海森堡（Heisenberg）不確定性原理

在日常生活中功蜓，你能很容易地確定物體的速度和相對位置，比如高速攝像機(jī)能夠確切地確定你超速的位置和速度戴质，并能將罰單準(zhǔn)確地寄到你手里度宦。

但如果你是量子世界中的一個(gè)粒子，交警就不太容易給你寄超速罰單了告匠，因?yàn)樗麄內(nèi)绻氪_定你的速度戈抄，就無法精確地定位你的位置；如果想精確定位你的位置后专，就無法精確確定你的速度划鸽。

這就是量子世界中所謂的海森堡不確定性原理，在量子世界中廣泛成立，是粒子波動(dòng)性的一種本質(zhì)體現(xiàn)裸诽。

比如水中的漣漪嫂用，也即是水波。如果想精確測定水波的波速丈冬，你最好測定讓更多的波峰和波谷通過你的測量點(diǎn)嘱函，通過的波峰和波谷越多，波速測量得就越準(zhǔn)確埂蕊；但是波的位置就越含糊往弓，——通過了那么多的波峰和波谷，到底哪個(gè)位置算是波的位置蓄氧？

相反函似，如果你僅測量某一個(gè)固定的波峰，那么就很容易確定它的位置喉童。但是因?yàn)槿狈ζ渌ǚ寤虿ü鹊男畔⒔闪埽碗y以確定它的確切的速度。

簡而言之：不確定性原理描述了兩個(gè)互補(bǔ)屬性之間的權(quán)衡泄朴，例如速度和位置重抖。

對于兩個(gè)物理量 $A和B$ ，其Hermitian算子分別用 $\hat{A} 和\hat{B}$ 表示祖灰，它們的對易子（commutator）為 $[\hat{A} ,\hat{B} ]=\hat{A} \hat{B}-\hat{B} \hat{A}=i\hat{C}$ 钟沛。比如粒子的位置 $x$ 和動(dòng)量 $p_{x}$ 的算子 $\hat{x} 和\hat{p} _{x}$ , $[\hat{x} ,\hat{p} _{x}]\phi =-xi?\frac{d\phi }{dx}+ i?\frac{d(x\phi )}{dx}=i?\phi$ ，這里算子 $\hat{C} =?$ ,也即是對后面的波函數(shù)簡單乘上系數(shù)?局扶。

根據(jù)量子力學(xué)的公設(shè)恨统，我們可以證明兩個(gè)物理量測量誤差的積（標(biāo)準(zhǔn)偏差）大于或等于 $\frac{1}{2}〈 [\hat{A} ,\hat{B} ]〉$ ，其中 $〈 [\hat{A} ,\hat{B} ]〉$ 為 $[\hat{A} ,\hat{B} ]$ 的平均值三妈。

這就是Heisenberg不確定性原理畜埋。

Heisenberg沒有對上述結(jié)論提供任何證明，只是用電子與電磁波的相互作用的思想實(shí)驗(yàn)來說明了一下畴蒲。這個(gè)思想實(shí)驗(yàn)又稱為Heisenberg顯微鏡悠鞍。

下面我們用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法證明海森堡不確定性原理。

物理量 $A$ 的測量方差 $(\Delta A)^2$ 為其標(biāo)準(zhǔn)偏差的平方模燥，即：

$(\Delta A)^2=〈(\hat{A}-〈\hat{A} 〉)^2〉$ ? ?（1）

其中 $〈X〉$ 表示物理量 $X$ 的測量平均值咖祭，將上述表達(dá)式展開后可得：

$(\Delta A)^2=〈(\hat{A}-〈\hat{A} 〉)^2〉=〈\hat{A}^2〉-2〈\hat{A} 〉〈\hat{A} 〉+〈\hat{A} 〉^2=〈\hat{A}^2 〉-〈\hat{A} 〉^2$

即

$(\Delta A)^2=〈\hat{A}^2 〉-〈\hat{A} 〉^2$ ? ?（2）

算子 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 的標(biāo)準(zhǔn)偏差算子記作 $\hat{??} =\hat{A} -〈\hat{A} 〉$ 和 $\hat{?} =\hat{B} -〈\hat{B} 〉$ ，你可以看出 $[\hat{??} ,\hat{?} ]=[\hat{A} ,\hat{B}]$ 蔫骂。我們知道對于物理量 $u$ 么翰，它的大小可表示為 $u=〈\phi |\hat{u} \phi 〉$ ，所以

$(\Delta A)^2\cdot (\Delta B)^2=〈\Psi |\hat{??} ^2\Psi〉〈\Psi |\hat{?}^2 \Psi 〉=〈\hat{??} \Psi |\hat{??} \Psi〉〈\hat{?} \Psi |\hat{?} \Psi〉$

上面用到了Hermitian算子的性質(zhì)辽旋。根據(jù)Schwarz不等式浩嫌，有

$(\Delta A)^2\cdot (\Delta B)^2=〈\hat{??} \Psi |\hat{??} \Psi〉〈\hat{?} \Psi |\hat{?} \Psi〉\geq |〈\hat{??} \Psi|\hat{?} \Psi〉|^2$

因?yàn)?/p>

$〈\hat{??} \Psi|\hat{?} \Psi〉=〈\Psi|\hat{??} \hat{?} \Psi〉=〈\Psi|([\hat{??}, \hat{?}]+\hat{B} \hat{A} ) \Psi〉=i〈\Psi|\hat{C} \Psi〉+〈\hat{?} \Psi|\hat{??} \Psi〉=i〈\Psi|\hat{C} \Psi〉+〈\hat{??} \Psi|\hat{?} \Psi〉^*$

所以

$i〈\Psi|\hat{C} \Psi〉=2iIm\left\{ 〈\hat{??} \Psi|\hat{?} \Psi〉 \right\}$

這就意味著

$|〈\hat{??} \Psi|\hat{?} \Psi〉|^2\geq \frac{|〈 \Psi|\hat{C} \Psi〉|^2}{4}$

即

$(\Delta A)^2\cdot (\Delta B)^2\geq |〈\hat{??} \Psi|\hat{?} \Psi〉|^2\geq \frac{|〈 \Psi|\hat{C} \Psi〉|^2}{4}$ ? ?（3）

考慮到 $|〈\Psi|\hat{C} \Psi〉|=|〈\Psi|[\hat{A},\hat{B} ] \Psi〉|$ 檐迟，所以有

$\Delta A\cdot \Delta B\geq \frac{1}{2} |〈\Psi|[\hat{A},\hat{B} ] \Psi〉|$ ? ? (4)

這分兩種情況：

（a） $\hat{C} =0$ ，意味著算子 $\hat{A} 码耐，\hat{B}$ 對易追迟，則 $\Delta A\cdot \Delta B\geq0$ ，即兩個(gè)物理量的測量誤差可以任意小伐坏，也即是它們可以同時(shí)被精確地測量出來。

（b）在物理量為位置和動(dòng)量的情況下握联， $\hat{C} =?$ 桦沉，也即是 $\Delta A\cdot \Delta B\geq \frac{?}{2}$ 。

也即是說你不能同時(shí)確切地確定粒子的位置和動(dòng)量兩個(gè)物理量金闽。因?yàn)楫?dāng)你想盡量提高粒子位置測量精度的時(shí)候纯露，粒子的動(dòng)量測量值的測量偏差就會(huì)增大，同樣當(dāng)你想提高動(dòng)量的測量精度時(shí)代芜，位置的測量偏差也會(huì)增大埠褪，如圖1所示。海德堡不確定性原理是粒子波動(dòng)性的一種自然屬性挤庇，當(dāng)首次估算系統(tǒng)大小時(shí)钞速，就能看出它的作用。

圖1 Heisenberg不確定性原理示意圖嫡秕。以單個(gè)粒子在

x

軸的位置為例渴语，粒子位于

x=0

處，

|\Psi (x)|^2

表示測量位置上相應(yīng)的測量概率密度昆咽，如果曲線窄而高驾凶，表明位置的測量精度高，波函數(shù)

\Psi (x)

可以展開成無窮級(jí)數(shù)的形式

\Psi (x)=\sum\nolimits_{p}c_{p}e^{ipx}

掷酗，其中

p

為粒子的動(dòng)量调违，注意表達(dá)式中每一項(xiàng)

e^{ipx}

為動(dòng)量算子的特征函數(shù)，所以如果

\Psi (x)=e^{ipx}

泻轰，相應(yīng)的動(dòng)量就有一個(gè)確定的測量值

p

技肩。但是如果

\Psi (x)=\sum\nolimits_{p}c_{p}e^{ipx}

，那么動(dòng)量測量值為

p

的概率為

\vert c_{p} \vert ^2

浮声。當(dāng)

p

的分布范圍較廣時(shí)亩鬼，相應(yīng)位置分布的曲線就比較窄

\vert \Psi (x) \vert ^2

。反之亦然阿蝶。

案例1：H原子系統(tǒng)的大小的估算

假設(shè)原子核靜止不同雳锋，電子繞核旋轉(zhuǎn)。我們知道電子必須要遵守海森堡不確定性原理的羡洁，也即是 $\Delta x\cdot \Delta p_{x}\geq \frac{?}{2}$ ,在最緊湊的情況下玷过， $\Delta x\cdot \Delta p_{x}= \frac{?}{2}$ 。我們可以將這里的 $\Delta x$ 作為氫原子的半徑 $r$ ，其中 $\Delta p_{x}=\sqrt{〈p_{x}^2〉-〈p_{x}〉^2} =\sqrt{〈p_{x}^2〉-0}=\sqrt{〈p_{x}^2〉}$ 辛蚊，所以 $r\cdot \sqrt{〈p_{x}^2〉} =\frac{?}{2}$ 粤蝎，或者 $\sqrt{〈p_{x}^2〉} =\frac{?}{2r}$ 。假設(shè)粒子的總能量為動(dòng)能和勢能之和： $E=\frac{ 〈p^2〉 }{2m} -\frac{e^2}{r} =\frac{ 〈p_{x}^2+p_{y}^2+p_{z}^2〉 }{2m} -\frac{e^2}{r} =\frac{3?^2}{8mr^3} -\frac{e^2}{r}$ 袋马。能量的最小值通過 $\frac{dE}{dr} =0=-2\frac{3?^2}{8mr^3} +\frac{e^2}{r^2}$ 求取初澎，即 $e^2=\frac{3?^2}{4mr}$ 。

反過來可求得氫原子的半徑 $r=\frac{3?^2}{4me^2} =0.75a_{0}$ ,其中 $a_{0}=0.529?$ 虑凛，為氫原子的玻爾第一軌道半徑碑宴。由此可見，僅根據(jù)海森堡不確定性原理估算的氫原子的半徑與 $a_{0}$ 在同一個(gè)數(shù)量級(jí)上桑谍。

根據(jù)海森堡不確定性原理延柠，當(dāng) $x=0,\Delta x=0$ 、也即是電子坍縮到原子核上時(shí)锣披，系統(tǒng)的能量達(dá)到了 $-∞$ 贞间，即系統(tǒng)向外釋放無窮大的能量，這對宇宙來講無疑是一場災(zāi)難雹仿。

另外海森堡不確定性原理用于估算物質(zhì)的質(zhì)量密度時(shí)增热，也能得到正確的數(shù)量級(jí)。

那么現(xiàn)在的問題是：電子能坍縮到原子核上嗎胧辽？如果能的話钓葫，是不是通過這種方式就可以消滅整個(gè)宇宙？

案例2：原子核大小的估算

一個(gè)原子核有多大票顾？根據(jù)海森堡不確定性原理础浮，我們僅需知道一個(gè)參數(shù)就可以將其估算出來，——核子的結(jié)合能：數(shù)量級(jí)為8 MeV奠骄。現(xiàn)在進(jìn)入一個(gè)由核力掌控的世界豆同，任何問題看起來都相當(dāng)復(fù)雜。忽略復(fù)雜的核子作用力含鳞，假設(shè)一個(gè)核子在一個(gè)平均勢能的空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)影锈，核子的結(jié)合能為 8 MeV，所以我們可以假設(shè)原子核動(dòng)能的數(shù)量級(jí)差不多也是這么多蝉绷，即? $E=8$ ?MeV鸭廷。根據(jù)動(dòng)能與動(dòng)量的關(guān)系，我們有 $E=\frac{ 〈p^2〉 }{2m_{N}}=\frac{ 〈\Delta p^2〉 }{2m_{N}}$ （這里假設(shè)整個(gè)核子靜止不懂熔吗，平均動(dòng)量為0）辆床，由此可以計(jì)算得到 $\Delta p=\sqrt{〈\Delta p^2〉} =\sqrt{2m_{N}E}$ 。根據(jù)海森堡不確定性原理桅狠，在最緊湊的情況下讼载，核子的半徑 $a=\frac{?}{2\Delta p} =\frac{?}{2\sqrt{2m_{N}E} }$ 轿秧。采用原子單位制（ $?=1，e=1,m=1$ 咨堤，其中菇篡， $m$ 為電子的質(zhì)量），計(jì)算可得 $a=\frac{?}{2\sqrt{2m_{N}E} }=\frac{?}{2\sqrt{2\times 1840\times 8\times 10^{6}\times 3.67516\times 10^{-2}} }$ ?a.u. $\approx 10^{-13}$ ?cm一喘。比氫原子的半徑大概小100,0000倍驱还。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了我們的計(jì)算結(jié)果：原子核大小就是這么一搞數(shù)量級(jí)！

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