有理數(shù)勾栗，一個被翻譯玩兒壞的數(shù)學概念
“你還有理了？盏筐！”當你聽到父母說這句話的時候围俘，請記住，一定不要把它理解成是一句表揚的話。往往這句話后界牡，接下來的事兒不說你也清楚簿寂，男子單打，女子單打欢揖，混合雙打……各種雞鳴狗跳……
但這句話也未必不是一句表揚的話，因為你在證明自己觀點的過程中不自覺得運用了邏輯奋蔚，并構成了一個理論上自洽的系統(tǒng)她混，致使父母沒辦法以同樣的方式推翻它，而不得不借助于權威——棍棒泊碑。
“有理”坤按，從字面意義上看就是有道理。但當用“有理”來給一類數(shù)命名時馒过，這個名稱就略顯得沒那么有道理了臭脓。
我們很自然地知道，自然數(shù)即Natural Number腹忽，那么有理數(shù)呢来累？Rational Number。Rational這個英語單詞的意義的確有“理性”或“道理”的意思窘奏，但何以數(shù)還分成有理和無理呢嘹锁，難道有些數(shù)會顯得比另外一些數(shù)更加有理性嗎？產(chǎn)生這樣的問題是很自然的事着裹，但這個其實是被翻譯玩兒壞的一個數(shù)學概念领猾，以訛傳訛，沿用至今骇扇，以至于沒人再去追究它本來的意義摔竿。
但這是一個天大的誤會。Ration在英語中的含義是理性少孝，那作為形容詞的rational翻譯成有理的继低，這的確是無懈可擊的。但問題出在稍走，這個詞來源于ratio郁季，它不僅有理性之義，還有比例之義钱磅。那也就是說rational number應該翻譯成“成比例的數(shù)”梦裂。沒錯，事實就是這樣盖淡。
說到比例年柠，如果回憶你小學時的數(shù)學課的話，你先想到的形式是2：3或者其它什么東西。那么2：3還可以用什么方式來表示呢冗恨？2/3答憔，這是什么數(shù)啊掀抹？分數(shù)芭巴亍！只要上過小學的人都知道的知識傲武。
那么有理數(shù)蓉驹，也就是“成比例的數(shù)”，指的就是可以寫成分數(shù)形式的所有數(shù)揪利，自然數(shù)自然可以态兴，比如2，我們可以寫成2/1疟位，雖然實際上我們不這么寫瞻润，因為這太麻煩，違反了經(jīng)濟原則（就是追求以最小的努力來獲取最大的利益甜刻，這個原則在生活的各個方面幾乎都是適用的绍撞，這是否從側(cè)面證明人天生是懶惰的呢？可能吧５迷骸）你看楚午，如果我們有了有理數(shù)這個概念，那么所有的自然數(shù)尿招、小數(shù)（可以寫成分數(shù)的形式矾柜，包括循環(huán)小數(shù)）、所有的整數(shù)（無論是正的還是負的）就谜、0等就都包括在其內(nèi)了怪蔑，因此說“有理數(shù)”這個概念的產(chǎn)生，使數(shù)系從自然數(shù)發(fā)展到整數(shù)之后丧荐，又向前邁進了一步——實數(shù)缆瓣。
實數(shù)包括哪些類數(shù)呢？我們學過的關于實數(shù)的定義一定是“所有有理數(shù)與無理數(shù)的總稱虹统」耄”你看，問題接著就來了——“無理數(shù)”出現(xiàn)了车荔。有了上面的分析渡冻，你大概不會再認為“無理數(shù)”就是沒有道理的數(shù)了吧。因為它的實際意義應該是“不成比例的數(shù)”忧便，也就是不能用分數(shù)形式表達的數(shù)族吻。
我們在認識這個問題的時候，往往會自然地認為，肯定是先有了有理數(shù)才有無理數(shù)的超歌。這個說法既對又不對砍艾。根據(jù)認識規(guī)律，我們是從“有”開始認識“無”的巍举，也可以說是從開始認識“肯定”再認識“否定”的脆荷，從這個角度理解，這句話好像是十分正確的懊悯。但如果從概念產(chǎn)生的先后順序來講蜓谋，則一定是先產(chǎn)生的無理數(shù)概念，才產(chǎn)生了有理數(shù)的概念定枷。
這事兒說來話長孤澎。
人類自從認識了自然數(shù)届氢，認識了序數(shù)后欠窒，加法就比較自然地產(chǎn)生了。加法的產(chǎn)生又導致了乘法的產(chǎn)生退子。加法和乘法的逆向運算又導致了減法和除法的產(chǎn)生岖妄。減法的產(chǎn)生導致了負數(shù)的產(chǎn)生，而除法則導致了一個令人無解的事兒寂祥，而這個困惑的解決荐虐，就是無理數(shù)概念的產(chǎn)生。
剛才我們已經(jīng)談了有理數(shù)的問題丸凭，所有的有理數(shù)都可以用分數(shù)的形式表達福扬，但無理數(shù)卻不能，它們不能以分數(shù)的形式表示惜犀，且是無限的不循環(huán)的數(shù)铛碑，也就是在當時人們的認知范圍內(nèi)地回，人們沒有辦法表示出來胡岔，也寫不出來。但它又是現(xiàn)實存在的屹篓。那么莉御，我們就從現(xiàn)實存在來談起撇吞。
古代人很早就有了幾何學。人們一般認為幾何學產(chǎn)生于日常生活中對于丈量的需要礁叔。比如要丈量一塊地的面積或這塊地某個邊的長度牍颈。土地的形狀是不規(guī)則的，所以他們在丈量之前先要把地分割成規(guī)則的形狀琅关。三角形就是最基本的規(guī)則形狀颂砸，這也是認識和學習整個幾何學的基礎（歐氏幾何）。一個任意的多邊形都可以分割成大小不一的三角形，只要知道了三角形的面積計算方法人乓，加在一起就可以知道任何形狀的面積了（這兒勤篮，我們先不談圓形或弧形事物面積的丈量和計算問題）。
而三角形中有一類是特殊的色罚，即直角三角形碰缔。古代人很早就知道了如果一個三角形的邊長分別是3、4戳护、5金抡，那么這個三角形一定是直角三角形。于是腌且，利用這個最簡單的知識梗肝，人們可以丈量幾乎所有形狀的土地面積了。
怎么操作呢铺董？先假設一個基本的單位巫击，比如米，比如英尺（英尺其實就是某位英國國王的腳的長度）精续，這些單位最開始是非常隨意的規(guī)定坝锰，沒有什么規(guī)律可言，就像我們將狗叫狗而不叫豬一樣隨意重付。有了單位之后顷级，他們就用3、4确垫、5的倍數(shù)弓颈，先將直角的兩邊按倍數(shù)放大，然后他的斜邊長度自然就可以知道了删掀，如6翔冀、8、10爬迟，再如9橘蜜、12、15等等付呕。你肯定會覺得计福，這多麻煩啊，不是可以用勾股定理嗎徽职？是的象颖，這就是勾股定理！但這個定理所涉及的都是一個個具體的常數(shù)姆钉，還沒有被抽象為一般的規(guī)律以適應所有的常數(shù)说订，走出這一步是人類認識的一個巨大進步抄瓦。并且，埃及人確實就是這么干的陶冷，雖然辦法很笨钙姊，但解決了他們的實際問題。并且請你注意這可是發(fā)生在3000多年之前的事埂伦。
希臘人大概是最早知道3^2+4^2＝5^2的煞额，所以在此，我們假定他們已經(jīng)認識到了a^2+b^2=c^2這個一般規(guī)律了沾谜。西方人稱之為畢達哥拉斯定理膊毁。你或許認為畢達哥拉斯是個偉大的數(shù)學家，恭喜你基跑，你說對了婚温，但只說對了一部分。他不僅僅是位偉大的數(shù)學家媳否，更是一位偉大的哲學家栅螟。
關于畢達哥拉斯這個人我還是想多說點。他基本上算是一個神秘主義者吧逆日。比如嵌巷，他認為人不能吃豆子萄凤，不能過豆子地室抽，而他本人就是因為不愿走豆子地而被追兵殺死的。我們現(xiàn)在是不是覺得事兒有點搞笑靡努？但我們真不能笑他坪圾，因為正是他對信仰的執(zhí)著追求才能給他以力量啊惑朦！這位“豆子先生”認為萬事萬物的本質(zhì)都是數(shù)兽泄。我們先不去探討這是多么無稽可笑，但正是他堅持認為世界的本質(zhì)是數(shù)漾月，才有了數(shù)學的發(fā)展病梢，才有了我們下面的話題，而這個問題是否動搖了他的世界觀梁肿，我們不知道蜓陌，但動搖了當時數(shù)學的基礎卻大概是真的。這在數(shù)學史上被稱為“第一次危機”吩蔑。
事情的起因是這樣的钮热，我們還是從畢達哥拉斯定理開始說起。
存在這樣一個等腰直角三角形烛芬，它的兩個直角邊是1隧期，那么它的斜邊是多少呢飒责？我們假設斜邊長是一個有理數(shù)（提醒：這時還沒有有理數(shù)和無理數(shù)之分），也就是可以寫成分數(shù)的形式仆潮，那么我們可以用m/n來表示宏蛉，這個沒毛病吧。那么根據(jù)畢達哥拉斯定理性置，這個等式m2/n2=2是不是成立伴茉巍？絕對成立蚌讼。接下來我們要把m^2/n^2化為最簡形式辟灰，也就是約分啊。我們假設篡石，作為分子和分母的m和n已經(jīng)沒有公約數(shù)了芥喇，也就是最簡形式了，那么m和n中必有一個是奇數(shù)凰萨，這也沒有毛病吧（如果兩個都是偶數(shù)的話继控，那就不是最簡形式了）？哪一個呢胖眷？肯定不是m啊武通，因為m^2=2n^2啊（無論n^2是什么珊搀，乘以2肯定是偶數(shù)耙背馈），所以肯定n是奇數(shù)境析。既然m是個偶數(shù)囚枪，那么我們假設它等于2p，這也沒有問題吧劳淆？那么好了链沼，4p^2=2n^2，再約分沛鸵，n^2=2p^2括勺，那么n就是個偶數(shù)。這與我們先前的推論相反曲掰。天哪疾捍！多么得不可思議，這說明一個什么問題蜈缤？說明我們明明知道有一個數(shù)存在拾氓，卻不能用分數(shù)表達出來，多么可怕底哥！還說數(shù)是世界的本質(zhì)呢咙鞍！
至于這場危機是怎么解決的房官，我想你大概可以推想出來了，人們又發(fā)明了一個無理數(shù)的概念续滋，于是無理數(shù)加上有理數(shù)翰守，實數(shù)數(shù)系就發(fā)展起來。當然疲酌，這說來簡單蜡峰，實際上也是一個很漫長的過程，至于怎樣完成的朗恳，由誰來完成的湿颅，這不是我這兒要說的重點。
那我的重點是什么呢粥诫？有理數(shù)不是說它多么的有理油航，而是說這個數(shù)可以寫成分數(shù)的形式，是“成比例的數(shù)”怀浆，而無理數(shù)也不比有理數(shù)顯得那么有無理谊囚，它們是不能被寫成分數(shù)的形式，是“不成比例的數(shù)”执赡。
這才是重點镰踏，僅此而已。
