1.電場的散度和旋度

基礎的知識

庫倫定律
$\mathbf{F}=\frac{Q Q^{\prime}}{4 \pi \epsilon_{0} r^{3}} \mathbf{r}$
數學高斯公式
$\int_{V} \nabla \cdot \mathbf{A} d V=\int_{S} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{S}$
就是下面這個形式：
$\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrmy2d0dty v=\iint_{\Sigma} P \mathrmskpvx1z y \mathrmzinx16q z+Q \mathrm526zkar z \mathrm27wa2hp x+R \mathrmb72wkbs x \mathrm0lzjrh2 y$
斯托克斯公式
$\int_{S}(\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d \mathbf{S}=\oint_{l} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l}$

關于上面公式的證明

電場的旋度和散度

1. 由庫倫定律可以算空間電場分布

可以根據 $\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{Q^{\prime}}$ 算出 $\mathbf{E}=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{3}} \mathbf{r}$

對于單電荷Q，空間電場為：
$\mathbf{E}=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{3}} \mathbf{r}$
對于多個電荷戏蔑，將各個求和電場疊加：
$\mathbf{E}=\sum_{i} \frac{Q_{i} \mathbf{r}_{\mathbf{i}}}{4 \pi \epsilon_{0} r_{i}^{3}}$
如果對于連續(xù)體：
先定義連續(xù)體的電荷x'電的密度： $\rho\left(x^{\prime}\right)=\lim _{V '\rightarrow 0} \frac{d Q}{d V^{\prime}}$
則由 $dQ=\rho(x')d_{V'}$
$d{E(x)}=\frac{\rho\left(x^{\prime}\right) \mathbf{r}}{4 \pi \epsilon_{0} r^{3}} d V^{\prime}$
所以的得到連續(xù)體的電場分布,（其中 $\mathbf{r}=\mathbf{x}-\mathbf{x'}$ ）：
$E(x)=\int_{V^{\prime}} \frac{\rho\left(x^{\prime}\right) \mathbf{r}}{4 \pi \epsilon_{0} r^{3}} d V^{\prime}$

2.由庫倫定律可以推導高斯定理

$\int_{S} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{S}= \frac{Q}{\epsilon_{0}}$

證明過程如下：
$\mathbf{E} \cdot d \mathbf{S}=E d S \cos \theta=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} \cos \theta d S$
由立體角定義： $d \Omega=\frac{\cos \theta d S}{r^{2}}$
$\mathbf{E} \cdot d \mathbf{S}=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} } d \Omega$
所以： $\int_{S} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{S}=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{S} d \Omega=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$

3.電場散度

由高斯定律: $\int_{S} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{S}= \frac{Q}{\epsilon_{0}}$ 和高斯公式: $\int_{V} \nabla \cdot \mathbf{E} d V=\int_{S} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{S}$
得：
$\int_{V} \nabla \cdot \mathbf{E} d V=\int_{S} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{S}= \frac{Q}{\epsilon_{0}}=\int_V \frac{\rho}{\epsilon_{0}}dV$

最后得到電場的散度公式：
$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon}$
需要注意一點的是折柠，因為公式推導里面的V是任意的勉躺，所以電場散度公式對任意點成立【說法好像有點問題玖雁，之后修改---2020.3.1】
故有以下結論：

電場的散度只和該點的電荷有關缀旁，和遠處的電荷?關
電荷只激發(fā)臨近的電場记劈，遠處的場通過場的相互作?傳遞出去
庫倫定律->由電荷分布可以求出電場分布，電場散度公式->由電場分布也可以求出電荷分布

4.靜電場的環(huán)路定理

$\oint_\mathbf{l}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0$

證明過程如下：

5.靜電場的旋度

由靜電場的環(huán)路定理 $\oint_\mathbf{l}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0$ 和斯托克斯公式 $\int_{S}(\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d \mathbf{S}=\oint_{l} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l}$
得：
$\int_{S}(\nabla \times \mathbf{E}) \cdot d \mathbf{S}=\oint_{l} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l}=0$

可以得到靜電場的旋度公式：
$\nabla \times \mathbf{E}=0$
故有以下結論：

靜電場是無旋場
散度和旋度刻畫了電場的局域性質

其他證明過程：
$\nabla \times \mathbf{E}(x)=\int_{V^{\prime}} \frac{\rho\left(x^{\prime}\right)}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\nabla \times \frac{\mathbf{r}}{r^{3}}\right) d V^{\prime}$

其中運用上面得旋度定義： $\nabla \times \frac{\mathbf{r}}{r^{3}}=\left(\partial_{y} \frac{z-z^{\prime}}{r^{3}}-\partial_{z} \frac{y-y^{\prime}}{r^{3}}\right) \mathbf{e}_{x}+\left(\partial_{z} \frac{x-x^{\prime}}{r^{3}}-\partial_{x} \frac{z-z^{\prime}}{r^{3}}\right) \mathbf{e}_{y}+\left(\partial_{x} \frac{y-y^{\prime}}{r^{3}}-\partial_{y} \frac{x-x^{\prime}}{r^{3}}\right) \mathbf{e}_{z}=0$

這是因為： $\partial_{x} \frac{y-y^{\prime}}{r^{3}}=\partial_{y} \frac{x-x^{\prime}}{r^{3}}=-\frac{3}{2} \frac{\left(x-x^{\prime}\right)\left(y-y^{\prime}\right)}{r^{5}}$
所以： $\nabla \times \mathbf{E}=0$

最后編輯于：2020.03.02 17:30:58

?著作權歸作者所有,轉載或內容合作請聯系作者