注：內(nèi)容非原創(chuàng)构舟，來自對網(wǎng)站http://www.sthda.com/english/articles/31-principal-component-methods-in-r-practical-guide/112-pca-principal-component-analysis-essentials/的翻譯垂券。

1 什么是主成分分析炎辨？

Principal component analysis is used to extract the important information from a multivariate data table and to express this information as a set of few new variables called?principal components.?

主成分分析（Principal component analysis，PCA）屬于多元統(tǒng)計(jì)分析中的一種丝格，適用于將具有一定相關(guān)性的多個(gè)變量化為少數(shù)幾個(gè)相互無關(guān)的綜合指標(biāo)（主成分）撑瞧，以方便可視化。

比如我這里有兩個(gè)地區(qū)采集到的多個(gè)A蟲樣本（individuals）显蝌，測量了31個(gè)形態(tài)指標(biāo)(即變量variables)预伺，我想知道兩個(gè)地區(qū)的A蟲是否存在形態(tài)上的差異，就用我的數(shù)據(jù)做一下主成分分析曼尊。

真正理解主成分分析原理需要線性代數(shù)的知識酬诀，這里只作簡單解釋：

如下圖A，數(shù)據(jù)本來在xy坐標(biāo)系中顯示出來骆撇，通過找到數(shù)據(jù)展現(xiàn)出最大變異的PC1瞒御，再把數(shù)據(jù)投影到PC1上，我們實(shí)現(xiàn)了降維神郊，把在二維坐標(biāo)系中的數(shù)據(jù)降到了一維肴裙。PC2軸是第二重要的方向，它和PC1正交涌乳，也就是說二者之間不相關(guān)蜻懦。

The amount of variance retained by each principal component is measured by the so-called?eigenvalue.

每個(gè)主成分保留的變異又通過特征值來表示。

在數(shù)據(jù)集中的變量彼此高度相關(guān)時(shí)夕晓，主成分分析尤其有用阻肩。變量相關(guān)就說明數(shù)據(jù)存在冗余。

上圖來感受下什么是高度冗余（兩個(gè)變量高度相關(guān)）：

什么是較低的冗余（兩個(gè)變量相關(guān)不明顯）：

2 R中如何實(shí)現(xiàn)主成分分析

我們通過R包"FactoMineR"和"factoextra"來實(shí)現(xiàn)主成分分析和可視化运授。

下面我會通過自己的一個(gè)實(shí)例來展示烤惊。

#安裝和載入所需要的R包

>install.packages(c("FactoMineR","factoextra","ggplot2"))

>library("FactoMineR")

>library("ggplot2")

>library("factoextra")

“FactoMineR”是用來實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)分析的，“factoextra”是用來實(shí)現(xiàn)基于“ggplot2”的可視化的

首先展示一下我的數(shù)據(jù)：

前兩列是樣本編號（樣本吁朦，individuals）和每個(gè)樣本的采樣地點(diǎn)（sites）柒室，不參與數(shù)據(jù)分析。后面31列對應(yīng)的是31個(gè)變量（觀測值或者變量逗宜，variables）

#從剪切板讀取數(shù)據(jù)雄右，前提是在excel里面已經(jīng)復(fù)制數(shù)據(jù)集

>collina=read.table("clipboard",header=TRUE)

#顯示數(shù)據(jù)框的前幾行，確保正確讀取數(shù)據(jù)

>head(collina)

#進(jìn)行主成成分分析纺讲，第1擂仍、2列不參與數(shù)據(jù)分析（第一列是巢編號，第二列是采樣地點(diǎn)）

>collina.pca <- PCA(collina[,-c(1,2)],graph = FALSE)

一般在數(shù)據(jù)分析之前要進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理（standardization）熬甚，尤其是當(dāng)變量的測量單位不同的時(shí)候（如千米逢渔，厘米等）。標(biāo)準(zhǔn)化的目的是為了讓變量可比乡括，總的來說就是標(biāo)準(zhǔn)差為1肃廓，平均值為0智厌。

進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)，數(shù)據(jù)可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：

用R自帶的scale()可以進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化盲赊，但FactoMineR里的PCA()已經(jīng)包括了標(biāo)準(zhǔn)化的步驟铣鹏，因此不需要額外的標(biāo)準(zhǔn)化處理

3 對主成分分析的解讀和可視化

3.1 主成分的特征值（eigenvalues）和方差（variance）

前面說過，特征值衡量的是主成分保留的變異量哀蘑，第一主成分保留的變異量最大诚卸，依次遞減。第一主成分也與數(shù)據(jù)集方差最大的方向相同绘迁。通過特征值惨险，我們可以決定主成分的個(gè)數(shù)。

#提取主成分（PCs）的特征值和保留方差的百分比（信息）脊髓，輸入：

>eig.val <- get_eigenvalue(collina.pca)

>eig.val

出來的結(jié)果如下圖：

第一列是每個(gè)主成分的特征值。

第二列是每個(gè)特征值解釋的變異的百分比栅受，計(jì)算方法是某主成分特征值/特征值的加和将硝。

第三列是累計(jì)的變異的百分比

在本例中，第一屏镊、二主成分能解釋48.9%的變異依疼。

我們在前面說過特征值可以用來決定保留的主成分的個(gè)數(shù)，那么怎么來確定呢而芥？

方法1 選擇特征值大于1 的主成分保留

在數(shù)據(jù)已經(jīng)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理的前提下律罢，主成分特征值大于1，意味著主成分比標(biāo)準(zhǔn)化后的原始數(shù)據(jù)集的任一變量解釋的方差要多棍丐。根據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)误辑，本例中可以保留前7個(gè)主成分。

方法二 根據(jù)累計(jì)方差百分比

一般認(rèn)為主成分的累計(jì)方差百分比達(dá)到80%以上歌逢，就可以了巾钉。根據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，本例中可以保留前7個(gè)主成分秘案。

當(dāng)然80%這個(gè)值是可變的砰苍，如果你認(rèn)為70%就夠了也是可以的。

方法3 做陡坡圖來確定

陡坡圖就是將主成分按照第二列其阱高，特征值解釋的變異的百分比的大小順序來排列的柱狀圖赚导。當(dāng)趨勢降低到已經(jīng)變得差不多小，沒有太大減小的趨勢時(shí)赤惊，認(rèn)為前面的主成分就是可以保留的吼旧。

#做陡坡圖，確定主成分的個(gè)數(shù)

>fviz_eig(collina.pca, addlabels = TRUE,ylim = c(0, 32))

結(jié)果如下圖：

根據(jù)陡坡圖未舟，本例中黍少，可以保留前4個(gè)主成分寡夹。

3.2獲得和可視化變量結(jié)果

3.2.1 獲得主成分分析中變量的結(jié)果

#獲得主成分分析中變量的結(jié)果

>var <- get_pca_var(collina.pca)

>var

這個(gè)命令可以幫助我們得到關(guān)于變量的主成分分析的結(jié)果，幫助我們進(jìn)行變量的作圖厂置，具體幫助如下：

?var$coord:coordinates of variables to create a scatter plot

var$coord提供用變量做散點(diǎn)圖的坐標(biāo)

var$cos2: represents the quality ofrepresentation for variables on the factor map. It’s calculated as the squaredcoordinates: var.cos2 = var.coord * var.coord.

var$cos2代表的是變量在因子圖中代表的變異的質(zhì)量

var$contrib: contains the contributions(in percentage) of the variables to the principal components. The contributionof a variable (var) to a given principal component is (in percentage) :(var.cos2 * 100) / (total cos2 of the component).

var$contrib代表的是變量對于主成分的貢獻(xiàn)（百分比表示）菩掏。

#查看前4個(gè)變量對主成分的貢獻(xiàn)

>head(var$contrib, 4)

# 變量對主成分1（PC1）的貢獻(xiàn)作圖，顯示貢獻(xiàn)前20的變量

fviz_contrib(collina.pca, choice ="var", axes = 1, top = 20)

# 變量對主成分1（PC1）的貢獻(xiàn)作圖昵济，顯示貢獻(xiàn)前20的變量

fviz_contrib(collina.pca, choice ="var", axes = 2, top = 20)

# 變量對主成分1智绸、2（PC1和PC2）的貢獻(xiàn)作圖，顯示貢獻(xiàn)前26的變量

fviz_contrib(res.pca, choice ="var", axes = 1:2, top = 26)

其中紅色的虛線代表的是期望的平均貢獻(xiàn)访忿，如果變量的超過了這條線瞧栗，認(rèn)為是對主成分有重要貢獻(xiàn)的。

3.2.2 獲得主成分分析中樣本（individuals）的結(jié)果

>ind <- get_pca_ind(res.pca)

>ind

具體含義和變量的結(jié)果類似海铆。

要查看各項(xiàng)結(jié)果輸入：

# Coordinates of individuals

head(ind$coord)

# Quality of individuals

head(ind$cos2)

# Contributions of individuals

head(ind$contrib)

3.2.3 biplot作圖

The representation of variables differs from the plot of the observations: The observations are represented by their projections, but the variables are represented by their correlations.

主成分分析的結(jié)果主要通過biplot圖來呈現(xiàn)迹恐，橫坐標(biāo)是主成分1，縱坐標(biāo)是主成分2卧斟，變量通過與主成分的相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)在圖中殴边，樣本點(diǎn)通過該樣本多個(gè)變量的觀測值在主成分上的投影表現(xiàn)在圖中。輸入：

>fviz_pca_biplot(collina.pca,

? ? ? ? ? ? ? ? #individuals

? ? ? ? ? ? ? ? geom.ind = "point",#只顯示樣本點(diǎn)珍语，不包括文本信息锤岸，即樣本編號

? ? ? ? ? ? ? ? fill.ind = collina$sites,#按sites進(jìn)行分組

? ? ? ? ? ? ? ? pointshape = 21, pointsize = "contrib",#點(diǎn)的尺寸大小表示樣本的貢獻(xiàn)

? ? ? ? ? ? ? ? palette = "jco",#配色選擇“jco”雜志的調(diào)色板

? ? ? ? ? ? ? ? addEllipses = TRUE,#在相同組的樣本點(diǎn)為畫出密度橢圓

? ? ? ? ? ? ? ? #variables

? ? ? ? ? ? ? ? col.var = "cos2",#變量的顏色表示其在因子圖中代表的變異的質(zhì)量，即cos2

? ? ? ? ? ? ? ? gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"),repel=TRUE,

? ? ? ? ? ? ? ? legend.title = list(fill = "sites"))

出來的PCA分析的biplot圖如下：

我們可以看出來板乙，變量的cos2值的大小通過不同的顏色梯度表示出來是偷，每個(gè)樣本點(diǎn)對主成分的貢獻(xiàn)通過點(diǎn)的大小表現(xiàn)出來。兩個(gè)采樣地的樣本點(diǎn)也進(jìn)行了分組募逞。

但是蛋铆，由于我自身數(shù)據(jù)的原因，兩個(gè)采樣點(diǎn)的樣本分不太開放接。