知乎上有一個問題，是這么問的：

這個問題乍一看上去拳魁，會有點不知所云的感覺。題主問道撮弧，答案是一個無限小的數(shù)潘懊，還是直接等于。后面又說贿衍，假設答案是授舟，那么定義一個數(shù)，豈不是有贸辈，同乘就是了释树？

還有另一個經(jīng)久不衰的問題，或者說命題擎淤，是這個樣子的：

很多人依然覺得“差了這一點奢啥，為什么會相等”，對此無法理解揉燃。當然扫尺，也有不少看上去非常有道理的證明筋栋，比如炊汤。

以上問題，關鍵都在于如何理解“無限”弊攘。

初學微積分的時候抢腐，應該不少人都會被所謂的“語言”弄得一頭霧水，也不知道為什么要用這么多的條件襟交。比如定義數(shù)列極限迈倍，連續(xù)著有這么多個說法：

——存在……

——對于任意的……

——存在……

——使得當時……

——恒有……

——則稱數(shù)列的極限為.

除了結果，條件攏共五句話捣域，而且缺一不可啼染，就算是硬背下來都要花不少時間。

在這個定義之后還有一個記法焕梅，是這么寫的：

這里就是初學者遇到的第一個陷阱：至少咱學的書迹鹅，在表述這個記法之前，還沒有解釋這里的無窮符號贞言。在初等數(shù)學的思想下斜棚，初學者很可能就將無窮理解為“一個很大的數(shù)”了：就和本文開始時的那個問題描述一樣。

然而，當學習到不定式的時候弟蚀，這種理解就會出現(xiàn)問題了：如果是一個很大的數(shù)蚤霞，那么這樣的式子，為什么不直接等于1义钉，而是由具體的式子決定呢昧绣？

從直覺上說，不管無窮是什么樣的東西捶闸，它至少應該有這么一個性質：不管列出什么數(shù)滞乙，無窮都應該比這個數(shù)大。就算說1000...000鉴嗤，一共有10000個0斩启，這么大的一個數(shù)，都比無窮要小醉锅。

這樣的說法固然有些籠統(tǒng)兔簇。考慮到這個性質在于比較硬耍，我們不妨拿函數(shù)來構思一下無窮的具體定義垄琐。

大家都知道，的結果無定義经柴。但是狸窘，我們可以看到，在接近這個值的時候坯认，函數(shù)的值是不斷上升的翻擒，而且往著幾乎無窮大的地方前進。既然如此牛哺，如果說陋气，有一個值，使得引润，那么巩趁，理當有，無論給定什么數(shù)淳附，例如10000000议慰，我們都能說，比這個數(shù)都更接近奴曙，也就是說别凹，。

從初等數(shù)學到高等數(shù)學的飛躍就在這里：既然你都能給定一個缆毁，而且又不等于了番川，顯然！那么，只要我令颁督，不就有了嗎践啄？最開始定義的顯然就名不副實了。

為什么說微積分將運動帶進了數(shù)學里面沉御？這就是因為屿讽，在你拿出一個可以比較的值之前，不會有一個確值吠裆！它就像一個會走的變量一樣伐谈，無論你拿出什么樣的大數(shù)，當你試圖把它拿來與比較的時候试疙，都會比這個數(shù)大那么一些诵棵。

所以，所謂的祝旷，不是說的值達到了一個非常大的狀態(tài)酝碳，而是說處在了這種動態(tài)的趨近狀態(tài)椅贱，而且是趨向于無窮大战虏。

回頭看看語言的內容相叁，實際上，它就是在用嚴謹?shù)男g語表述類似的事情：

——在給出一個確定正值之前吻谋，都不會有一個確定的忠蝗，讓你定義去和計算差值。

——一旦你給出了（）漓拾，那么才可以確定（）阁最。

——而以此確定的，與計算差值晦攒，就是滿足小于的（）闽撤。

一些具體的例子可能會更方便理解得哆。有人說脯颜，不為的數(shù)相乘不會等于。在有限個數(shù)相乘的情況下贩据，確是如此栋操，所以乍一看，好像這個命題沒錯饱亮。

但是我們可以這么構造數(shù)列矾芙。自然，是多少近上，就代表著有多少個相乘剔宪。顯然，無論多大，我們都能算出的確定數(shù)值葱绒。而當感帅，也就是無限個相乘的時候，就意味著地淀，不管給出一個多大的確值失球，都有。顯然帮毁，若我們想知道是多少实苞，就沒法用相乘的形式獲得答案。

不過烈疚，在語言的語境下黔牵，只要看看什么樣的數(shù)滿足，就能知道無限個相乘的結果了爷肝。答案當然就是荧止。也就是說，在無限個數(shù)相乘的情況下阶剑，不為的數(shù)也能相乘得到這個結果跃巡。

這同時也解答了開頭的第一個問題：答案當然就是牧愁。知乎上素邪，有一個回答短平快地指出了題主接下來的錯誤所在：定義？不猪半，你不能兔朦。這是因為，答主就犯了一個錯誤：將無限的數(shù)相乘看作確值磨确。無限的東西總是處在動態(tài)的沽甥，此定義下的代表不是一個確值，而是趨近無窮的過程——所以也就不可能存在“同乘一個抵消分母”的操作了乏奥。

再看看后面：為什么摆舟？既然有無限的概念，我們再用初等數(shù)學的想法去思考這個題目就不太合適了邓了。和剛才一樣恨诱，我們可以構造。對于一個確定的骗炉，我們當然知道它和是存在差距的：照宝，就差一點點。

但是句葵，考慮的時候厕鹃，就算我們詰問：“或許和差了一點點兢仰！”，并且拿出這個“一點點”剂碴，都會抱歉地說：對不起旨别，我和的差距比你的“一點點”還要少！那么汗茄，不管我們怎么不愿相信秸弛，在語言下，就是等于洪碳。

本文只是淺顯地討論了一下递览，限于筆者的知識水平，可能存在錯漏之處瞳腌，還請各位讀者斧正绞铃！