問題起源
在進(jìn)行路徑追蹤的過程中奕删，需要使用到蒙特卡洛積分墓贿，其中需要我們選擇采樣的概率分布函數(shù)距潘，初學(xué)時(shí)只需要使用均勻分布孕暇，也就是在對(duì)半球面積分時(shí)將設(shè)置為
即可仑撞，這樣子是能夠得到結(jié)果的，但是理論上均勻分布計(jì)算出來的結(jié)果往往方差較大妖滔，具體呈現(xiàn)出來的結(jié)果就是噪聲多隧哮，采樣的質(zhì)量差，需要更多次的采樣才能得到較好的結(jié)果座舍，后面學(xué)習(xí)到了重要性采樣沮翔，知道這種方法能夠顯著改善結(jié)果，但是一直都未能理解曲秉。
均與分布的不足
用最簡(jiǎn)單的一元積分為例采蚀，對(duì)于下述的積分
使用最簡(jiǎn)單的均勻采樣承二，在[a, b]上均勻間隔取N個(gè)點(diǎn)榆鼠，然后將累加的均值作為估計(jì)值，則得到如下結(jié)果
如果我們抽樣的次數(shù)趨近于無窮妆够，也就是N趨近于無窮，則和定積分的定義是相近的含義负蚊，也可以判斷出結(jié)果是準(zhǔn)確的（可以嚴(yán)格證明是無偏的）神妹，但是我們實(shí)際N的取值不會(huì)很大，這就會(huì)造成最終結(jié)果的偏差盖桥，如何才能減小這個(gè)偏差呢灾螃？
重要性采樣
重要性采樣的方法能夠在一定的抽樣數(shù)量的基礎(chǔ)上來增加準(zhǔn)確率、減少方差揩徊，本質(zhì)上是人為對(duì)抽樣進(jìn)行干預(yù)腰鬼，例如下圖
在圓形區(qū)域內(nèi)的函數(shù)值比方形區(qū)域的大，我們說它對(duì)整個(gè)采樣的貢獻(xiàn)是更大的塑荒，對(duì)于這個(gè)結(jié)論我是這樣理解的熄赡，先試想下
其中
總結(jié)
最初接觸重要性分布的時(shí)候總覺得無法理解缺虐，無法理解為什么均勻分布是不對(duì)的，直覺告訴我均勻分布看上去更加自然礁凡，更有一種“隨機(jī)感”高氮，同時(shí)也更加貼合學(xué)習(xí)定積分時(shí)切割求和的思想，通過尋找最理想的的表示顷牌，理解了蒙特卡洛積分本質(zhì)上應(yīng)該是大數(shù)定理的一種應(yīng)用剪芍，糾正了過去的錯(cuò)誤直覺。
