貝葉斯條件概率的推導

1. 條件概率

事物A獨立發(fā)生的概率為P(A)，事物B獨立發(fā)生的概率為P(B)窥浪，那么有：

$P (A|B)$

表示事物B發(fā)生之后事物A發(fā)生的概率物臂；

$P (B|A)$

表示事物A發(fā)生之后事物B發(fā)生的概率；

2. 全概率

2.1 定義

我們可以將公式寫成全量的形式：

$B_k (k=1,2,3...n)$

表示全量相互排斥且性質關聯的事物嫉鲸，即：

$B_i\bigcap B_j = \emptyset$

$B_1 \bigcup B_2 \bigcup B_3 ... \bigcup B_n = \Omega$

那么可以得到全概率公式

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i)P(A | B_i)$

全概率公式的意義在于：無法知道一個事物獨立發(fā)生的概率撑蒜，但是我們可以將其在各種條件下發(fā)生的概率進行累加獲得。

2.2 例子

已知某種疾病的發(fā)病率是0.001玄渗，即1000人中會有1個人得病〖踅現有一種試劑可以檢驗患者是否得病，它的準確率是0.99捻爷，即在患者確實得病的情況下辈灼，它有99%的可能呈現陽性。它的誤報率是5%也榄，即在患者沒有得病的情況下巡莹，它有5%的可能呈現陽性司志。一個人檢測為陽性的概率是多少。
設

$P(A) = 0.001$

表示發(fā)病率

$P(\overline{A})=0.999$

表示不發(fā)病率,P(B)表示檢查為陽性的概率.
則一個人檢測為陽性的概率是為

$P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A}) P(B| \overline{A})$

在病人已患病的條件下降宅，被檢查為陽性的概率為

$P(B|A) = 0.99$

在病人未患病的條件下骂远，被誤診為陽性的概率為

$P(B| \overline{A}) = 0.05$

因此一個病人被檢查為陽性的概率為

$P(B) = 0.001 \times 0.99 + 0.999 \times 0.05 = 0.05094$

3. 貝葉斯

3.1 定義

$P(A|B) = P(A) \times \frac{P(B|A)}{P(B)}$

可以理解他是全概率公式的反向應用，他是求某個條件出現時某個事件發(fā)生的概率腰根。定義如下：
P(A) 為前置概率激才，表示B未發(fā)生時A發(fā)生的概率.
P(A|B) 為后置概率, 表示B發(fā)生時A發(fā)生的概率
貝葉斯公式可以看作是事件B發(fā)生后對前置概率的修正,而

$\frac{P(B|A)}{P(B)}$
是修正因子。

3.2 證明

我們可以從條件概率的定義推導出貝葉斯定理额嘿。
根據條件概率的定義瘸恼，在事件 B 發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的概率為：
$P(A|B) = \frac{P(A \bigcap B )}{P(B)}$

同樣地，在事件 A 發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的概率為：

$P(B|A) = \frac{P(B \bigcap A )}{P(A)}$

而

$P(A \bigcap B ) = P(B \bigcap A )$

結合這兩個方程式册养，我們可以得到：

$P(A|B)P(B) = P(A \bigcap B ) = P(B \bigcap A ) = P(B|A)P(A)$

因此證得

$P(A|B) = P(A) \times \frac{P(B|A)}{P(B)}$

通常东帅，事件 A 在事件 B 發(fā)生的條件下的概率，與事件 B 在事件 A 發(fā)生的條件下的概率是不一樣的球拦；然而靠闭，這兩者是有確定關系的，貝葉斯定理就是這種關系的陳述坎炼。

貝葉斯公式的用途在于通過己知三個概率來推測第四個概率愧膀。它的內容是：在 B 出現的前提下，A 出現的概率等于 A 出現的前提下 B 出現的概率乘以 A 出現的概率再除以 B 出現的概率谣光。通過聯系 A 與 B檩淋，計算從一個事件發(fā)生的情況下另一事件發(fā)生的概率，即從結果上溯到源頭（也即逆向概率）抢肛。

通俗地講就是當你不能確定某一個事件發(fā)生的概率時，你可以依靠與該事件本質屬性相關的事件發(fā)生的概率去推測該事件發(fā)生的概率碳柱。用數學語言表達就是：支持某項屬性的事件發(fā)生得愈多捡絮，則該事件發(fā)生的的可能性就愈大。這個推理過程有時候也叫貝葉斯推理莲镣。

最后編輯于：2018.11.20 21:46:39

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