1唬血，什么是傅里葉級數(shù)

什么是級數(shù)？

????級數(shù)是指將數(shù)列的項依次用加號連接起來的函數(shù)趣倾。舉例就是:
$\sum_{n=1}^\infty 1/n^2=1/1^2+1/2^2+1/3^2+......+1/n^2$
????這種由很多項相加的形式就是級數(shù)阁猜。

????對于函數(shù)就是如下這個形式：
$f(x)=u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)$

如何用級數(shù)表達一個周期函數(shù)

????在工程中丸逸，我們經(jīng)常會遇到各種各樣的周期性的波形。這些波形很難找到一個函數(shù)去表達他剃袍，或者原函數(shù)無法很好的去分析波的特征黄刚。

image.png

????所以我們需要找到一個函數(shù) $g(x)$ 去近似原函數(shù) $f(x)$ ，而且這個 $g(x)$ 有很好的特性民效，方便去做分析憔维。

????法國數(shù)學家傅里葉就發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級數(shù)來表示研铆。
????看一個動圖來理解下這句話埋同。

Fourier_series_square_wave_circles_animation

????右邊的波形就是由左邊幾個基礎波形(三角函數(shù))合成的。

????下面給出傅里葉級數(shù)的數(shù)學公式棵红。
$f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$

原函數(shù) $f(x)$ 就由無數(shù)個 $\sin,\cos$ 組成的凶赁。這個公式理解起來也很簡單， $\frac{a_0}{2}$ 是個常數(shù)項逆甜，因為正弦和余弦函數(shù)都是在0點位置上下波動虱肄，想要讓其脫離0點，就必須加入 $\frac{a_0}{2}$ 這個偏移項交煞，當然你也可以理解為 $\frac{a_0}{2}\cos(0x)$ 咏窿。
$\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$ 便是無數(shù)個sin和cos的組合，其中 $a_n,b_n$ 就相當于上面動圖中的 $\frac{4}{\pi },\frac{4}{3\pi },\frac{4}{5\pi },\frac{4}{7\pi }$ 代表著振幅素征，也就是圓半徑的大小集嵌。 $\frac{2\pi n}{T}$ 就相當于動圖中的 $\theta$ 前的系數(shù)1，3御毅，5根欧，7代表著頻率，也就是圓轉(zhuǎn)一圈用的速度端蛆。so凤粗，是不是很容易理解。
???? $\frac{2\pi n}{T}$ 代表這頻率今豆，那其中的 $T$ 代表著什么呢嫌拣？ $T$ 就是函數(shù) $f(x)$ 的周期， $\frac{2\pi n}{T}$ 的作用就是構(gòu)建一個周期為 $T$ 的波形呆躲，只是隨著 $n$ 的增大异逐，波的頻率越來越高。例如 $\sin(x),\sin(2x)$ 都是周期 $2\pi$ 的函數(shù)插掂，只是 $\sin(2x)$ 的最小周期不在是 $2\pi$ 应役，所以其頻率就變大了。

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????這里強調(diào)下，傅里葉級數(shù)是針對周期函數(shù)的箩祥，對于非周期的函數(shù)就是傅里葉變換了院崇。

????很多博主在解讀傅里葉級數(shù)的時候，上來就說時域袍祖，頻閾底瓣，復頻域，歐拉公式蕉陋。其實那些都是在不同場景下的不同的表現(xiàn)形式捐凭，本質(zhì)都是一樣的。先理解了上面的公式凳鬓，以此為基礎進行展開茁肠，會更加容易理解。

2缩举，如何求解

????還記得我們的目標嗎垦梆？找出一個函數(shù) $g(x)$ 去近似原函數(shù) $f(x)$ ， $g(x)$ 樣子已經(jīng)有了：
$f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$

????我們只需要求出 $a_0,a_n,b_n$ 就可以得到 $g(x)$ 仅孩。

????所以這里有個前提托猩，我們在看下需要求解的波形：

image.png

????對于原函數(shù) $f(x)$ 是什么樣的我們并不知道，但我們知道 $f(x)$ 在每個x處的取值辽慕，畢竟這個波是我們自己采樣得到的京腥。

$C_1= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$
$C_2= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$
$C_3= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$
$......$
$C_n= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$

????所以求解 $g(x)$ 最簡單得方法就是，構(gòu)建n個 $g(x)=C_n$ 方程等式溅蛉，求解一個n元一次方程公浪，如上面所示。這里 $C$ 是常數(shù)船侧， $n$ 得數(shù)量由自己定義欠气。

????當然上面是小學生的解法，大家不要當真勺爱。
????在給大家介紹傅里葉級數(shù)的解之前，我們先看下周期為 $2\pi$ 的傅里葉級數(shù)讯检，令 $T=2\pi$ 帶入：
$f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(nx) +b_nsin(nx) )$
其對應的解為：
$a_0=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)dx$
$a_n=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)cos(nx)dx$
$b_n=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)fin(nx)dx$

????想要求出這幾個解琐鲁，我們要先了解下三角函數(shù)的正交性，而理解三角函數(shù)的正交最好就是從周期為 $2\pi$ 的函數(shù)開始人灼。

什么是正交围段？在線性代數(shù)中，正交就是兩個向量垂直投放，如下圖(A)奈泪。

正交

$\begin{bmatrix}x_1 \\y_1 \\\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}x_2 \\y_2 \\\end{bmatrix}$ 正交，就表現(xiàn)為 $x_1*x_2+y_1*y_2=0$ ,也就是兩個向量的內(nèi)積等于0

而在函數(shù)上的正交就表現(xiàn)為積分的形式:
$\int_a^b f(x)*g(x)dx=0$
其中 $\int_a^b f(x)*g(x)dx$ 就是 $f(x),g(x)$ 的內(nèi)積，當其為零的時候就說明兩個函數(shù)在 $a,b$ 區(qū)間內(nèi)正交涝桅。

回到傅里葉級數(shù)拜姿，下面就是傅里葉級數(shù)中所有的三角函數(shù)集合。
{ ${0,1,\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x).....\sin(nx),\cos(nx) }$ }

任意兩個三角函數(shù)一定條件下在 $-\pi$ 和 $\pi$ 之間是正交的,詳細如下：
$\int_{-\pi} ^\pi\sin(nx)\cos(mx)dx=0$
$\int_{-\pi} ^\pi\sin(nx)\sin(mx)dx=0 \quad\quad n\neq m$
$\int_{-\pi} ^\pi\cos(nx)\cos(mx)dx=0 \quad\quad n\neq m$
$\int_{-\pi} ^\pi\sin(nx)\sin(mx)dx=\pi \quad\quad n=m$
$\int_{-\pi} ^\pi\cos(nx)\cos(mx)dx=\pi \quad\quad n=m$

關(guān)于其證明網(wǎng)上有很多冯遂，這里就不細說了蕊肥。

下面看如何利用上面的性質(zhì)來接 $a_0,a_n,b_n$

將函數(shù)兩邊同時積分

$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx)dx$

將 $\frac{a_0}{2},a_n,b_n$ 移到前面。
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}dx+a_n\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \cos(nx)dx+b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \sin(nx)dx$
其中 $\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \cos(nx)dx,\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \sin(nx)dx$ 可以看成 $\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty 1*\cos(nx)dx,\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty 1*\sin(nx)dx$ ,根據(jù)前面的正交性蛤肌，得到這兩項都等于0壁却，于是上面的函數(shù)就等于
$\int_{-\pi}^{\pi}dx=\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}dx=\frac{a_0}{2}2\pi$

于是:
$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$

下面求解下 $a_n$

將兩邊乘上 $\cos(mx)$ ，然后兩邊同時積分

$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(mx)dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)\cos(mx)dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx)\cos(mx)dx$

將 $\frac{a_0}{2},a_n,b_n$ 移到前面裸准。
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx=\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)dx+a_n\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \cos(nx)\cos(mx)dx+b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \sin(nx)\cos(mx)dx$

同樣根據(jù)正交性 $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)dx \quad, \quad \int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \sin(nx)\cos(mx)dx$ 等于0. 而 $\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \cos(nx)\cos(mx)dx$ 只有 $n=m$ 的項不為0展东，其他的也會為0，所以：