高級(jí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 15：多值選擇模型(基礎(chǔ))

此文內(nèi)容為《高級(jí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)及STATA應(yīng)用》的筆記陪白，陳強(qiáng)老師著，高等教育出版社出版叠荠。

我只將個(gè)人會(huì)用到的知識(shí)作了筆記盹沈，并對(duì)教材較難理解的部分做了進(jìn)一步闡述。為了更易于理解袜香，我還對(duì)教材上的一些部分（包括證明和正文）做了修改撕予。

僅供學(xué)習(xí)參考，請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載蜈首，侵刪实抡！

12 多值選擇模型
- 12.1 二值選擇模型的微觀(guān)基礎(chǔ)
  - 12.1.1 潛變量
  - 12.1.2 隨機(jī)效用最大化模型
- 12.2 多項(xiàng) Logit 與多項(xiàng) Probit
- 12.3 條件 Logit 模型
- 12.4 混合 Logit 模型

$\S \text{ 第 12 章 } \S$

$\text{多值選擇模型}$

12.1 二值選擇模型的微觀(guān)基礎(chǔ)

為了將二值模型拓展到多值的情況欠母，我們首先要理解二值選擇模型的經(jīng)濟(jì)意義。

12.1.1 潛變量

在上一篇文章的 Probit 和 Logit 模型中似乎看不到擾動(dòng)項(xiàng)的存在吆寨。為此赏淌，我們先考察二值選擇模型的微觀(guān)基礎(chǔ)。對(duì)于二值選擇模型啄清，通沉可以用一個(gè)潛變量（latent varibale）來(lái)概括該行為的凈收益。如果凈收益大于 0 則選擇做辣卒；否則選擇不做掷贾。假設(shè)凈收益為：
$y^{*}=\boldsymbol x^{\prime}\boldsymbol \beta+\boldsymbol\varepsilon$
其中，凈收益 $y^\star$ 為潛變量荣茫，不可觀(guān)測(cè)想帅。上面的式子也稱(chēng)為指數(shù)函數(shù)（ index function ），個(gè)體的選擇規(guī)則為：
$y=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \text { 若 } y^{*}>0 \\ 0, & \text { 若 } y^{*} \leqslant 0 \end{array}\right.$
于是：
$\mathrm{P}(y=1 | \boldsymbol{x})=\mathrm{P}\left(y^{*}>0 | \boldsymbol{x}\right)=\mathrm{P}\left(\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+\varepsilon>0 | \boldsymbol{x}\right)=\mathrm{P}\left(\varepsilon>-\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{\beta} | \boldsymbol{x}\right)$
假設(shè) $\boldsymbol\varepsilon \sim N(0,\sigma^2)$ 或服從邏輯分布啡莉，那么：
$\mathrm{P}(y=1 | \boldsymbol{x})=\mathrm{P}\left(\varepsilon>-\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{\beta} | \boldsymbol{x}\right)=\mathrm{P}\left(\varepsilon<\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{\beta}\right)=F_{\varepsilon}\left(\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{\beta}\right)$
其中港准， $F_{\varepsilon}\left(\cdot\right)$ 為 $\boldsymbol\varepsilon$ 的累積分布函數(shù)，上面的第二個(gè)等號(hào)用到了密度函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)咧欣。這個(gè)形式與高級(jí)計(jì)量14中的二值選擇模型的形式相同叉趣，均為：
$\mathrm{P}(y=1 | \boldsymbol{x}) = 擾動(dòng)項(xiàng)的累積分布函數(shù)在\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{\beta} 的取值$
所以看似不存在的擾動(dòng)項(xiàng)其實(shí)是被包含在分布函數(shù)里頭了。

需要注意的是该押，對(duì)于常數(shù) $k>0$ 疗杉， $\mathrm{P}\left(\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol\varepsilon>0 \right) = \mathrm{P}\left(k\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+k\boldsymbol\varepsilon>0 \right)$ 。如果擾動(dòng)項(xiàng)的方差為 $\sigma^2 = {\rm Var}(\boldsymbol\varepsilon)$ 那么 ${\rm Var}(k\boldsymbol\varepsilon) = k^2\sigma^2$ 蚕礼，于是我們發(fā)現(xiàn) $\left(k\boldsymbol{\beta},k^2\sigma^2\right)$ 對(duì)模型的擬合與 $\left(\boldsymbol{\beta},\sigma^2\right)$ 完全一樣烟具。所以我們無(wú)法同時(shí)識(shí)別（ identify ） $\boldsymbol{\beta}$ 與 $\sigma^2$ 。為此奠蹬，我們通常人為地令擾動(dòng)項(xiàng)的方差 $\sigma^2=1$ 即 $\boldsymbol\varepsilon\sim N(0,1)$ 朝聋；而對(duì)于 Logit 模型，則令擾動(dòng)項(xiàng)的方差為 $\frac{\pi^2}{3}$

12.1.2 隨機(jī)效用最大化模型

另外一種關(guān)鍵的微觀(guān)基礎(chǔ)為隨機(jī)效用最大化模型（ Random utility Maximization, RUM）囤躁。假設(shè)選擇 $a$ 則可以帶來(lái)效用 $U_a$ 冀痕；選擇 $b$ 則可以帶來(lái)效用 $U_b$ 。如果滿(mǎn)足 $U_a>U_b$ 狸演，那么就選 $a$ 言蛇，記 $y=1$ ；如果 $U_a \leqslant U_b$ 那么就選擇 $b$ 記為 $y=0$ 宵距。由于存在很多決定效用的未知因素以及未來(lái)的不確定性腊尚，效用方程中包含一個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)，故名隨機(jī)效用满哪。假設(shè) $U_{a}=\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{\beta}_{a}+\boldsymbol\varepsilon_{a}$ 婿斥， $U_劝篷=\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{\beta}_+\boldsymbol{\varepsilon}_民宿$ 那么：
$\begin{aligned} \mathrm{P}(y=1 | \boldsymbol{x}) &=\mathrm{P}\left(U_{a}>U_娇妓 | \boldsymbol{x}\right) \\ &=\mathrm{P}\left(\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{\beta}_{a}+\boldsymbol\varepsilon_{a}>\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{\beta}_+\boldsymbol\varepsilon_活鹰 | \boldsymbol{x}\right) \\ &=\mathrm{P}\left[\boldsymbol{x}^{\prime}\left(\boldsymbol{\beta}_{a}-\boldsymbol{\beta}_峡蟋\right)+\left(\boldsymbol\varepsilon_{a}-\boldsymbol\varepsilon_\right)>0 | \boldsymbol{x}\right] \end{aligned}$
定義 $\boldsymbol{\beta} \equiv \boldsymbol{\beta}_{a}-\boldsymbol{\beta}_华望$ 以及 $\boldsymbol\varepsilon \equiv \boldsymbol\varepsilon_{a}-\boldsymbol\varepsilon_$ 仅乓，于是又會(huì)得到我們前面的表達(dá)式： $\mathrm{P}\left(\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+\varepsilon>0 | \boldsymbol{x}\right)$ 赖舟，說(shuō)明潛變量和隨機(jī)效應(yīng)最大化模型雖然嘗試從不同的經(jīng)濟(jì)意義理解二值選擇模型，但最終其表達(dá)式是一樣的夸楣。

在隨機(jī)效用最大化模型中：

如果 $\boldsymbol\varepsilon_{a}$ 和 $\boldsymbol\varepsilon_宾抓$ 服從正態(tài)且相互獨(dú)立，則 $(\boldsymbol\varepsilon_{a}-\boldsymbol\varepsilon_豫喧)$ 也服從正態(tài)分布石洗，此時(shí)只要將 ${\rm Var}(\boldsymbol\varepsilon_{a}-\boldsymbol\varepsilon_)$ 標(biāo)準(zhǔn)化為 1紧显，即得到 Probit 模型讲衫。
如果 $\boldsymbol\varepsilon_{a}$ 和 $\boldsymbol\varepsilon_$ I型極值分布（ Type I extreme value distribution ）正態(tài)且相互獨(dú)立孵班，那么 $(\boldsymbol\varepsilon_{a}-\boldsymbol\varepsilon_涉兽)$ 也服從邏輯分布。

I型極值分布篙程，即累積分布函數(shù)為
$F(\boldsymbol\varepsilon) = \exp\left\{-e^{-\varepsilon}\right\}$
的分布枷畏。證明參見(jiàn) Cameron & Trivedi (2005, p.486)

隨機(jī)效用最大化模型的優(yōu)點(diǎn)是比較容易推廣到多值選擇模型，我們下面馬上講解它的應(yīng)用虱饿。

12.2 多項(xiàng) Logit 與多項(xiàng) Probit

個(gè)體面臨的選擇有時(shí)候是多值的拥诡，而不僅僅是二值的。比如氮发，交通工具的選擇渴肉、職業(yè)的選擇，等等爽冕。假設(shè)個(gè)體的候選方案為 $y=1,2,\cdots,J$ 宾娜，其中 $J\in N^\star$ 。如果 $J=2$ 扇售，那么多值選擇模型退化為二值選擇前塔。

使用隨機(jī)效用法嚣艇，假設(shè)個(gè)體 $i$ 選擇方案 $j$ 所帶來(lái)的效用為：
$U_{i j}=\boldsymbol{x}_{i}^{\prime} \boldsymbol{\beta}_{j}+\boldsymbol\varepsilon_{i j} \quad(i=1, \cdots, n ; j=1, \cdots, J)$
其中，解釋變量 $\boldsymbol{x}_{i}$ 只隨個(gè)體 $i$ 而變华弓，不隨方案 $j$ 而變食零。比如，個(gè)體的性別寂屏、年齡贰谣、收入等特征。這種解釋變量被稱(chēng)為只隨個(gè)體而變（ case-specific ）或不隨方案而變（ alternative-invariant ）迁霎。系數(shù) $\boldsymbol{\beta}_{j}$ 帶下標(biāo)吱抚，表明 $\boldsymbol{x}_{i}$ 對(duì)隨機(jī)效用 $U_{i j}$ 的作用取決于方案 $j$ ，在概率表達(dá)式中考廉，表現(xiàn)為對(duì) $\boldsymbol{x}_{i}$ 的條件概率秘豹。

顯然，當(dāng)且僅當(dāng)方案 $j$ 帶來(lái)的效用高于所有的其他方案昌粤，個(gè)體 $i$ 才會(huì)選擇方案 $j$ 既绕。所以個(gè)體 $i$ 選擇 $j$ 的概率可以寫(xiě)為：
$\begin{aligned} \mathrm{P}\left(y_{i}=j | \boldsymbol{x}_{i}\right) &=\mathrm{P}\left(U_{i j} \geqslant U_{i k}, \forall k \neq j\right) \\ &=\mathrm{P}\left(U_{i k}-U_{i j} \leqslant 0, \forall k \neq j\right) \\ &=\mathrm{P}\left(\varepsilon_{i k}-\varepsilon_{i j} \leqslant \boldsymbol{x}_{i}^{\prime} \boldsymbol{\beta}_{j}-\boldsymbol{x}_{i}^{\prime} \boldsymbol{\beta}_{k}, \forall k \neq j\right) \end{aligned} \quad (12.2)$
假設(shè) $\{\varepsilon_{ij}\}$ 為 $\text{i.i.d.}$ 且服從 $\rm I$ 型極值分布，則可證明：
$P\left(y_{i}=j | \boldsymbol{x}_{i}\right)=\frac{\exp \left(\boldsymbol{x}_{i}^{\prime} \boldsymbol{\beta}_{j}\right)}{\sum \limits_{k=1}^{J} \exp \left(\boldsymbol{x}_{i}^{\prime} \boldsymbol{\beta}_{k}\right)}$
顯然涮坐，各方案的概率之和為1凄贩。上面的方程是對(duì)二值選擇 Logit 模型的自然推廣。需要注意的是袱讹，我們無(wú)法同時(shí)識(shí)別所有的系數(shù) $\boldsymbol \beta_k$ 疲扎，這是因?yàn)槿绻麑⑾禂?shù) $\boldsymbol \beta_k$ 變?yōu)? $\boldsymbol \beta_k+\boldsymbol\alpha$ ，完全不會(huì)影響模型的擬合捷雕。為此评肆，通常讓某個(gè)方案（比如方案1）的系數(shù)為 $\beta_1=0$ ，即讓它成為參照方案（ base category ）非区，于是瓜挽，個(gè)體 $i$ 選擇方案 $j$ 的概率為：
$\mathrm{P}\left(y_{i}=j | \boldsymbol{x}_{i}\right)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{1+\sum\limits_{k=2}^{J} \exp \left(\boldsymbol{x}_{i}^{\prime} \boldsymbol{\beta}_{k}\right)} & (j=1) \\ \frac{\exp \left(\boldsymbol{x}_{i}^{\prime} \boldsymbol{\beta}_{j}\right)}{1+\sum\limits_{k=2}^{J} \exp \left(\boldsymbol{x}_{i}^{\prime} \boldsymbol{\beta}_{k}\right)} & (j=2, \cdots, J) \end{array}\right.$
其中， $j=1$ 所對(duì)應(yīng)的方案為參照方案征绸。此模型稱(chēng)為多項(xiàng) Logit （ Multinomial Logit ）久橙，可以用 MLE 進(jìn)行估計(jì)，個(gè)體 $i$ 的似然函數(shù)為：
$L_{i}\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{j}\right)=\prod_{j=1}^{j}\left[\mathrm{P}\left(y_{i}=j | \boldsymbol{x}_{i}\right)\right]^{\boldsymbol 1\left(\gamma_{i}=j\right)}$
其中管怠， $\boldsymbol 1(\cdot)$ 為示性函數(shù)（ indicator function ）淆衷，即如果括號(hào)中的表達(dá)式成立，則取值為1渤弛；反之取值為0祝拯。將所有個(gè)體的對(duì)數(shù)似然函數(shù)加總，即得到整個(gè)樣本的對(duì)數(shù)似然函數(shù)，將其最大化就可以得到參數(shù)估計(jì)值 $\hat{\boldsymbol\beta}_1,\cdots,\hat{\boldsymbol\beta}_J$ 佳头。

另外鹰贵，如果在 $(12.2)$ 中假設(shè) $\{\boldsymbol\varepsilon_{i1},\cdots,\boldsymbol\varepsilon_{iJ}\}$ 服從 $J$ 維正態(tài)分布，則可以得到多項(xiàng) Probit（ Multinomial Probit ）模型康嘉，但該模型的選擇概率設(shè)計(jì)高維積分碉输，不好計(jì)算。

在多項(xiàng) Logit 模型中亭珍，是有多個(gè)參數(shù)向量需要估計(jì)的敷钾。這一點(diǎn)與普通的線(xiàn)性回歸不大一樣?，因?yàn)榫€(xiàn)性模型的參數(shù)向量 $\boldsymbol\beta$ 只有一個(gè)肄梨。你可以簡(jiǎn)單地把多項(xiàng) Logit 回歸理解為：**個(gè)體選擇方案 ** $j$ 的概率的回歸阻荒，既然有 $j$ 種方案，那自然要回歸 $j$ 次众羡，也就有了 $j$ 個(gè) $\boldsymbol\beta$ 啦侨赡。然而，受制于識(shí)別問(wèn)題纱控，我們會(huì)選擇一個(gè)參照方案，讓它的 $\boldsymbol\beta_{參照}=0$ 菜秦，于是我們實(shí)際上要計(jì)算的參數(shù)向量其實(shí)只有 $j-1$ 個(gè)

其實(shí)我們看看教材給的例子就看得懂了：

在下面的回歸中甜害，我們研究職業(yè)的選擇。假設(shè)有四種工作球昨，分別是：服務(wù)員尔店、藍(lán)領(lǐng)、工匠主慰、白領(lǐng)嚣州；個(gè)體有3種“特征”：是否為白人淮捆、受教育水平溢陪、工齡。然后我們將這三種特征作為解釋變量對(duì)職業(yè)的類(lèi)別進(jìn)行回歸：
$occ(職業(yè)) \leftarrow white,education ,experience$
在 Stata 中可以用 mlogit occ white ed exper 進(jìn)行多項(xiàng) Logit 回歸障陶，報(bào)表如下：

可以發(fā)現(xiàn)藐不，每一個(gè)工種 $occ$ 實(shí)際上都有自己的參數(shù)向量 $\boldsymbol\beta_{occ}$ 匀哄。上面的報(bào)表的意義是，在給定的顯著性水平上：

白人（white）更不可能選擇服務(wù)業(yè)或工匠雏蛮，但是否白人對(duì)選擇藍(lán)領(lǐng)和白領(lǐng)沒(méi)有顯著影響

受教育程度越高涎嚼，越不可能選擇專(zhuān)家（最后一行Prof）以外的職業(yè)

工齡越長(zhǎng)，越不可能選擇服務(wù)業(yè)和藍(lán)領(lǐng)挑秉；而且工齡對(duì)選擇工匠和白領(lǐng)并無(wú)顯著影響

注意上面解釋回歸結(jié)果時(shí)法梯，我們都用了可能，這是從 Logit 模型的經(jīng)濟(jì)意義而來(lái)的

12.3 條件 Logit 模型

多項(xiàng) Logit 模型僅考慮不隨方案而變的解釋變量（比如犀概，膚色）立哑，但有些解釋變量可能既隨個(gè)體而變夜惭，也隨方案而變，比如刁憋，考慮以下的一個(gè)情景：

在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中滥嘴，我們的數(shù)據(jù)是這樣的：個(gè)體A選擇了火車(chē)，個(gè)體B選擇了汽車(chē)至耻，個(gè)體C也選擇了火車(chē)若皱；而且我們也知道不同個(gè)體的一些特征變量，比如尘颓，他們的年齡走触、性別、民族疤苹、收入等互广。

依據(jù)這些個(gè)體的特征變量作為控制變量，我們用核心解釋變量(比如接受教育的程度)來(lái)預(yù)測(cè)個(gè)體的交通工具選擇行為：
$交通工具 \leftarrow 年齡, 性別,民族,收入,受教育程度^\star$
問(wèn)題是我們并沒(méi)有把各個(gè)不同方案本身的特征變量考慮進(jìn)來(lái)：乘坐火車(chē)卧土、飛機(jī)和汽車(chē)這三種交通工具本身有比如路途耗費(fèi)時(shí)間惫皱、路途耗費(fèi)精力、路途耗費(fèi)的資金尤莺、路途的舒適程度等特征旅敷。這些來(lái)自于方案本身的特征因素很多時(shí)候可能比我們之前基于個(gè)體的特征因素對(duì)個(gè)體的出行交通工具選擇的影響要大得多。

基于這樣的邏輯颤霎，我們可以完全不用考慮個(gè)體特征媳谁，反而是把這些方案本身的特征變量作為控制變量去預(yù)測(cè)個(gè)體的出行方案選擇，這就是條件 Logit 模型的由來(lái)

我們把這種解釋變量稱(chēng)為隨方案而變（ alternative-specific ）友酱，既包括隨方案與個(gè)體而變的變量（選擇加入不同俱樂(lè)部交的會(huì)費(fèi)不同）晴音，也包括隨方案而變但不隨個(gè)體而變的變量（選擇加入某個(gè)俱樂(lè)部后在這個(gè)俱樂(lè)部里每個(gè)人的會(huì)費(fèi)相同）。于是缔杉，個(gè)體選擇方案 $i$ 所帶來(lái)的效用是：
$U_{i j}=\boldsymbol{x}_{i j}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+\varepsilon_{i j} \quad(i=1, \cdots, n ; j=1, \cdots, J)$
其中锤躁，解釋變量 $\boldsymbol{x}_{i j}$ 的下標(biāo)為 $ij$ 表明，解釋變量隨個(gè)體 $i$ 而變或详，也隨方案 $j$ 而變进苍。系數(shù) $\boldsymbol{\beta}$ 不帶下標(biāo)表明 $\boldsymbol{x}_{i j}$ 對(duì)隨機(jī)效用 $U_{ij}$ 的作用不依賴(lài)于方案 $j$ ，比如乘車(chē)時(shí)間依個(gè)體與方案的改變而改變鸭叙，但乘車(chē)時(shí)間太長(zhǎng)所帶來(lái)的負(fù)效用是一致的觉啊。

根據(jù)多項(xiàng) Logit 類(lèi)似的推導(dǎo)可以計(jì)算，個(gè)體 $i$ 選擇方案 $j$ 個(gè)概率為：
$P\left(y_{i}=j | \boldsymbol{x}_{i j}\right)=\frac{\exp \left(\boldsymbol{x}_{i j}^{\prime} \boldsymbol{\beta}\right)}{\sum\limits_{k=1}^{J} \exp \left(\boldsymbol{x}_{i k}^{\prime} \boldsymbol{\beta}\right)}$
此模型稱(chēng)為條件 Logit（ Conditional Logit, CL ）沈贝，也稱(chēng)為 McFadden 選擇模型 （ McFadden's Choice Model）杠人，來(lái)自于 McFaden 在 1974 年的文章。

條件 Logit 模型的估計(jì)方法與多項(xiàng) Logiot 類(lèi)似，都通過(guò) MLE 估計(jì)以得到系數(shù)的估計(jì)值 $\hat{\boldsymbol \beta}$ 嗡善，不過(guò)在 CL 中辑莫，參數(shù) $\boldsymbol\beta$ 不依賴(lài)于參照方案，所以也不需要把 $\boldsymbol\beta$ 的某個(gè)部分標(biāo)準(zhǔn)化為 0罩引。

12.4 混合 Logit 模型

字面上理解各吨，混合 Logit 模型就是糅合了 12.2 和 12.3 兩種模型的特點(diǎn)而發(fā)展來(lái)的。很自然地袁铐，可以寫(xiě)出個(gè)體 $i$ 選擇方案 $j$ 所能帶來(lái)的隨機(jī)效用：
$U_{i j}=\boldsymbol{x}_{i j}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+z_{i}^{\prime} \boldsymbol{\gamma}_{j}+\boldsymbol{\varepsilon}_{i j} \quad(i=1, \cdots, n ; j=1, \cdots, J)$
其中揭蜒，解釋變量 $\boldsymbol x_{ij}$ 既隨個(gè)體 $i$ 而變，也隨方案 $j$ 而變剔桨；而解釋變量 $\boldsymbol z_i$ 僅隨個(gè)體 $i$ 而變屉更。經(jīng)過(guò)類(lèi)似的推導(dǎo)，可以計(jì)算出個(gè)體 $i$ 選擇方案 $j$ 的概率為：
$P\left(y_{i}=j | \boldsymbol{x}_{i j}\right)=\frac{\exp \left(\boldsymbol{x}_{i j}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{z}_{i}^{\prime} \boldsymbol{\beta}_{j}\right)}{\sum_{k=1}^{J} \exp \left(\boldsymbol{x}_{i k}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+z_{i}^{\prime} \boldsymbol{\beta}_{k}\right)} \quad(12.10)$
此模型在文獻(xiàn)中稱(chēng)為混合 Logit 模型（ Mixed Logit ）洒缀，但 Stata 仍稱(chēng)之為條件 Logit瑰谜。為了識(shí)別模型，方程 $(12.10)$ 中也需要選擇一個(gè)參照方案树绩，并令 $\boldsymbol\beta_1=0$ 萨脑。

12.5 關(guān)于三個(gè)模型的要點(diǎn)

對(duì)于以上三種模型，當(dāng)方案本身的特質(zhì)并不重要饺饭，或缺乏相關(guān)特征的數(shù)據(jù)時(shí)渤早，常常使用多項(xiàng) Logit 模型。如果需要考慮不同方案的特征砰奕，則應(yīng)使用條件 Logit 模型或混合 Logit 模型蛛芥。另外提鸟，在這些多值選擇模型中军援，由于被解釋變量的分布必然為多項(xiàng)分布（ multinomial distribution ），故一般不必考慮穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤称勋，使用普通標(biāo)準(zhǔn)誤即可：這一點(diǎn)類(lèi)似于二值選擇模型胸哥。然而，如果數(shù)據(jù)時(shí)聚類(lèi)樣本赡鲜，則仍需要使用穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤空厌。

需要注意的是，在多項(xiàng) Logit 模型和混合 Logit 模型中银酬，對(duì)參數(shù)估計(jì)值 $\hat{\boldsymbol\beta}_j$ 的解釋是以參照方案（ base category ）為轉(zhuǎn)移的（可以根據(jù)理論或方便來(lái)選擇參照方案）嘲更。以多項(xiàng) Logit 模型為例，假設(shè)“方案1”或“方案 $j$ “其中一個(gè)必然發(fā)生揩瞪，那么在此條件下赋朦，“方案 $j$ ”發(fā)生的概率為：
$\mathrm{P}(y=j | y=1 \text { or } j)=\frac{\mathrm{P}(y=j)}{\mathrm{P}(y=1)+\mathrm{P}(y=j)}=\frac{\exp \left(\boldsymbol{x}_{i}^{\prime} \boldsymbol{\beta}_{j}\right)}{1+\exp \left(\boldsymbol{x}_{i}^{\prime} \boldsymbol{\beta}_{j}\right)}$
上式與二值選擇的 Logit 模型具有完全相同的形式。而幾率比或相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)為：
$\frac{P(y=j)}{P(y=1)}=\exp \left(\boldsymbol{x}_{i}^{\prime} \boldsymbol{\beta}_{j}\right)$
從條件概率 $\mathrm{P}(y=j | y=1 \text { or } j)$ 可以看出，該條件概率并不依賴(lài)于其他任何方案——換言之宠哄，如果將多值選擇模型的任何兩個(gè)方案單獨(dú)挑出來(lái)壹将，都是二值 Logit 模型。此假定稱(chēng)為無(wú)關(guān)方案的獨(dú)立性（ Idependence of Irrelevant Alternatives, IIA）毛嫉。根據(jù)類(lèi)似的推導(dǎo)诽俯，條件 Logit 模型也服從 IIA 假定。然而承粤，在實(shí)踐中暴区，如果兩個(gè)不同的方案之間十分接近，那么 IIA 假設(shè)不一定成立密任，這是多項(xiàng) Logit颜启、條件 Logit 與混合 Logit 模型存在的通病。

例如浪讳，假設(shè)共有 4 個(gè)備選的交通方式缰盏，自駕車(chē)、自行車(chē)淹遵、紅色公交和藍(lán)色公交口猜。根據(jù) IIA 假定，如果給定條件選擇自駕或坐紅色公交透揣，那么在加上自行車(chē)济炎、藍(lán)色公交這兩種方案以后，不應(yīng)該對(duì)前面的條件概率造成很大的影響辐真。

誠(chéng)然须尚，加入自行車(chē)并不會(huì)對(duì)自家車(chē)和乘坐紅色公交造成很大的影響，加入藍(lán)色公交這種方案以后也不會(huì)對(duì)自駕造成很大的影響侍咱；不過(guò)耐床，加入藍(lán)色公交車(chē)會(huì)使得乘坐紅色公交的概率降低一半，這將會(huì)影響 IIA 假定楔脯。

如果還是不理解撩轰，那么我們可以嘗試去理解檢驗(yàn) IIA 的方法：豪斯曼檢驗(yàn)，的基本想法：
$如果\text{IIA}成立昧廷，那么去掉某個(gè)方案不影響對(duì)其他方案參數(shù)的一致估計(jì)$
也就是說(shuō)堪嫂，如果 IIA 成立，那么去掉某個(gè)方案以后的系數(shù)估計(jì) $\hat{\boldsymbol\beta}_R$ 與全樣本估計(jì)值 $\hat{\boldsymbol\beta}_F$ 沒(méi)有系統(tǒng)性差別木柬，為此 Hausman & McFadden (1984) 提出了以下統(tǒng)計(jì)量：
$\left(\hat{\boldsymbol{\beta}}_{R}-\hat{\boldsymbol{\beta}}_{F}\right)^{\prime}\left[\widehat{\operatorname{Var}\left(\hat{\boldsymbol{\beta}}_{R}\right)}-\widehat{\operatorname{Var}\left(\hat{\boldsymbol{\beta}}_{F}\right)}\right]^{-1}\left(\hat{\boldsymbol{\beta}}_{R}-\hat{\boldsymbol{\beta}}_{F}\right)^{\prime} \stackrelfljtltb{\longrightarrow} \chi^{2}(m)$
其中皆串， $m$ 等于 $\hat{\boldsymbol\beta}_R$ 的維度。另外還有 Small & Hsiao (1985) 也提出了檢驗(yàn) IIA 的方法眉枕，不過(guò)這兩個(gè)方法的小樣本性質(zhì)都不好恶复，故結(jié)論只具有參考價(jià)值娇唯。

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人面猴
序言：七十年代末，一起剝皮案震驚了整個(gè)濱河市寂玲，隨后出現(xiàn)的幾起案子塔插，更是在濱河造成了極大的恐慌，老刑警劉巖拓哟，帶你破解...
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死咒
序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件想许，死亡現(xiàn)場(chǎng)離奇詭異，居然都是意外死亡断序，警方通過(guò)查閱死者的電腦和手機(jī)流纹，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
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救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進(jìn)店門(mén)，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來(lái)违诗，“玉大人漱凝，你說(shuō)我怎么就攤上這事≈畛伲” “怎么了茸炒？”我有些...
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道士緝兇錄：失蹤的賣(mài)姜人
文/不壞的土叔我叫張陵，是天一觀(guān)的道長(zhǎng)阵苇。經(jīng)常有香客問(wèn)我壁公，道長(zhǎng)，這世上最難降的妖魔是什么绅项？我笑而不...
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?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任紊册，我火速辦了婚禮，結(jié)果婚禮上快耿，老公的妹妹穿的比我還像新娘囊陡。我一直安慰自己，他們只是感情好掀亥，可當(dāng)我...
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惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來(lái)的
文/花漫我一把揭開(kāi)白布撞反。她就那樣靜靜地躺著，像睡著了一般铺浇。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪痢畜。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上垛膝，一...
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城市分裂傳說(shuō)
那天鳍侣，我揣著相機(jī)與錄音，去河邊找鬼吼拥。笑死倚聚，一個(gè)胖子當(dāng)著我的面吹牛，可吹牛的內(nèi)容都是我干的凿可。我是一名探鬼主播惑折，決...
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雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開(kāi)眼授账，長(zhǎng)吁一口氣：“原來(lái)是場(chǎng)噩夢(mèng)啊……” “哼！你這毒婦竟也來(lái)了惨驶？” 一聲冷哼從身側(cè)響起白热，我...
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萬(wàn)榮殺人案實(shí)錄
序言：老撾萬(wàn)榮一對(duì)情侶失蹤，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎粗卜，沒(méi)想到半個(gè)月后屋确，有當(dāng)?shù)厝嗽跇?shù)林里發(fā)現(xiàn)了一具尸體，經(jīng)...
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?護(hù)林員之死
正文獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡续扔，尸身上長(zhǎng)有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
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?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年攻臀，在試婚紗的時(shí)候發(fā)現(xiàn)自己被綠了。大學(xué)時(shí)的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片纱昧。...
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活死人
序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡刨啸，死狀恐怖，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出识脆，到底是詐尸還是另有隱情设联，我是刑警寧澤，帶...
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?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布灼捂，位于F島的核電站仑荐，受9級(jí)特大地震影響，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏纵东。R本人自食惡果不足惜粘招，卻給世界環(huán)境...
茶點(diǎn)故事閱讀 39,293評(píng)論 3贊 307
男人毒藥：我在死后第九天來(lái)索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望偎球。院中可真熱鬧洒扎，春花似錦、人聲如沸衰絮。這莊子的主人今日做“春日...
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一樁弒父案，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽(yáng)猫牡。三九已至胡诗，卻和暖如春，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間淌友，已是汗流浹背煌恢。一陣腳步聲響...
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情欲美人皮
我被黑心中介騙來(lái)泰國(guó)打工，沒(méi)想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留震庭，地道東北人瑰抵。一個(gè)月前我還...
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代替公主和親
正文我出身青樓，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像器联，于是被迫代替她去往敵國(guó)和親二汛。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子婿崭，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
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高級(jí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 15：多值選擇模型(基礎(chǔ))