要讓讀者在不看任何數(shù)學(xué)公式的情況下理解傅里葉分析。
傅里葉分析不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)工具奏候，更是一種可以徹底顛覆一個(gè)人以前世界觀的思維模式循集。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來太復(fù)雜了蔗草，所以很多大一新生上來就懵圈并從此對它深惡痛絕咒彤。老實(shí)說，這么有意思的東西居然成了大學(xué)里的殺手課程咒精，不得不歸咎于編教材的人實(shí)在是太嚴(yán)肅了蔼紧。（您把教材寫得好玩一點(diǎn)會(huì)死嗎？會(huì)死嗎狠轻？）所以我一直想寫一個(gè)有意思的文章來解釋傅里葉分析奸例，有可能的話高中生都能看懂的那種。所以，不管讀到這里的您從事何種工作查吊，我保證您都能看懂谐区，并且一定將體會(huì)到通過傅里葉分析看到世界另一個(gè)樣子時(shí)的快感。至于對于已經(jīng)有一定基礎(chǔ)的朋友逻卖，也希望不要看到會(huì)的地方就急忙往后翻宋列，仔細(xì)讀一定會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。
————以上是定場詩————
下面進(jìn)入正題：
抱歉评也，還是要啰嗦一句：其實(shí)學(xué)習(xí)本來就不是易事炼杖，我寫這篇文章的初衷也是希望大家學(xué)習(xí)起來更加輕松，充滿樂趣盗迟。但是千萬罚缕！千萬不要把這篇文章收藏起來黔衡，或是存下地址盟劫，心里想著：以后有時(shí)間再看。這樣的例子太多了，也許幾年后你都沒有再打開這個(gè)頁面袋毙。無論如何听盖，耐下心，讀下去腰吟。這篇文章要比讀課本要輕松嫉称、開心得多……
p.s.本文無論是cos還是sin，都統(tǒng)一用“正弦波”（Sine Wave）一詞來代表簡諧波荔棉。
一蒿赢、什么是頻域
從我們出生祥国，我們看到的世界都以時(shí)間貫穿，股票的走勢灼擂、人的身高睡腿、汽車的軌跡都會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生改變席怪。這種以時(shí)間作為參照來觀察動(dòng)態(tài)世界的方法我們稱其為時(shí)域分析。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為刻撒，世間萬物都在隨著時(shí)間不停的改變声怔，并且永遠(yuǎn)不會(huì)靜止下來。但如果我告訴你胎撇，用另一種方法來觀察世界的話姻采，你會(huì)發(fā)現(xiàn)<u style="text-decoration: none; border-bottom: 1px dashed gray;">世界是永恒不變的</u>慨亲，你會(huì)不會(huì)覺得我瘋了？我沒有瘋蛉签，這個(gè)靜止的世界就叫做頻域碍舍。
先舉一個(gè)公式上并非很恰當(dāng)，但意義上再貼切不過的例子：
在你的理解中，一段音樂是什么呢？
這是我們對音樂最普遍的理解，一個(gè)隨著時(shí)間變化的震動(dòng)萝勤。但我相信對于樂器小能手們來說敌卓，音樂更直觀的理解是這樣的：
好的瘪吏！下課蕾盯，同學(xué)們再見级遭。
是的挫鸽，其實(shí)這一段寫到這里已經(jīng)可以結(jié)束了。上圖是音樂在時(shí)域的樣子，而下圖則是音樂在頻域的樣子腋逆。所以頻域這一概念對大家都從不陌生等脂，只是從來沒意識(shí)到而已。
現(xiàn)在我們可以回過頭來重新看看一開始那句癡人說夢般的話：世界是永恒的粉楚。
將以上兩圖簡化：
時(shí)域：
頻域：
在時(shí)域饮潦，我們觀察到鋼琴的琴弦一會(huì)上一會(huì)下的擺動(dòng)回俐，就如同一支股票的走勢单默；而在頻域，只有那一個(gè)永恒的音符枚抵。
所以
你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實(shí)際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章逼泣。
抱歉，這不是一句雞湯文氏仗，而是黑板上確鑿的公式：傅里葉同學(xué)告訴我們币励，任何周期函數(shù)流炕，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加渠欺。在第一個(gè)例子里我們可以理解為，利用對不同琴鍵不同力度捐名，不同時(shí)間點(diǎn)的敲擊赏半，可以組合出任何一首樂曲拂酣。
而貫穿時(shí)域與頻域的方法之一，就是傳中說的傅里葉分析埃撵。傅里葉分析可分為傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)赵颅，我們從簡單的開始談起。
二暂刘、傅里葉級(jí)數(shù)(Fourier Series)的頻譜
還是舉個(gè)栗子并且有圖有真相才好理解饺谬。
如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個(gè)帶90度角的矩形波來，你會(huì)相信嗎谣拣？你不會(huì)募寨，就像當(dāng)年的我一樣辅鲸。但是看看下圖：
第一幅圖是一個(gè)郁悶的正弦波cos(x)
第二幅圖是2個(gè)賣萌的正弦波的疊加cos(x)+a.cos(3x)
第三幅圖是4個(gè)發(fā)春的正弦波的疊加
第四幅圖是10個(gè)便秘的正弦波的疊加
隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長坟奥，他們最終會(huì)疊加成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形衣盾，大家從中體會(huì)到了什么道理？
（只要努力耘沼，彎的都能掰直！）
隨著疊加的遞增钱烟，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個(gè)矩形就這么疊加而成了。但是要多少個(gè)正弦波疊加起來才能形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)90度角的矩形波呢徽惋？不幸的告訴大家，答案是無窮多個(gè)逻杖。（上帝：我能讓你們猜著我更鲁？）
不僅僅是矩形驯绎，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒
有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個(gè)難點(diǎn)，但是一旦接受了這樣的設(shè)定获三，游戲就開始有意思起來了作喘。
還是上圖的正弦波累加成矩形波物咳，我們換一個(gè)角度來看看：
在這幾幅圖中芯丧，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和血巍，也就是越來越接近矩形波的那個(gè)圖形波附。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個(gè)分量钥星。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個(gè)波的振幅都是不同的。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了椅亚，每兩個(gè)正弦波之間都還有一條直線限番，那并不是分割線，而是振幅為0的正弦波呀舔！也就是說弥虐，為了組成特殊的曲線扩灯，有些正弦波成分是不需要的。
這里霜瘪，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量珠插。
好了，關(guān)鍵的地方來了Ｓ倍浴捻撑！
如果我們把第一個(gè)頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構(gòu)建頻域的最基本單元缤底。
對于我們最常見的有理數(shù)軸顾患，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元。
時(shí)域的基本單元就是“1秒”个唧，如果我們將一個(gè)角頻率為w_0的正弦波cos(w_0t)看作基礎(chǔ)江解，那么頻域的基本單元就是w_0。
有了“1”徙歼，還要有“0”才能構(gòu)成世界犁河，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個(gè)周期無限長的正弦波魄梯，也就是一條直線桨螺！所以在頻域，0頻率也被稱為直流分量画恰，在傅里葉級(jí)數(shù)的疊加中彭谁，它僅僅影響全部波形相對于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀吸奴。
接下來允扇，讓我們回到初中，回憶一下已經(jīng)死去的八戒则奥，啊不考润，已經(jīng)死去的老師是怎么定義正弦波的吧。
正弦波就是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)在一條直線上的投影读处。所以頻域的基本單元也可以理解為一個(gè)始終在旋轉(zhuǎn)的圓
知乎不能傳動(dòng)態(tài)圖真是太讓人惋惜了……
想看動(dòng)圖的同學(xué)請戳這里：
File:Fourier series square wave circles animation.gif
以及這里：
File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif
點(diǎn)出去的朋友不要被wiki拐跑了糊治，wiki寫的哪有這里的文章這么沒節(jié)操是不是。
介紹完了頻域的基本組成單元罚舱，我們就可以看一看一個(gè)矩形波井辜，在頻域里的另一個(gè)模樣了：
這是什么奇怪的東西？
這就是矩形波在頻域的樣子管闷，是不是完全認(rèn)不出來了粥脚？教科書一般就給到這里然后留給了讀者無窮的遐想，以及無窮的吐槽包个，其實(shí)教科書只要補(bǔ)一張圖就足夠了：頻域圖像刷允，也就是俗稱的頻譜，就是——
再清楚一點(diǎn)：
可以發(fā)現(xiàn)，在頻譜中树灶，偶數(shù)項(xiàng)的振幅都是0纤怒，也就對應(yīng)了圖中的彩色直線。振幅為0的正弦波天通。
動(dòng)圖請戳：
File:Fourier series and transform.gif
老實(shí)說泊窘，在我學(xué)傅里葉變換時(shí)，維基的這個(gè)圖還沒有出現(xiàn)像寒，那時(shí)我就想到了這種表達(dá)方法州既，而且，后面還會(huì)加入維基沒有表示出來的另一個(gè)譜——相位譜萝映。
但是在講相位譜之前吴叶，我們先回顧一下剛剛的這個(gè)例子究竟意味著什么。記得前面說過的那句“世界是靜止的”嗎序臂？估計(jì)好多人對這句話都已經(jīng)吐槽半天了蚌卤。想象一下，世界上每一個(gè)看似混亂的表象奥秆，實(shí)際都是一條時(shí)間軸上不規(guī)則的曲線逊彭，但實(shí)際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時(shí)域上的投影构订，而正弦波又是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影侮叮。那么你的腦海中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)什么畫面呢？
我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布悼瘾，幕布的后面有無數(shù)的齒輪囊榜，大齒輪帶動(dòng)小齒輪，小齒輪再帶動(dòng)更小的亥宿。在最外面的小齒輪上有一個(gè)小人——那就是我們自己卸勺。我們只看到這個(gè)小人毫無規(guī)律的在幕布前表演，卻無法預(yù)測他下一步會(huì)去哪烫扼。而幕布后面的齒輪卻永遠(yuǎn)一直那樣不停的旋轉(zhuǎn)曙求，永不停歇。這樣說來有些宿命論的感覺映企。說實(shí)話悟狱，這種對人生的描繪是我一個(gè)朋友在我們都是高中生的時(shí)候感嘆的，當(dāng)時(shí)想想似懂非懂堰氓，直到有一天我學(xué)到了傅里葉級(jí)數(shù)……
三挤渐、傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Series）的相位譜
上一章的關(guān)鍵詞是：從側(cè)面看。這一章的關(guān)鍵詞是：從下面看豆赏。
在這一章最開始挣菲，我想先回答很多人的一個(gè)問題：傅里葉分析究竟是干什么用的富稻？這段相對比較枯燥，已經(jīng)知道了的同學(xué)可以直接跳到下一個(gè)分割線白胀。
先說一個(gè)最直接的用途椭赋。無論聽廣播還是看電視，我們一定對一個(gè)詞不陌生——頻道或杠。頻道頻道哪怔，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個(gè)通道來進(jìn)行信息傳輸向抢。下面大家嘗試一件事：
先在紙上畫一個(gè)sin(x)认境，不一定標(biāo)準(zhǔn)，意思差不多就行挟鸠。不是很難吧叉信。
好，接下去畫一個(gè)sin(3x)+sin(5x)的圖形艘希。
別說標(biāo)準(zhǔn)不標(biāo)準(zhǔn)了硼身，曲線什么時(shí)候上升什么時(shí)候下降你都不一定畫的對吧？
好覆享，畫不出來不要緊佳遂，我把sin(3x)+sin(5x)的曲線給你，但是前提是你不知道這個(gè)曲線的方程式撒顿，現(xiàn)在需要你把sin(5x)$給我從圖里拿出去丑罪，看看剩下的是什么。這基本是不可能做到的凤壁。
但是在頻域呢吩屹？則簡單的很，無非就是幾條豎線而已客扎。
所以很多在時(shí)域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作祟峦，在頻域相反很容易罚斗。這就是需要傅里葉變換的地方徙鱼。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波针姿，是信號(hào)處理最重要的概念之一袱吆，只有在頻域才能輕松的做到。
再說一個(gè)更重要距淫，但是稍微復(fù)雜一點(diǎn)的用途——求解微分方程绞绒。（這段有點(diǎn)難度，看不懂的可以直接跳過這段）微分方程的重要性不用我過多介紹了榕暇。各行各業(yè)都用的到蓬衡。但是求解微分方程卻是一件相當(dāng)麻煩的事情喻杈。因?yàn)槌艘?jì)算加減乘除，還要計(jì)算微分積分狰晚。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统ㄍ彩危髮W(xué)數(shù)學(xué)瞬間變小學(xué)算術(shù)有沒有。
傅里葉分析當(dāng)然還有其他更重要的用途壁晒，我們隨著講隨著提瓷们。
————————————————————————————————————
下面我們繼續(xù)說相位譜：
通過時(shí)域到頻域的變換，我們得到了一個(gè)從側(cè)面看的頻譜秒咐，但是這個(gè)頻譜并沒有包含時(shí)域中全部的信息谬晕。因?yàn)轭l譜只代表每一個(gè)對應(yīng)的正弦波的振幅是多少，而沒有提到相位携取≡芮基礎(chǔ)的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅雷滋，頻率夕玩，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置惊豺，所以對于頻域分析燎孟，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個(gè)相位譜尸昧。那么這個(gè)相位譜在哪呢揩页？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論烹俗，我們用7個(gè)波疊加的圖爆侣。
鑒于正弦波是周期的，我們需要設(shè)定一個(gè)用來標(biāo)記正弦波位置的東西幢妄。在圖中就是那些小紅點(diǎn)兔仰。小紅點(diǎn)是距離頻率軸最近的波峰，而這個(gè)波峰所處的位置離頻率軸有多遠(yuǎn)呢蕉鸳？為了看的更清楚乎赴，我們將紅色的點(diǎn)投影到下平面，投影點(diǎn)我們用粉色點(diǎn)來表示潮尝。當(dāng)然榕吼，這些粉色的點(diǎn)只標(biāo)注了波峰距離頻率軸的距離，并不是相位勉失。
這里需要糾正一個(gè)概念：時(shí)間差并不是相位差羹蚣。如果將全部周期看作2Pi或者360度的話，相位差則是時(shí)間差在一個(gè)周期中所占的比例乱凿。我們將時(shí)間差除周期再乘2Pi顽素，就得到了相位差咽弦。
在完整的立體圖中，我們將投影得到的時(shí)間差依次除以所在頻率的周期胁出，就得到了最下面的相位譜离唬。所以，頻譜是從側(cè)面看划鸽，相位譜是從下面看输莺。下次偷看女生裙底被發(fā)現(xiàn)的話，可以告訴她：“對不起裸诽，我只是想看看你的相位譜嫂用。”
注意到丈冬，相位譜中的相位除了0嘱函，就是Pi。因?yàn)閏os（t+Pi）=-cos（t）埂蕊，所以實(shí)際上相位為Pi的波只是上下翻轉(zhuǎn)了而已往弓。對于周期方波的傅里葉級(jí)數(shù)，這樣的相位譜已經(jīng)是很簡單的了蓄氧。另外值得注意的是函似，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的喉童，pi和3pi撇寞，5pi，7pi都是相同的相位堂氯。人為定義相位譜的值域?yàn)?-pi蔑担，pi]，所以圖中的相位差均為Pi咽白。
最后來一張大集合：
四啤握、傅里葉變換（Fourier Transformation）
相信通過前面三章，大家對頻域以及傅里葉級(jí)數(shù)都有了一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)晶框。但是文章在一開始關(guān)于鋼琴琴譜的例子我曾說過排抬，這個(gè)栗子是一個(gè)公式錯(cuò)誤，但是概念典型的例子三妈。所謂的公式錯(cuò)誤在哪里呢畜埋？
傅里葉級(jí)數(shù)的本質(zhì)是將一個(gè)周期的信號(hào)分解成無限多分開的（離散的）正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的畴蒲。曾經(jīng)在學(xué)數(shù)字信號(hào)處理的時(shí)候?qū)戇^一首打油詩：
往昔連續(xù)非周期，
回憶周期不連續(xù)对室，
任你ZT模燥、DFT咖祭，
還原不回去。
（請無視我渣一樣的文學(xué)水平……）
在這個(gè)世界上蔫骂，有的事情一期一會(huì)么翰，永不再來，并且時(shí)間始終不曾停息地將那些刻骨銘心的往昔連續(xù)的標(biāo)記在時(shí)間點(diǎn)上辽旋。但是這些事情往往又成為了我們格外寶貴的回憶浩嫌，在我們大腦里隔一段時(shí)間就會(huì)周期性的蹦出來一下，可惜這些回憶都是零散的片段补胚，往往只有最幸福的回憶码耐，而平淡的回憶則逐漸被我們忘卻。因?yàn)槿芷洌羰且粋€(gè)連續(xù)的非周期信號(hào)骚腥，而回憶是一個(gè)周期離散信號(hào)。
是否有一種數(shù)學(xué)工具將連續(xù)非周期信號(hào)變換為周期離散信號(hào)呢瓶逃？抱歉束铭，真沒有。
比如傅里葉級(jí)數(shù)厢绝，在時(shí)域是一個(gè)周期且連續(xù)的函數(shù)契沫，而在頻域是一個(gè)非周期離散的函數(shù)。這句話比較繞嘴昔汉，實(shí)在看著費(fèi)事可以干脆回憶第一章的圖片埠褪。
而在我們接下去要講的傅里葉變換，則是將一個(gè)時(shí)域非周期的連續(xù)信號(hào)挤庇，轉(zhuǎn)換為一個(gè)在頻域非周期的連續(xù)信號(hào)钞速。
算了，還是上一張圖方便大家理解吧：
或者我們也可以換一個(gè)角度理解：傅里葉變換實(shí)際上是對一個(gè)周期無限大的函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換嫡秕。
所以說渴语，鋼琴譜其實(shí)并非一個(gè)連續(xù)的頻譜，而是很多在時(shí)間上離散的頻率昆咽，但是這樣的一個(gè)貼切的比喻真的是很難找出第二個(gè)來了驾凶。
因此在傅里葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續(xù)譜。那么連續(xù)譜是什么樣子呢掷酗？
你見過大海么调违？
為了方便大家對比，我們這次從另一個(gè)角度來看頻譜泻轰，還是傅里葉級(jí)數(shù)中用到最多的那幅圖技肩，我們從頻率較高的方向看。
以上是離散譜浮声，那么連續(xù)譜是什么樣子呢虚婿？
盡情的發(fā)揮你的想象旋奢，想象這些離散的正弦波離得越來越近，逐漸變得連續(xù)……
直到變得像波濤起伏的大海：
很抱歉然痊，為了能讓這些波浪更清晰的看到至朗，我沒有選用正確的計(jì)算參數(shù)，而是選擇了一些讓圖片更美觀的參數(shù)剧浸，不然這圖看起來就像屎一樣了锹引。
不過通過這樣兩幅圖去比較，大家應(yīng)該可以理解如何從離散譜變成了連續(xù)譜的了吧唆香？原來離散譜的疊加嫌变，變成了連續(xù)譜的累積。所以在計(jì)算上也從求和符號(hào)變成了積分符號(hào)袋马。
不過初澎，這個(gè)故事還沒有講完，接下去虑凛，我保證讓你看到一幅比上圖更美麗壯觀的圖片碑宴，但是這里需要介紹到一個(gè)數(shù)學(xué)工具才能然故事繼續(xù)，這個(gè)工具就是——
五桑谍、宇宙耍帥第一公式：歐拉公式
虛數(shù)i這個(gè)概念大家在高中就接觸過延柠，但那時(shí)我們只知道它是-1的平方根，可是它真正的意義是什么呢?
這里有一條數(shù)軸锣披，在數(shù)軸上有一個(gè)紅色的線段贞间，它的長度是1。當(dāng)它乘以3的時(shí)候雹仿，它的長度發(fā)生了變化增热，變成了藍(lán)色的線段，而當(dāng)它乘以-1的時(shí)候胧辽，就變成了綠色的線段峻仇，或者說線段在數(shù)軸上圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了180度。
我們知道乘-1其實(shí)就是乘了兩次 i使線段旋轉(zhuǎn)了180度邑商，那么乘一次 i 呢——答案很簡單——旋轉(zhuǎn)了90度摄咆。
同時(shí)，我們獲得了一個(gè)垂直的虛數(shù)軸人断。實(shí)數(shù)軸與虛數(shù)軸共同構(gòu)成了一個(gè)復(fù)數(shù)的平面吭从，也稱復(fù)平面。這樣我們就了解到恶迈，乘虛數(shù)i的一個(gè)功能——旋轉(zhuǎn)涩金。
現(xiàn)在，就有請宇宙第一耍帥公式歐拉公式隆重登場——
這個(gè)公式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的意義要遠(yuǎn)大于傅里葉分析，但是乘它為宇宙第一耍帥公式是因?yàn)樗奶厥庑问健?dāng)x等于Pi的時(shí)候鸭廷。
經(jīng)常有理工科的學(xué)生為了跟妹子表現(xiàn)自己的學(xué)術(shù)功底枣抱，用這個(gè)公式來給妹子解釋數(shù)學(xué)之美：”石榴姐你看熔吗，這個(gè)公式里既有自然底數(shù)e辆床，自然數(shù)1和0，虛數(shù)i還有圓周率pi桅狠，它是這么簡潔讼载，這么美麗啊中跌！“但是姑娘們心里往往只有一句話：”臭屌絲……“
這個(gè)公式關(guān)鍵的作用咨堤，是將正弦波統(tǒng)一成了簡單的指數(shù)形式。我們來看看圖像上的涵義：
歐拉公式所描繪的漩符，是一個(gè)隨著時(shí)間變化一喘，在復(fù)平面上做圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，隨著時(shí)間的改變嗜暴，在時(shí)間軸上就成了一條螺旋線凸克。如果只看它的實(shí)數(shù)部分，也就是螺旋線在左側(cè)的投影闷沥，就是一個(gè)最基礎(chǔ)的余弦函數(shù)萎战。而右側(cè)的投影則是一個(gè)正弦函數(shù)。
關(guān)于復(fù)數(shù)更深的理解舆逃，大家可以參考：
這里不需要講的太復(fù)雜，足夠讓大家理解后面的內(nèi)容就可以了路狮。
六虫啥、指數(shù)形式的傅里葉變換
有了歐拉公式的幫助，我們便知道：正弦波的疊加奄妨，也可以理解為螺旋線的疊加在實(shí)數(shù)空間的投影涂籽。而螺旋線的疊加如果用一個(gè)形象的栗子來理解是什么呢？
光波
高中時(shí)我們就學(xué)過展蒂，自然光是由不同顏色的光疊加而成的又活，而最著名的實(shí)驗(yàn)就是牛頓師傅的三棱鏡實(shí)驗(yàn)：
所以其實(shí)我們在很早就接觸到了光的頻譜，只是并沒有了解頻譜更重要的意義锰悼。
但不同的是柳骄，傅里葉變換出來的頻譜不僅僅是可見光這樣頻率范圍有限的疊加，而是頻率從0到無窮所有頻率的組合箕般。
這里耐薯，我們可以用兩種方法來理解正弦波：
第一種前面已經(jīng)講過了，就是螺旋線在實(shí)軸的投影。
另一種需要借助歐拉公式的另一種形式去理解：
將以上兩式相加再除2曲初，得到：
這個(gè)式子可以怎么理解呢体谒？
我們剛才講過，e(it)可以理解為一條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋線臼婆，那么e(-it)則可以理解為一條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋線抒痒。而cos(t)則是這兩條旋轉(zhuǎn)方向不同的螺旋線疊加的一半，因?yàn)檫@兩條螺旋線的虛數(shù)部分相互抵消掉了颁褂！
舉個(gè)例子的話故响，就是極化方向不同的兩束光波，磁場抵消颁独，電場加倍彩届。
這里，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的我們稱為正頻率誓酒，而順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的我們稱為負(fù)頻率（注意不是復(fù)頻率）樟蠕。
好了，剛才我們已經(jīng)看到了大嚎扛蹋——連續(xù)的傅里葉變換頻譜寨辩，現(xiàn)在想一想，連續(xù)的螺旋線會(huì)是什么樣子：
想象一下再往下翻：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
是不是很漂亮病往？
你猜猜捣染，這個(gè)圖形在時(shí)域是什么樣子？
哈哈停巷，是不是覺得被狠狠扇了一個(gè)耳光耍攘。數(shù)學(xué)就是這么一個(gè)把簡單的問題搞得很復(fù)雜的東西。
順便說一句畔勤，那個(gè)像大海螺一樣的圖蕾各，為了方便觀看，我僅僅展示了其中正頻率的部分庆揪，負(fù)頻率的部分沒有顯示出來式曲。
如果你認(rèn)真去看，海螺圖上的每一條螺旋線都是可以清楚的看到的缸榛，每一條螺旋線都有著不同的振幅（旋轉(zhuǎn)半徑）吝羞，頻率（旋轉(zhuǎn)周期）以及相位。而將所有螺旋線連成平面内颗，就是這幅海螺圖了钧排。
好了，講到這里均澳，相信大家對傅里葉變換以及傅里葉級(jí)數(shù)都有了一個(gè)形象的理解了恨溜，我們最后用一張圖來總結(jié)一下：
文章轉(zhuǎn)自：https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358
