? ? ? ? 插板法就是在n個(gè)元素間的n-1個(gè)空中插入b個(gè)板可以把n個(gè)元素分成b+1組的方法
應(yīng)用插板法必須滿足三個(gè)條件：
（1）這n個(gè)元素必須互不相異
（2）所分成的每一組至少分得一個(gè)元素
（3）分成的組別彼此相異
? ? 舉個(gè)很普通的例子來說明
把10個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的箱子企孩，每個(gè)箱子至少一個(gè)锭碳，問有幾種情況？
? ? ? 問題的題干滿足條件（1）（2）
? ? 適用插板法勿璃，C9 2=36
下面通過幾道題介紹下插板法的應(yīng)用
a 湊元素插板法 （有些題目滿足條件（1），不滿足條件（2）推汽，此時(shí)可適用此方法）
例1 ：把10個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的箱子补疑，問有幾種情況？
? ? 3個(gè)箱子都可能取到空球歹撒，條件（2）不滿足莲组，此時(shí)如果在3個(gè)箱子種各預(yù)先放入1個(gè)小球，則問題就等價(jià)于把13個(gè)相同小球放入3個(gè)不同箱子暖夭，每個(gè)箱子至少一個(gè)锹杈，有幾種情況？
? ? 顯然就是 C12 2=66
例2： 把10個(gè)相同小球放入3個(gè)不同箱子迈着，第一個(gè)箱子至少1個(gè)竭望，第二個(gè)箱子至少3個(gè)，第三個(gè)箱子可以放空球裕菠，有幾種情況咬清？
? ? 我們可以在第二個(gè)箱子先放入10個(gè)小球中的2個(gè)，小球剩8個(gè)放3個(gè)箱子奴潘，然后在第三個(gè)箱子放入8個(gè)小球之外的1個(gè)小球旧烧，則問題轉(zhuǎn)化為 把9個(gè)相同小球放3不同箱子，每箱至少1個(gè)画髓，幾種方法掘剪？ C8 2=28
b 添板插板法
例3：把10個(gè)相同小球放入3個(gè)不同的箱子，問有幾種情況奈虾？
? ? ? -o - o - o - o - o - o - o - o - o - o -
o表示10個(gè)小球夺谁，-表示空位
? ? 11個(gè)空位中取2個(gè)加入2塊板肆汹，第一組和第三組可以取到空的情況，第2組始終不能取空
? 此時(shí) 若在 第11個(gè)空位后加入第12塊板予权，設(shè)取到該板時(shí)昂勉，第二組取球?yàn)榭?/p>
? ? 則每一組都可能取球?yàn)榭?C12 2=66
例4：有一類自然數(shù)，從第三個(gè)數(shù)字開始扫腺，每個(gè)數(shù)字都恰好是它前面兩個(gè)數(shù)字之和岗照，直至不能再寫為止，如257笆环，1459等等攒至，這類數(shù)共有幾個(gè)？
? ? 因?yàn)榍?位數(shù)字唯一對(duì)應(yīng)了符合要求的一個(gè)數(shù)躁劣，只要求出前2位有幾種情況即可迫吐，設(shè)前兩位為ab
? ? 顯然a+b<=9 ,且a不為0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -
1代表9個(gè)1，-代表10個(gè)空位
? ? 我們可以在這9個(gè)空位中插入2個(gè)板账忘，分成3組志膀，第一組取到a個(gè)1，第二組取到b個(gè)1鳖擒，但此時(shí)第二組始終不能取空溉浙，若多添加第10個(gè)空時(shí)，設(shè)取到該板時(shí)第二組取空蒋荚，即b=0戳稽，所以一共有 C10 2=45
例5：有一類自然數(shù)，從第四個(gè)數(shù)字開始期升，每個(gè)數(shù)字都恰好是它前面三個(gè)數(shù)字之和惊奇，直至不能再寫為止，如2349播赁，1427等等颂郎，這類數(shù)共有幾個(gè)？
? ? 類似的行拢，某數(shù)的前三位為abc祖秒，a+b+c<=9,a不為0
? ? 1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -
? ? 在9個(gè)空位種插如3板，分成4組舟奠，第一組取a個(gè)1竭缝，第二組取b個(gè)1，第三組取c個(gè)1沼瘫，由于第二抬纸，第三組都不能取到空，所以添加2塊板
? ? 設(shè)取到第10個(gè)板時(shí)耿戚，第二組取空湿故，即b=0阿趁；取到第11個(gè)板時(shí)，第三組取空坛猪，即c=0脖阵。所以一共有C11 3=165
c 選板法
例6： 有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)墅茉，吃完為止命黔，求有多少種不同吃法？
? ? o - o - o - o - o - o - o - o - o - o
o代表10個(gè)糖 -代表9塊板
? ? 10塊糖就斤，9個(gè)空悍募，插入9塊板，每個(gè)板都可以選擇放或是不放洋机，相鄰兩個(gè)板間的糖一天吃掉
? ? 這樣一共就是 2^9= 512啦
d 分類插板
例7： 小梅有15塊糖坠宴，如果每天至少吃3塊，吃完為止绷旗，那么共有多少種不同的吃法喜鼓？
? ? 此問題不能用插板法的原因在于沒有規(guī)定一定要吃幾天，因此我們需要對(duì)吃的天數(shù)進(jìn)行分類討論
? ? 最多吃5天刁标，最少吃1天
1. 吃1天或是5天颠通，各一種吃法 一共2種情況
2.吃2天，每天預(yù)先吃2塊膀懈，即問11塊糖，每天至少吃1塊谨垃，吃2天启搂，幾種情況？ c10 1=10
3.吃3天刘陶，每天預(yù)先吃2塊胳赌，即問9塊糖，每天至少1塊匙隔，吃3天? c8 2=28
4.吃4天疑苫，每天預(yù)先吃2塊，即問7塊糖纷责，每天至少1塊捍掺，吃4天？c6 3=20
? ? 所以一共是 2+10+28+20=60 種
e 二次插板法
例8 ：在一張節(jié)目單中原有6個(gè)節(jié)目再膳，若保持這些節(jié)目相對(duì)次序不變挺勿，再添加3個(gè)節(jié)目，共有幾種情況喂柒？
? ? -o - o - o - o - o - o - 三個(gè)節(jié)目abc
? ? 可以用一個(gè)節(jié)目去插7個(gè)空位不瓶，再用第二個(gè)節(jié)目去插8個(gè)空位禾嫉，用最后個(gè)節(jié)目去插9個(gè)空位
? ? 所以一共是 C7 1 x C8 1 × C9 1=504
