有界區(qū)域上二階線性橢圓方程解的存在性

感覺學(xué)得十分混亂, 所以有必要寫一篇筆記來捋一捋自己的思路, 盡量做到以簡(jiǎn)馭繁. 這篇筆記只考慮實(shí)系數(shù)方程.

我們考慮的區(qū)域 $\mathbb{R}^d$ 中的一個(gè)有界區(qū)域 $\Omega$ , 即連通開集. 現(xiàn)在暫時(shí)不要求邊界光滑, 所以正方體這種也在我們的考慮之列.

我們考慮一個(gè)映射 $L:{\cal D}'(\Omega)\rightarrow{\cal D}'(\Omega)$ , $u\mapsto Lu=\sum_{i,j}a_{ij}u_{x_ix_j}+\sum_ib_iu_{x_i}+cu$ , 其中實(shí)函數(shù) $a_{ij},b_i,c\in C^\infty(\Omega)$ . 系數(shù)的假定可能有些過強(qiáng), 但是為了語(yǔ)言上的方便我愿意做出這種犧牲, 尤其是為了使我們能夠把 $L$ 理解成這種映射的形式而不必去討論它的定義域. 另外對(duì)我而言, 在應(yīng)用中我也尚未遇到過不光滑的系數(shù), 所以這樣得到的結(jié)論暫時(shí)是完全夠用的.

我們還要假定 $L$ 是一致橢圓的, 即 $\exists\theta>0$ , 使得 $\forall x\in\Omega$ , $\forall\xi\in\mathbb{R}^n$ , 有 $\sum_{i,j}a_{ij}(x)\xi_i\xi_j\ge\theta|\xi|^2$ .

先說一下什么叫解. 我們先引入一個(gè)最廣義的解的定義, 我們稱之為分布解. 設(shè) $f\in{\cal D}'(\Omega)$ , 如果 $Lu=f$ (注意這個(gè)等號(hào)是 ${\cal D}'(\Omega)$ 中的等號(hào)), 那么我們稱 $u$ 是一個(gè)分布解.

對(duì)方程 $\Delta u=0$ 而言, 它是泛函 $J(u)=\int_\Omega|\nabla u|^2dx$ 的Euler-Lagrange方程. 出于這個(gè)物理上的考慮, 我們希望所尋找的解應(yīng)該至少落在 $H^1(\Omega)$ 里.

注意到如果 $u\in H^m(\Omega)$ , 由于 $L$ 是二階的微分算子, 所以有 $Lu\in H^{m-2}(\Omega)$ . 如果 $u\in H^1(\Omega)$ , 那么 $Lu\in H^{-1}(\Omega)$ , 所以如果 $Lu=f$ 在 $\mathcal{D}'(\Omega)$ 中成立的話, 我們至少應(yīng)該假定 $f\in H^{-1}(\Omega)$ .

現(xiàn)在我們來考慮邊界條件. 如果邊界條件是 $u|_{\partial\Omega}=0$ (即Dirichlet問題), 那么我們簡(jiǎn)單要求 $u\in H_0^1(\Omega)$ 即可. 其他邊界條件暫時(shí)先不考慮.

把上面的討論總結(jié)起來, 就是

定義1(弱解). 設(shè) $a_{ij},b_i,c\in C^\infty(\overline{\Omega})$ , $L:\mathcal{D}'(\Omega)\rightarrow\mathcal{D}'(\Omega)$ 如前定義, $f\in H^{-1}(\Omega)$ . 如果 $u\in H_0^1(\Omega)$ 滿足 $Lu=f$ ( $\mathcal{D}'(\Omega)$ 中的等號(hào)), 那么稱 $u$ 是問題
$\left\{\begin{aligned} &Lu=f\\ &u|_{\partial\Omega}=0 \end{aligned}\right.$
的弱解.

注意到等式兩端都是 $H^{-1}(\Omega)$ 內(nèi)的元素, 故經(jīng)過極限步驟, 我們知道試驗(yàn)函數(shù)可以取在 $H_0^1(\Omega)$ 內(nèi), 這樣就得到和Evans一模一樣的定義.

顯然 $L|_{H_0^1}$ (為方便我們也直接記作 $L$ , 下文中的 $L$ 們到底是 $L$ 還是 $L|_{H_0^1}$ , 讀者可以聯(lián)系上下文選擇合理的那個(gè), 我每寫下一個(gè) $L$ 時(shí)總會(huì)斟酌使得總有一個(gè)是合理的)是 $H_0^1$ 到 $H^{-1}$ 的有界算子. 為了說明對(duì)任何 $f\in H^{-1}$ , 都存在 $u\in H_0^1$ 滿足 $Lu=f$ , 我們只需要說明 $L$ 是滿的.

為了說明 $L$ 是滿的, 我們需要Lax-Milgram定理.

定理2(實(shí)的Lax-Milgram定理).設(shè) $H$ 是 $\mathbb{R}$ 上的Hilbert空間, $B$ 是 $H\times H$ 上的雙線性形式, 并且存在 $\alpha,\beta>0$ 使得 $\forall u,v\in H$ , $\left|B[u,v]\right| \le\alpha\|u\|\|v\|$ , $|B[u,u]|\ge\beta\|u\|^2$ , 則對(duì)任何 $f\in H^*$ , 存在唯一的 $u\in H$ 使得 $\forall v$ , $f(v)=B[u,v]$ .
證明. 見Riesz表示定理和Lax-Milgram定理. $\blacksquare$

在我們面對(duì)的情形里, 我們考慮的Hilbert空間為 $H_0^1$ , 雙線性形式為 $B[u,v]=\langle -Lu,v\rangle$ . 因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=u%5Cin%20H_0%5E1" alt="u\in H_0^1" mathimg="1">時(shí), $Lu\in H^{-1}$ , 所以這個(gè)配對(duì)是沒問題的. 只要我們能驗(yàn)證 $|\langle Lu,v\rangle|\le\alpha\|u\|_{H_0^1}\|v\|_{H_0^1}$ , $|\langle -Lu,u\rangle|\ge\beta\|u\|_{H_0^1}$ , 那么由上述定理, 對(duì)任何 $f\in H^{-1}$ , 都存在唯一的 $u\in H_0^1$ 使得 $Lu=f$ .

現(xiàn)在我們就來驗(yàn)證這個(gè)雙線性形式的連續(xù)性和強(qiáng)制性是否成立. 連續(xù)性由 $\|Lu\|_{H^{-1}}\lesssim_{a_{ij},b_i,c}\|u\|_{H_0^1}$ 得到, 關(guān)于強(qiáng)制性, 我們有:

定理3(G?rding不等式). 存在 $C=C(L)>0$ 使得 $\forall u\in H_0^1$ , 有
$\langle -Lu,u\rangle\ge\frac{\theta}{2}\|u\|_{H_0^1}^2-C\|u\|_{L^2}^2$
這里的 $\theta$ 是 $L$ 的一致橢圓性的那個(gè)系數(shù).

這看起來離強(qiáng)制性還差一點(diǎn). 但是我們注意到當(dāng) $\lambda>C(L)$ 時(shí), 有 $\langle(-L+\lambda)u,u\rangle\ge\frac{\theta}{2}\|u\|_{H_0^1}^2$ , 即 $-L+\lambda$ 伴隨的雙線性形式是有強(qiáng)制性的, 由此我們立刻得到如下定理:

定理4(第一存在性定理). 當(dāng) $\lambda>C(\lambda)$ 時(shí)(這里的 $C(\lambda)$ 是G?rding不等式中所定義的), 對(duì)任何 $f\in H^{-1}$ , 都存在著唯一的 $u\in H_0^1$ 使得 $(L-\lambda)u=f$ .

這個(gè)定理說明 $L-\lambda:H_0^1\rightarrow H^{-1}$ 是滿的, 另外注意到 $L-\lambda$ 是有界的, 并且再由 $\langle(-L+\lambda)u,u\rangle\ge\frac{\theta}{2}\|u\|_{H_0^1}^2$ 得到 $\|(L-\lambda)u\|_{H_{-1}}\ge\frac{\theta}{2}\|u\|_{H_0^1}$ , 從而 $L-\lambda$ 是兩個(gè)Banach空間之間的線性同胚.

第一存在性定理看起來不錯(cuò), 但它沒有回答 $Lu=f$ 的可解性. 為了回答這個(gè)問題, 我們接下來將會(huì)假設(shè) $f\in L^2$ , 而不再是原先的 $f\in H^{-1}$ (因?yàn)闆]有能力做到 $H^{-1}$ 里的可解性).

在此之前, 我們還要引入 $L$ 的形式伴隨 $L^*:\mathcal{D}'(\Omega) \rightarrow\mathcal{D}'(\Omega)$ , 定義為 $L^*u=\sum_{i,j}(a_{ij}v)_{x_ix_j}-\sum_i(b_iv)_{x_i}+cv$ . 分部積分告訴我們, 當(dāng) $u,v$ 一個(gè)屬于 $\mathcal{D}'(\Omega)$ 一個(gè)屬于 $C_c^\infty(\Omega)$ 時(shí)(無所謂順序), $\langle Lu,v\rangle=\langle u,L^*v\rangle$ . 當(dāng) $u,v\in H_0^1$ 時(shí), 可以取 $\{v_n\}\subset H_0^1$ 且在 $H_0^1$ 中 $v_n\rightarrow v$ . 來看 $\langle Lu,v_n\rangle=\langle u,L^*v_n\rangle$ , 該式左邊由于 $Lu\in H^{-1}$ 可以知道是趨于 $\langle Lu,v\rangle$ 的, 右邊由于 $L^*$ 是 $H_0^1$ 到 $H^{-1}$ 的有界線性算子知也趨于 $\langle u,L^*v\rangle$ , 故 $\langle Lu,v\rangle=\langle u,L^*v\rangle$ .

我們以下總假設(shè) $\lambda>\max(C(L),C(L^*))$ , 那么此時(shí) $L-\lambda,L^*-\lambda$ 是 $H_0^1$ 到 $H^{-1}$ 的線性同胚, $(L-\lambda)^{-1},(L^*-\lambda)^{-1}$ 是 $H^{-1}$ 到 $H_0^1$ 的線性同胚, 把它們限制到 $L^2\subset H^{-1}$ 上, 并且和 $i:H_0^1\hookrightarrow L^2$ 復(fù)合起來, 得到 $i(L-\lambda)^{-1}|_{L^2},i(L^*-\lambda)^{-1}|_{L^2}$ , 把這兩個(gè)算子分別記作 $M,M^*: L^2\rightarrow L^2$ . 由緊嵌入定理, 當(dāng) $\partial\Omega\in C^1$ 時(shí), $i$ 是緊的, 從而 $M,M^*$ 是緊的.

現(xiàn)在我們把 $Lu=f$ 改寫為 $(L-\lambda)u+\lambda u=f$ , 兩邊作用 $(L-\lambda)^{-1}$ 得到 $u+\lambda Mu=Mf$ .

引理5. 設(shè) $f\in L^2$ . 以下陳述是等價(jià)的:
(1)存在 $u\in H_0^1$ 使得 $Lu=f$ ;
(2)存在 $u\in L^2$ 使得 $u+\lambda Mu=Mf$ .
證明. (1)推(2): 把 $Lu=f$ 改寫為 $(L-\lambda)u+\lambda u=f$ , 注意兩邊都屬于 $H^{-1}$ , 故可以兩邊作用 $(L-\lambda)^{-1}$ 得到 $u+\lambda Mu=Mf$ .
(2)推(1): 由條件有 $u+\lambda(L-\lambda)^{-1}u=(L-\lambda)^{-1}f$ , 我們很想兩邊作用 $L-\lambda$ , 為此得先檢查是不是每個(gè)元素都屬于 $H_0^1$ . 顯然 $\lambda Mu,Mf\in H_0^1$ , 故 $u\in H_0^1$ , 這樣我們可以放心作用 $L-\lambda$ 得到 $Lu=f$ . $\blacksquare$

更一般地, 我們有

引理6. 設(shè) $f\in L^2$ , 則:
(1) $u\in H_0^1,Lu=f\Leftrightarrow u\in L^2, u+\lambda Mu=Mf$ ;
(2) $u\in H_0^1,Lu=f\Leftrightarrow 0\in L^2, u+\lambda Mu=0$ ;
(3) $u\in H_0^1,L^*u=f\Leftrightarrow u\in L^2, u+\lambda M^*u=M^*f$ ;
(4) $u\in H_0^1,L^*u=0\Leftrightarrow u\in L^2, u+\lambda M^*u=0$ ;
證明. 和上一個(gè)引理的證明完全類似. $\blacksquare$

由于 $M,M^*$ 是分別通過 $L,L^*$ 來定義的, 現(xiàn)在我們要說明, 作為 $L^2$ 到 $L^2$ 的有界線性算子, $M^*$ 恰恰是 $M$ 的伴隨.

引理7. $M^*$ 是 $M$ 的伴隨, 即對(duì)任何 $f,g\in L^2$ , 有 $(Mf,g)_{L^2}=(f,M^*g)_{L^2}$ .
證明. $(Mf,g)_{L^2}=((L-\lambda)^{-1}f,(L^*-\lambda)(L^*-\lambda)^{-1}g)_{L^2}$ $=((L^*-\lambda)(L-\lambda)^{-1}f,(L^*-\lambda)^{-1}g)_{L^2}=(f,M^*g)_{L^2}$ .

這樣一來, 我們就把橢圓方程的可解性化為一個(gè)抽象的和緊算子有關(guān)的可解性問題. 為此我們需要以下定理:

定理8. 設(shè) $H$ 是實(shí)的Hilbert空間, $K:H\rightarrow H$ 是緊的, 那么:
(1) $\operatorname{im}(I-K)=\ker(I-K^*)^\perp$
(2) $\dim\ker(I-K)=\dim\ker(I-K^*)<\infty$ .

由這個(gè)定理, 把 $-\lambda M$ 視為 $K$ , 我們可以得知 $u+\lambda Mu=Mf$ 有解 $u$ , 當(dāng)且僅當(dāng) $\forall v$ 滿足 $v+\lambda M^*v=0$ , 都有 $(Mf,v)_{L^2}=0$ . 我們把這句話翻譯一下, 就是 $Lu=f$ 有解 $u$ , 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何 $v$ 滿足 $L^*v=0$ , 均有 $0=(Mf,v)_{L^2}=(f,M^*v)_{L^2}=(f,-v/\lambda)_{L^2}$ , 或者說 $(f,v)_{L^2}=0$ .

總結(jié)起來, 我們有

定理9(第二存在性定理). 設(shè) $\partial\Omega\in C^1$ (或者至少 $H_0^1(\Omega)\hookrightarrow L^2(\Omega)$ 是緊的), $f\in L^2$ , 則以下兩條等價(jià):
(1) $Lu=f$ 有解 $u\in H_0^1$ ;
(2)對(duì)任何 $v\in H_0^1$ 是 $L^*v=0$ 的弱解, 均有 $(f,v)_{L^2}=0$ .
并且如果 $Lu=0$ 只有零解時(shí), 對(duì)每個(gè) $f\in L^2$ , $Lu=f$ 均有唯一解.

最后我們來討論特征值問題, 即方程 $Lu=\lambda u$ , 邊界條件依然是 $u|_{\partial\Omega}=0$ . 先做一個(gè)簡(jiǎn)單的觀察: 設(shè) $\lambda_0=C(L)$ 如G?rding不等式中所定義, 這樣 $L-\lambda_0$ 是 $H_0^1$ 到 $H^{-1}$ 的線性同胚,并且對(duì)任何 $v\in H_0^1$ , 有 $\langle -Lv+\lambda_0v,v\rangle\ge\frac{\theta}{2}\|v\|_{H_0^1}^2$ . 如果 $Lu=\lambda u$ , 那么 $(L-\lambda_0)u=(\lambda-\lambda_0)u$ , 從而 $-(\lambda-\lambda_0)\|u\|_{L^2}^2=-\langle(\lambda-\lambda_0)u,u\rangle\ge\frac{\theta}{2}\|u\|_{H_0^1}^2\ge0$ , 所以我們得知 $\lambda\le\lambda_0$ .

為了更進(jìn)一步, 我們還是得把方程改寫為和緊算子有關(guān)的形式: $Lu=\lambda u\Leftrightarrow (L-\lambda_0)u=(\lambda-\lambda_0)u\Leftrightarrow u=(\lambda-\lambda_0)Mu$ , 其中 $M=(L-\lambda_0)^{-1}$ 是 $L^2$ 上的緊算子. 從此可以看出, $Lu=\lambda u$ 有除了零解以外的解, 當(dāng)且僅當(dāng) $1/(\lambda-\lambda_0)$ 是 $M$ 的點(diǎn)譜.

那么我們就需要知道緊算子的譜是什么樣的. 事實(shí)上我們有:

定理10.設(shè) $H$ 是實(shí)Hilbert空間, $\dim H=\infty$ , $K\in B(H)$ 是緊的. 那么
(1) $0\in\sigma(K)$ ;
(2) $\sigma(K)\setminus\{0\}\subset\sigma_p(K)$ ;
(3) $\sigma(K)\setminus\{0\}$ 要么是有限集, 要么是僅以0為聚點(diǎn)的可數(shù)集.

從這個(gè)定理我們知道, 如果記 $\Sigma=\{\lambda\in\mathbb{R}|\exists u\ne0, Lu-\lambda u=0\}$ , 那么 $\Sigma$ 要么是有限集, 要么 $\{1/(\lambda-\lambda_0)|\lambda\in\Sigma\}$ 是一列趨于0的實(shí)數(shù)列, 這說明 $\Sigma$ 僅以 $-\infty$ 為其聚點(diǎn)(注意 $\sup\Sigma\le\lambda_0$ !), 故 $\Sigma$ 中的元素可以按順序排列為 $\{\lambda_i\}_{i=1}^\infty$ , 其中 $-\infty<\cdots<\lambda_2<\lambda_1\le\lambda_0$ .

最后編輯于：2020.08.05 22:35:21

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