定義設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈,點(diǎn)M0(x0,y0)(M∈D)的某一鄰域在D內(nèi)有定義,對(duì)于該鄰域內(nèi)異于M0的任何點(diǎn)(x,y),如果
? ?f(x,y)> f(xo,yo),
則稱點(diǎn)Mo(x,yo)是函數(shù)z=f(x,y)的一個(gè)極小值點(diǎn),稱f(x0,yo)為函數(shù)z=f(x,y)的一個(gè)極小值.如果
?f(x,y)< f(xo, yo),
則稱點(diǎn)Mo(xo,yo)是函數(shù)z=f(x,y)的一個(gè)極大值點(diǎn),稱f(xo,yo)為函數(shù)z=f(x,y)的一個(gè)極大值.
極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn);極小值和極大值統(tǒng)稱極值
顯然,如果二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(xo店乐，yo)取得極值,則一元函數(shù)z=f(x,yo)在點(diǎn)x取得極值,一元函數(shù)z=f(xo,y)在點(diǎn)yo取得極值,此得到極值點(diǎn)的必要條件
定理1(必要條件)設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(xo,yo)取得極值,且fx(xo,yo)买鸽，fy(o,yo)存
在,則? ? ?fx(xo,yo)=0,fy(xo,yo)=0.
稱兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)為二元函數(shù)z=f(x,y)的駐點(diǎn),駐點(diǎn)不一定就是極值點(diǎn)
(充分條件)設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)Mo(xo,yo)的某一鄰域內(nèi)連續(xù),且有連續(xù)的一二階偏導(dǎo)數(shù),又Mo(xo,yo)是駐點(diǎn),令
則(1)當(dāng)△<0時(shí),點(diǎn)Mo(x,yo)是極值點(diǎn).且當(dāng)A<0時(shí),點(diǎn)Mo(xo,yo)是極大值點(diǎn);當(dāng)A>0時(shí)怜械，Mo(x,y)是極小值點(diǎn);
(2)當(dāng)△>0時(shí),點(diǎn)Mo(x0,y)不是極值點(diǎn);
(3)當(dāng)△=0時(shí),Mo(x,yo)可能是極值點(diǎn),也可能不是極值點(diǎn),需另作討論
