姓名：蘇彥愷
學(xué)號：14020150008
【嵌牛導(dǎo)讀】：傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定律隨著數(shù)字信號處理技術(shù)的發(fā)展沃粗，其缺陷以及應(yīng)用上的不便日漸凸顯拣度，壓縮感知技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生。本文依據(jù)《數(shù)字信號處理》課程所學(xué)鸦难，對奈奎斯特采樣定理進(jìn)行了原理以及上的概述捂蕴，同時在本文的后半部分，對壓縮感知這一新式的信號處理技術(shù)進(jìn)行了簡單介紹茁计。在本文的末尾料皇，依據(jù)奈奎斯特采樣定理與壓縮感知原理上的異同進(jìn)行了優(yōu)缺點的分析，同時對壓縮感知的發(fā)展進(jìn)行了展望星压。
【嵌牛鼻子】：數(shù)字信號處理践剂；奈奎斯特采樣定理；壓縮感知租幕；稀疏矩陣
【嵌牛提問】：什么是壓縮感知舷手？與傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理相比，壓縮感知有什么樣的特點和優(yōu)勢劲绪？
【嵌牛正文】：
奈奎斯特采樣定理部分
一男窟、概述
在數(shù)字信號處理領(lǐng)域中，采樣定理是連續(xù)時間信號（通常稱為“模擬信號”）和離散時間信號（通常稱為“數(shù)字信號”）之間的基本橋梁贾富。該定理說明采樣頻率與信號頻譜之間的關(guān)系歉眷，是連續(xù)信號離散化的基本依據(jù)。 它為采樣率建立了一個足夠的條件颤枪，該采樣率允許離散采樣序列從有限帶寬的連續(xù)時間信號中捕獲所有信息
二汗捡、基本原理:
在進(jìn)行模擬/數(shù)字信號的轉(zhuǎn)換過程中，當(dāng)采樣頻率fs.max大于信號中最高頻率fmax的2倍時(fs.max>=2fmax)畏纲，采樣之后的數(shù)字信號完整地保留了原始信號中的信息扇住，一般實際應(yīng)用中保證采樣頻率為信號最高頻率的5～10倍；采樣定理又稱奈奎斯特定理盗胀。
要使實信號采樣后能夠不失真還原艘蹋，采樣頻率必須大于信號最高頻率的兩倍。
當(dāng)用采樣頻率F對一個信號進(jìn)行采樣時,信號中F/2以上的頻率不是消失了,而是對稱的映象到了F/2以下的頻帶中,并且和F/2以下的原有頻率成分疊加起來,這個現(xiàn)象叫做“混疊”(aliasing).
消除混疊的方法有兩種:
1.提高采樣頻率F,即縮小采樣時間間隔.然而實際的信號處理系統(tǒng)不可能達(dá)到很大的采樣頻率,處理不了很多的數(shù)據(jù).另外,許多信號本身可能含有全頻帶的頻率成分,不可能將采樣頻率提高到無窮大.所以,通過采樣頻率避免混疊是有限制的.
2.采用抗混疊濾波器.在采用頻率F一定的前提下,通過低通濾波器濾掉高于F/2的頻率成分,通過低通濾波器的信號則可避免出現(xiàn)頻率混疊.
公式：C = B * log2 N ( bps )
三票灰、應(yīng)用
采樣定理通常針對單個變量的函數(shù)進(jìn)行公式化女阀。因此，定理可直接適用于時間相關(guān)的信號屑迂，并且通常在該上下文中公式化浸策。然而，采樣定理可以以直接的方式擴(kuò)展到任意多個變量的函數(shù)惹盼。
灰度圖像通常表示為代表位于行和列采樣位置的交叉處的像素（圖像元素）的相對強(qiáng)度的實數(shù)的二維陣列（或矩陣）庸汗。因此，圖像需要兩個獨立變量或索引手报，以指定每個像素唯一一個用于行夫晌，一個用于列雕薪。
彩色圖像通常由三個單獨的灰度圖像的組合構(gòu)成昧诱，一個代表三原色（紅色晓淀，綠色和藍(lán)色）或簡稱RGB中的每一個。對于顏色使用3向量的其他顏色空間包括HSV盏档，CIELAB凶掰，XYZ等。諸如青色蜈亩，品紅色懦窘，黃色和黑色（CMYK）的一些顏色空間可以通過四維表示顏色。所有這些都被處理為二維采樣域上的向量值函數(shù)稚配。
類似于一維離散時間信號畅涂，如果采樣分辨率或像素密度不足，圖像也可能遭受混疊道川。例如午衰，具有高頻率（換句話說，條紋之間的距離忻疤选）的條紋襯衫的數(shù)碼照片可以在襯衫被照相機(jī)的圖像傳感器采樣時導(dǎo)致襯衫的混淆臊岸。對于這種情況，在空間域中采樣的“解決方案”將是更靠近襯衫尊流，使用更高分辨率的傳感器帅戒，或者在用傳感器采集圖像之前對圖像進(jìn)行光學(xué)處理
壓縮感知部分
一、概述
壓縮感知（Compressed sensing）崖技，也被稱為壓縮采樣（Compressivesampling）或稀疏采樣（Sparse sampling）逻住，是一種尋找欠定線性系統(tǒng)的稀疏解的技術(shù)。壓縮感知被應(yīng)用于電子工程尤其是信號處理中迎献，用于獲取和重構(gòu)稀疏或可壓縮的信號瞎访。這個方法利用訊號稀疏的特性，相較于奈奎斯特理論忿晕，得以從較少的測量值還原出原來整個欲得知的訊號装诡。MRI就是一個可能使用此方法的應(yīng)用。這一方法至少已經(jīng)存在了四十年践盼，由于David Donoho鸦采、Emmanuel Candès和陶哲軒的工作，最近這個領(lǐng)域有了長足的發(fā)展咕幻。近幾年渔伯，為了因應(yīng)即將來臨的第五代移動通信系統(tǒng)，壓縮感知技術(shù)也被大量應(yīng)用在無線通訊系統(tǒng)之中肄程，獲得了大量的關(guān)注以及研究锣吼。
二选浑、基本原理
為了更好的說明壓縮感知的基本原理，在這里引入奈奎斯特采樣進(jìn)行比較說明玄叠。
如圖2.1所示古徒， 圖b、d為三個余弦函數(shù)信號疊加構(gòu)成的信號读恃，在頻譜圖（圖a）中只有個峰值隧膘。 如果對其進(jìn)行8倍于全采樣的等間距亞采樣（圖b下方的紅點），則頻域信號周期延拓后寺惫，就會發(fā)生混疊（圖c）疹吃，無法從結(jié)果中復(fù)原出原信號。
而如果采用隨機(jī)亞采樣（圖2.2b上方的紅點）西雀，那么這時候頻域就不再是以固定周期進(jìn)行延拓了萨驶，而是會產(chǎn)生大量不相關(guān)的干擾值。如圖2.2c艇肴，最大的幾個峰值還依稀可見腔呜，只是一定程度上被干擾值覆蓋。這些干擾值看上去非常像隨機(jī)噪聲豆挽，但實際上是由于三個原始信號的非零值發(fā)生能量泄露導(dǎo)致的（不同顏色的干擾值表示它們分別是由于對應(yīng)顏色的原始信號的非零值泄露導(dǎo)致的）育谬。得到如圖2.2d的頻譜圖后，再采用匹配追蹤的算法帮哈，就可以對信號進(jìn)行恢復(fù)膛檀。以上就是壓縮感知理論的核心思想——以比奈奎斯特采樣頻率要求的采樣密度更稀疏的密度對信號進(jìn)行隨機(jī)亞采樣，由于頻譜是均勻泄露的娘侍，而不是整體延拓的咖刃，因此可以通過特別的追蹤方法將原信號恢復(fù)。
三憾筏、應(yīng)用
1嚎杨、全息成像
全息成像是一種記錄被攝物體反射（或透射）光波中全部信息（振幅、相位）的照相技術(shù)氧腰，而物體反射或者投射的光線可以通過記錄膠片完全重建枫浙，通過不同方位和角度觀察照片，可以看到被拍攝的物體的不同的角度古拴，因此記錄得到的想可以使人產(chǎn)生立體視覺箩帚。然而全息圖記錄的立體信息非常龐大，在滿足傳統(tǒng)的香農(nóng)采樣定理進(jìn)行采樣時很難達(dá)到的帶寬及存儲和傳輸這些信息成為限制全息術(shù)發(fā)展的難題黄痪。
壓縮感知技術(shù)為傳統(tǒng)的信息采樣傳輸帶來了革命性的突破紧帕，為信號的計算和傳輸節(jié)省了很大資源。利用壓縮感知可以去掉大量沒有實際意義的信息采樣桅打，通過遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)采樣樣本點就可以重構(gòu)出原始信號是嗜，解決了全息術(shù)在數(shù)據(jù)存儲和傳輸方面的限制愈案。
2、核磁共振成像
核磁共振成像作為一種極其重要的醫(yī)學(xué)成像技術(shù)鹅搪，具有對病灶診斷精確站绪、對人體安全性高等優(yōu)點，但是較長的數(shù)據(jù)采集時間成為其廣泛應(yīng)用的瓶頸涩嚣。因此崇众，在保證成像質(zhì)量的前提下，探索一種新的快速成像方法迫在眉睫航厚。壓縮感知作為一種全新的信號采樣理論，針對稀疏信號或可壓縮信號锰蓬，可以在采樣數(shù)量遠(yuǎn)少于傳統(tǒng)采樣方式的情況下精確地恢復(fù)出原始信號幔睬，這就為核磁共振圖像的快速獲取提供了一種新的思路。
四芹扭、奈奎斯特和壓縮感知的對比
從采樣的角度來看麻顶，壓縮感知和基于奈奎斯特采樣定理的傳統(tǒng)信號采集是兩種不同形式的信號采集方式。（壓縮感知打破了傳統(tǒng)信號處理中對于奈奎斯特采樣要求的限制）
1.采樣率：在壓縮感知理論下舱卡，信號的采樣率不再取決于信號的帶寬辅肾，而是取決于信息在信號中的結(jié)構(gòu)與內(nèi)容（稀疏性）。關(guān)于采樣率的計算方式轮锥，壓縮感知是從少量離散測量數(shù)據(jù)恢復(fù)離散數(shù)字信號矫钓，其計算方式為采樣率=測量值的大小/恢復(fù)信號的大小舍杜；而傳統(tǒng)信號采集是從離散采樣數(shù)據(jù)中恢復(fù)模擬信號新娜。
2.信號采集方式：傳統(tǒng)采樣理論是通過均勻采樣獲取數(shù)據(jù)；壓縮感知則通過計算信號與一個觀測函數(shù)之間的內(nèi)積來獲得觀測數(shù)據(jù)既绩。
3.恢復(fù)信號形式：傳統(tǒng)采樣定理關(guān)注的對象是無限長的連續(xù)信號概龄；壓縮感知是有限維觀測向量空間的向量即離散信號。
4.恢復(fù)信號方式：傳統(tǒng)采樣恢復(fù)是在奈奎斯特采樣定理的基礎(chǔ)上饲握，通過采樣數(shù)據(jù)的sinc函數(shù)線性內(nèi)插獲得私杜，而壓縮感知采用的是利用信號的稀疏性，從線性觀測數(shù)據(jù)中通過求解一個非線性的優(yōu)化問題來恢復(fù)信號的方法救欧。
5.壓縮感知的核心思想：壓縮和采樣合并進(jìn)行衰粹，并且測量值遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)采樣方法的數(shù)據(jù)量，突破香農(nóng)采樣定理的瓶頸颜矿，使高分辨率的信號采集成為可能寄猩。
總結(jié)
奈奎斯特采樣定理一直是信號處理領(lǐng)域的金科玉律，但其性能仍沒法滿足諸如全息成像骑疆、核磁共振等產(chǎn)生龐大數(shù)據(jù)的技術(shù)的信息恢復(fù)田篇。然而在數(shù)字信號處理領(lǐng)域進(jìn)入二十一世紀(jì)以后替废，壓縮感知技術(shù)帶來了顛覆性的改變，以比奈奎斯特采樣頻率要求的采樣密度更稀疏的密度對信號進(jìn)行隨機(jī)亞采樣泊柬，通過特別的追蹤方法將原信號恢復(fù)椎镣，使得用于恢復(fù)信號的數(shù)據(jù)量遠(yuǎn)少于傳統(tǒng)采樣所需要的數(shù)據(jù)量。壓縮感知理論的誕生已經(jīng)對計算科學(xué)兽赁、信號處理状答、電子信息等領(lǐng)域產(chǎn)生重大的影響，其理論具有廣闊的應(yīng)用前景刀崖，但仍然不夠完善惊科，希望在今后的研究中能彌補(bǔ)壓縮感知現(xiàn)有的不足，展現(xiàn)其強(qiáng)大的生命力亮钦，為更多難題提供新的解決方法馆截。
