰通過一次能回到出發(fā)點(diǎn)息堂。（歐拉圖是點(diǎn)可以重復(fù)，邊不能重復(fù)块促，哈密頓如果點(diǎn)不能重復(fù)的話荣堰，顯然邊也不會(huì)重復(fù)，所以哈密頓要求更高）
  遍歷的場景尚不清楚

解法
常采用匈牙利算法竭翠，暫時(shí)不研究振坚。

圖矩陣

• 鄰接矩陣，即兩個(gè)頂點(diǎn)相連則為1斋扰，否則為0（那兩個(gè)頂點(diǎn)多條邊怎么辦渡八？啃洋？？）呀狼；
• 一個(gè)是關(guān)聯(lián)矩陣，是給各個(gè)邊進(jìn)行編號(hào)损离，然后如果頂點(diǎn)和邊相關(guān)則我1（這個(gè)好像沒啥意義哥艇。。）
  一個(gè)典型問題是循環(huán)賽/非循環(huán)賽的實(shí)力問題僻澎，可以把各個(gè)隊(duì)伍當(dāng)做一個(gè)頂點(diǎn)貌踏，然后可以得出鄰接矩陣。（當(dāng)然也可以認(rèn)為是直接的矩陣求解窟勃。祖乳。）

書中還給出了一個(gè)婚配的案例，但是實(shí)際上可以直接線性規(guī)劃求解的秉氧。眷昆。。線性規(guī)劃其實(shí)適合很多問題汁咏，包括上面的決策等等亚斋。。攘滩。

十九帅刊、模糊數(shù)學(xué)方法

基礎(chǔ)理論

• 隸屬函數(shù)

• 隸屬函數(shù)的確定方法：統(tǒng)計(jì)方法（統(tǒng)計(jì)n次中屬于A的頻次）；指派方法（主觀經(jīng)驗(yàn)選取合適的分布函數(shù)）：這里的偏大型就是x越大漂问，隸屬度越高赖瞒；偏小型就是x越小隸屬度越高；客觀方法：比如“設(shè)備完好”就用設(shè)備完好率來作為隸屬度。

  
  
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• 模糊矩陣：論域U里面的子集和論域V里面的子集悯森，兩者的一個(gè)模糊相關(guān)關(guān)系局服。

模糊綜合評(píng)判
總評(píng)分法、加權(quán)評(píng)分法
然后針對(duì)多層次模糊綜合評(píng)判會(huì)涉及到一個(gè)矩陣的綜合加權(quán)

典型場景
問題：中介機(jī)構(gòu)有遵紀(jì)守法情況抡爹、納稅情況、獎(jiǎng)懲情況等等維度的情況芒划，建立綜合評(píng)估問題冬竟。
看計(jì)算過程，理解起來還是比較簡單民逼，最直觀的理解就是泵殴，比如針對(duì)幾個(gè)指標(biāo)，分為差拼苍、中笑诅、好三個(gè)等級(jí)调缨，隸屬度是一個(gè)隸屬度矩陣，然后最終的展示結(jié)果就是經(jīng)過加權(quán)之后的綜合向量吆你，比如是0.3,0.3,0.2弦叶，那就是經(jīng)過模糊綜合評(píng)判，整體屬于差妇多、中伤哺、好的隸屬度分別是多少。
所以模糊綜合評(píng)判方法最后也只是給你一個(gè)隸屬于各個(gè)等級(jí)的隸屬度者祖，但如何確定他是好還是差立莉，還是要再加一個(gè)指標(biāo)判斷，而綜合評(píng)判方法給你提供的便利七问，只是讓多級(jí)指標(biāo)匯總而已蜓耻。。械巡。
模糊綜合評(píng)判和AHP很大程度上都是解決一類型問題刹淌，就看怎么選擇。

二十讥耗、灰色系統(tǒng)分析方法

個(gè)人覺得芦鳍，灰色系統(tǒng)模型的應(yīng)用場景一般都是用來對(duì)時(shí)間做回歸預(yù)測，那還不如直接用回歸呢葛账。所以可能灰色系統(tǒng)模型基本不會(huì)采用柠衅？