如何檢查一組區(qū)間中是否存在兩個(gè)區(qū)間有交集

假設(shè)有N個(gè)區(qū)間,將它們表達(dá)為

撬呢,其中下標(biāo)i位于區(qū)間

為了判定這組區(qū)間中是否存在兩個(gè)區(qū)間是有重疊的魂拦,首先對(duì)這組區(qū)間進(jìn)行排序芯勘,使得對(duì)于排序后的每一個(gè)區(qū)間

而言借尿,都有
(這里的i小于N-1)。

為了說明要如何判定這些區(qū)間中是否存在重疊茂契,首先我們假設(shè)這其中確實(shí)存在著至少兩個(gè)這樣的區(qū)間掉冶,假設(shè)分別是第j個(gè)和第k個(gè)(假設(shè)j小于k)厌小,它們必然會(huì)滿足這樣的關(guān)系

這是因?yàn)槿绻?div id="mpdko2y" class="image-package">

战秋,那么所有位于區(qū)間
中的數(shù)都將會(huì)小于 b_k璧亚,那么第j個(gè)區(qū)間與第k個(gè)區(qū)間就不可能有交集了,因此上述不等式一定成立脂信。再加上這一組區(qū)間都是按照區(qū)間的下界遞增排序的癣蟋,那么必然有

假設(shè)

,由于k和j都是正整數(shù)狰闪,這意味著在第j和第k個(gè)區(qū)間之間疯搅,必然還存在著一個(gè)區(qū)間l,那么這個(gè)區(qū)間的必然滿足

這就意味著第j個(gè)區(qū)間和第l個(gè)區(qū)間也存在交集埋泵,它們的交集是子區(qū)間

(這里假設(shè)
)幔欧。這就說明了规阀,如果可以在一組區(qū)間中找到兩個(gè)不相鄰的區(qū)間滋饲,它們存在重疊的部分箍鼓,那么一定可以找到第三個(gè)區(qū)間铐殃,使得這個(gè)區(qū)間與其中的一個(gè)區(qū)間也存在重疊。

這表示如果我們要判定一組區(qū)間是否存在重疊,那么只需要先將它們基于區(qū)間的起點(diǎn)按照遞增排序后民假,比較每一對(duì)相鄰的兩個(gè)區(qū)間是否存在重疊即可。

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