今天的Seminar践瓷，一半是還是用來(lái)復(fù)習(xí)了2周前講的1/2 XXX spin chain 的例子，一是因?yàn)闀r(shí)間太久了，還有就是上次趕上放假有同學(xué)沒(méi)來(lái)良拼，再有就是因?yàn)橛辛俗约阂恍┬碌睦斫馕啬牛椭暗乃鶎W(xué)相互照應(yīng)就斤，融會(huì)貫通其樂(lè)無(wú)窮的感覺(jué)。
新的角度
我的一個(gè)物理的興奮點(diǎn)就是能從新的角度看問(wèn)題蘑辑，比如把求解CFT的問(wèn)題看做是一個(gè)operator algebra 分類的問(wèn)題洋机。對(duì)于ABA，我們也可以看成這樣一種范式的轉(zhuǎn)變洋魂。通常的情況绷旗，一個(gè)量子物理系統(tǒng)是由他的Hamiltonian來(lái)定義；而ABA的角度是 一個(gè)系統(tǒng)是由Lax operator來(lái)定義副砍。這樣來(lái)看衔肢，ABA并沒(méi)有比Hamiltonian更抽象，Hamiltonian也沒(méi)有比ABA更物理豁翎。另外的一種理解方式是角骤，可以把這個(gè)范式的轉(zhuǎn)變理解為一個(gè)變量代換：從spin chain 的local spin variables 到 non-local 的 monodromy or transfermatrix 的轉(zhuǎn)變。ABA的一個(gè)思維突破難關(guān)是需要引入一個(gè)auxiliary（輔助）向量空間心剥。既然是輔助空間邦尊，當(dāng)然我們不需要給他賦予任何的物理意義硼控，只是作為一種方面我們處理算符代數(shù)結(jié)構(gòu)的一種工具。但這樣就太數(shù)學(xué)化胳赌，少了點(diǎn)物理的樂(lè)趣牢撼。類似的auxiliary空間的例子超對(duì)稱理論里面的超空間。超空間的引入就是為了給算符一個(gè)更直覺(jué)地分類疑苫，并且讓算符之間的代數(shù)結(jié)構(gòu)（超對(duì)稱）更顯而易見熏版。這里的算符分類是遵循了Lorentz群的不可約表示。
這樣我們就做一個(gè)類比捍掺。假設(shè)可積系統(tǒng)有一個(gè)對(duì)稱性撼短，對(duì)應(yīng)了一個(gè)algebra A。然后algebra的結(jié)構(gòu)可以很方便地定義在 A tensor A這個(gè)空間挺勿。每一個(gè)A tensor A 空間的一個(gè)元素R對(duì)應(yīng)了一個(gè)可能的algebra曲横，R需要滿足的限制就是Yang-Baxter equation （Jacobian），也就是說(shuō)algebra A是由 A tensor A 這個(gè)空間來(lái)分類不瓶，或者說(shuō) algebra A是由 Yang-Baxter equation 的解來(lái)分類禾嫉。
algebra A可以有不同的不可約表示 k_i, 這些不可約表示就給出了R的一個(gè)表示 R_{ij}。而Lax operator正好看做是R 的某個(gè)不可約表示蚊丐。這樣輔助場(chǎng)就可以理解為label不同表示的坐標(biāo)熙参。
這樣我們就把求解可積系統(tǒng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)換到了一個(gè)代數(shù)分類的問(wèn)題。
求解
上次講到麦备，有了transfermatrix之后孽椰，我們就可以定義一個(gè)reference state，利用transfermatrix的矩陣元構(gòu)造其他的eigenstates凛篙。每一個(gè)eigenstate都對(duì)應(yīng)了一個(gè)Bethe equation黍匾，所以最后我們就有了一個(gè)eigenstate 和 Bethe equation 的解（Bethe root）的一一對(duì)應(yīng)，observables 也就是動(dòng)量或者能量也都是root的一個(gè)函數(shù)呛梆。Bethe root會(huì)歸類到不同的sector里面對(duì)應(yīng)了不同的激發(fā)態(tài)锐涯。比如real 的root對(duì)應(yīng)了magnon，complex的roots對(duì)應(yīng)了不同的kinks削彬。所以當(dāng)我們找到所有的root后就能找到所有的物理態(tài)全庸，還有他們的能量動(dòng)量還有他們之間的散射振幅。
