參考: @CyC2018
正常實現(xiàn)
Input : [1,2,3,4,5]
key : 3
return the index : 2
public int binarySearch(int[] nums, int key) {
int l = 0, h = nums.length - 1;
while (l <= h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (nums[m] == key) {
return m;
} else if (nums[m] > key) {
h = m - 1;
} else {
l = m + 1;
}
}
return -1;
}
時間復(fù)雜度
二分查找也稱為折半查找哨鸭，每次都能將查找區(qū)間減半乳愉，這種折半特性的算法時間復(fù)雜度為 O(logN)垦垂。
mid 計算
有兩種計算中值 m 的方式：
- m = (l + h) / 2
- m = l + (h - l) / 2
l + h 可能出現(xiàn)加法溢出氓奈，也就是說加法的結(jié)果大于整型能夠表示的范圍葡幸。但是 l 和 h 都為正數(shù)氓仲，因此 h - l 不會出現(xiàn)加法溢出問題。所以鳍烁，最好使用第二種計算法方法叨襟。
未成功查找的返回值
循環(huán)退出時如果仍然沒有查找到 key，那么表示查找失敗幔荒『觯可以有兩種返回值：
- -1：以一個錯誤碼表示沒有查找到 key
- l：將 key 插入到 nums 中的正確位置
變種
二分查找可以有很多變種，實現(xiàn)變種要注意邊界值的判斷爹梁。例如在一個有重復(fù)元素的數(shù)組中查找 key 的最左位置的實現(xiàn)如下：
public int binarySearch(int[] nums, int key) {
int l = 0, h = nums.length - 1;
while (l < h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (nums[m] >= key) {
h = m;
} else {
l = m + 1;
}
}
return l;
}
該實現(xiàn)和正常實現(xiàn)有以下不同：
- h 的賦值表達式為 h = m
- 循環(huán)條件為 l < h
- 最后返回 l 而不是 -1
在 nums[m] >= key 的情況下右犹，可以推導(dǎo)出最左 key 位于 [l, m] 區(qū)間中，這是一個閉區(qū)間卫键。h 的賦值表達式為 h = m傀履，因為 m 位置也可能是解虱朵。
在 h 的賦值表達式為 h = m 的情況下莉炉，如果循環(huán)條件為 l <= h，那么會出現(xiàn)循環(huán)無法退出的情況碴犬，因此循環(huán)條件只能是 l < h絮宁。以下演示了循環(huán)條件為 l <= h 時循環(huán)無法退出的情況：
nums = {0, 1, 2}, key = 1
l m h
0 1 2 nums[m] >= key
0 0 1 nums[m] < key
1 1 1 nums[m] >= key
1 1 1 nums[m] >= key
...
當(dāng)循環(huán)體退出時，不表示沒有查找到 key服协，因此最后返回的結(jié)果不應(yīng)該為 -1绍昂。為了驗證有沒有查找到，需要在調(diào)用端判斷一下返回位置上的值和 key 是否相等偿荷。
因此窘游，對h和l的賦值總結(jié)如下：
h 的賦值和循環(huán)條件有關(guān)，當(dāng)循環(huán)條件為 l <= h 時跳纳，h = mid - 1忍饰；當(dāng)循環(huán)條件為 l < h 時，h = mid寺庄。解釋如下：在循環(huán)條件為 l <= h 時艾蓝，如果 h = mid力崇，會出現(xiàn)循環(huán)無法退出的情況，例如 l = 1赢织，h = 1亮靴，此時 mid 也等于 1，如果此時繼續(xù)執(zhí)行 h = mid于置，那么就會無限循環(huán)茧吊；在循環(huán)條件為 l < h，如果 h = mid - 1俱两，會錯誤跳過查找的數(shù)饱狂，例如對于數(shù)組 [1,2,3]，要查找 1宪彩，最開始 l = 0休讳，h = 2，mid = 1尿孔，判斷 key < arr[mid] 執(zhí)行 h = mid - 1 = 0俊柔，此時循環(huán)退出，直接把查找的數(shù)跳過了活合。
l 的賦值一般都為 l = mid + 1雏婶。
題目如下：
540.有序數(shù)組的Single Element（Medium）
153.旋轉(zhuǎn)數(shù)組的最小數(shù)字（Medium）
具體題目實現(xiàn)：
69.求開方（Easy）
思路：
一個數(shù) x 的開方 sqrt 一定在 0 ~ x 之間，并且滿足 sqrt == x / sqrt白指×敉恚可以利用二分查找在 0 ~ x 之間查找 sqrt。
對于 x = 8告嘲，它的開方是 2.82842...错维，最后應(yīng)該返回 2 而不是 3。在循環(huán)條件為 l <= h 并且循環(huán)退出時橄唬，h 總是比 l 小 1赋焕，也就是說 h = 2，l = 3仰楚，因此最后的返回值應(yīng)該為 h 而不是 l隆判。
public int mySqrt(int x) {
if (x <= 1) {
return x;
}
int l = 1, h = x;
while (l <= h) {
int mid = l + (h - l) / 2;
int sqrt = x / mid;
if (sqrt == mid) {
return mid;
} else if (mid > sqrt) {
h = mid - 1;
} else {
l = mid + 1;
}
}
return h;
}
441.擺硬幣（Easy）
有三種解法，分別是暴力解法僧界、二分查找侨嘀、數(shù)學(xué)解法，對應(yīng)的時間復(fù)雜度分別是O(n)捂襟、O(logn)咬腕、O(1)。
1. 暴力解法
public int arrangeCoins(int n) {
if (n<1) {
return 0;
}
int rowNum = 1;
int remain = n - rowNum;
while (remain >= rowNum + 1) {
rowNum++;
remain = remain - rowNum; //更新剩余的值
}
return rowNum;
}
2. 二分查找
//方法二：二分查找笆豁，時間復(fù)雜度O(LogN).
//思路就是找到一個k郎汪，使得所有和剛好大于n赤赊，那么k-1就是答案。這個假設(shè)是基于行號k=n煞赢。
//但是這個方法在leetcode中超出時間限制了
public int arrangeCoins(int n) {
int l = 0, h = n;
while(l <= n ) {
int mid = l + (h - l) / 2;
long tmp = mid * (mid + 1)/2;
if(tmp == n) return mid;
else if(tmp < n) l = mid + 1;
else h = mid - 1;
}
return h;
}
3. 數(shù)學(xué)解法
//用解方程的公式抛计，可以得到其正數(shù)解為：k = sqrt(2n + 1/4) - 1/2
//唯一的問題是這里2n + 1/4有可能會超出sqrt函數(shù)的參數(shù)范圍
//查一下sqrt函數(shù)的參數(shù)范圍吧，我也不清楚
public int arrangeCoins(int n) {
return (int)(Math.sqrt(2) * Math.sqrt(n + 0.125) - 0.5);
}
744.大于給定元素的最小元素（Easy）
題目描述：
給定一個有序的字符數(shù)組 letters 和一個字符 target照筑，要求找出 letters 中大于 target 的最小字符吹截，如果找不到就返回第 1 個字符。
public char nextGreatestLetter(char[] letters, char target) {
int n = letters.length;
int l = 0, h = n - 1;
while(l <= h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (letters[m] <= target) {
l = m + 1;
}else {
h = m - 1;
}
}
return l < n ? letters[l] : letters[0];
//? :運算符的意思是如果凝危？前面為真波俄，就返回：左邊的值，否則返回右邊的值
}
278.第一個錯誤版本（Easy）
題目描述：
給定一個元素 n 代表有 [1, 2, ..., n] 版本蛾默，在第 x 位置開始出現(xiàn)錯誤版本懦铺，導(dǎo)致后面的版本都錯誤≈ЪΓ可以調(diào)用 isBadVersion(int x) 知道某個版本是否錯誤冬念，要求找到第一個錯誤的版本。
思路：
- 如果第m個版本出錯牧挣，則表示第一個錯誤版本在[l,m]之間急前，則令h=m；否則第一個錯誤版本在[m+1,h]之間瀑构，令l=m+1;
- 因為h的賦值表達式為h=m裆针，則循環(huán)條件就是 l<h。
/* The isBadVersion API is defined in the parent class VersionControl.
boolean isBadVersion(int version); */
public class Solution extends VersionControl {
public int firstBadVersion(int n) {
int l = 1, h = n;
while(l < h) {
int mid = l + (h - l) / 2;
if (isBadVersion(mid)) {
h = mid;
}else {
l = mid + 1;
}
}
return l;
}
}
540.有序數(shù)組的Single Element（Medium）
題目描述：
一個有序數(shù)組只有一個數(shù)不出現(xiàn)兩次寺晌，找出這個數(shù)世吨。
輸入: [1,1,2,3,3,4,4,8,8]
輸出: 2
思路：
- 要求時間復(fù)雜度在O(1)~O(logn)，因此不能用遍歷數(shù)組并進行異或（如果a折剃、b兩個值不相同另假，則異或結(jié)果為1像屋。如果a怕犁、b兩個值相同，異或結(jié)果為0）操作來求解己莺，這么做的時間復(fù)雜度為O(n)奏甫。
- 令index為single element在數(shù)組中的位置。引入index之后凌受，index之前與index之后數(shù)組成對的狀態(tài)不同阵子。如果m為偶數(shù)，并且m+1<index（index之前）胜蛉，那么num[m] == num[m+1],若m+1 >= index挠进，那么num[m] != num[m+1]
- 從上面的規(guī)律可知色乾，如果num[m] == num[m+1]，則index所在的位置是[m+2,h]领突，此時令l = m+2暖璧；如果num[m] != num[m+1]，則index所在的位置是[l,m]君旦，此時令h = m澎办。
- 因為h的賦值表達式為h = m，那么循環(huán)條件應(yīng)為l < h金砍。
public int singleNonDuplicate(int[] nums) {
int l = 0, h = nums.length - 1;
while (l < h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (m % 2 == 1) {
m--; //保證m為偶數(shù)
}if (nums[m] == nums[m + 1]) {
l = m + 2;
}else {
h = m;
}
}
return nums[l];
}
153.旋轉(zhuǎn)數(shù)組的最小數(shù)字（Medium）
題目描述：
假設(shè)數(shù)組中不存在重復(fù)元素局蚀，找到原有序數(shù)組經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后得到的數(shù)組中的最小元素。
輸入: [3,4,5,1,2]
輸出: 1
思路：
只要mid位置上的元素比h位置上的元素小恕稠，就說明最小元素在m位置及m之前的位置琅绅，否則在m之后的位置
public int findMin(int[] nums) {
int l = 0, h = nums.length - 1;
while (l < h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (nums[m] <= nums[h]) {
h = m;
}else {
l = m + 1;
}
}
return nums[l];
}
以下題目保留：沒看懂沒想通
34.查找區(qū)間（Medium）
題目描述：
給定一個按照升序排列的整數(shù)數(shù)組 nums，和一個目標(biāo)值 target鹅巍。找出給定目標(biāo)值在數(shù)組中的開始位置和結(jié)束位置奉件。時間復(fù)雜度必須是 O(log n)。如果數(shù)組中不存在目標(biāo)值昆著，返回 [-1, -1]县貌。
輸入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
輸出: [3,4]
輸入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
輸出: [-1,-1]
這個題先保留，目前處于看答案也懵逼的狀態(tài)凑懂。煤痕。。接谨。摆碉。
可以用二分查找找出第一個位置和最后一個位置，但是尋找的方法有所不同脓豪，需要實現(xiàn)兩個二分查找巷帝。我們將尋找 target 最后一個位置，轉(zhuǎn)換成尋找 target+1 第一個位置扫夜，再往前移動一個位置楞泼。這樣我們只需要實現(xiàn)一個二分查找代碼即可。
public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
int first = findFirst(nums, target);
int last = findFirst(nums, target + 1) - 1;
if (first == nums.length || nums[first] != target) {
return new int[]{-1, -1};
} else {
return new int[]{first, Math.max(first, last)};
}
}
private int findFirst(int[] nums, int target) {
int l = 0, h = nums.length; // 注意 h 的初始值
while (l < h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (nums[m] >= target) {
h = m;
} else {
l = m + 1;
}
}
return l;
}
在尋找第一個位置的二分查找代碼中笤闯，需要注意 h 的取值為 nums.length堕阔，而不是 nums.length - 1。先看以下示例：
nums = [2,2], target = 2
如果 h 的取值為 nums.length - 1颗味，那么 last = findFirst(nums, target + 1) - 1 = 1 - 1 = 0超陆。這是因為 findLeft 只會返回 [0, nums.length - 1] 范圍的值，對于 findFirst([2,2], 3) 浦马，我們希望返回 3 插入 nums 中的位置时呀，也就是數(shù)組最后一個位置再往后一個位置张漂，即 nums.length。所以我們需要將 h 取值為 nums.length谨娜，從而使得 findFirst返回的區(qū)間更大鹃锈，能夠覆蓋 target 大于 nums 最后一個元素的情況。
