這一次來講高德納上箭號
計算規(guī)則就是?a↑b=a^b?a↑n1=a a↑cb=a↑c-1(a↑b-1)
這個遞歸格式實際上是跟運算級次的意思是一樣的瘟檩。連加就是乘法耸彪，連乘就是乘方。高級的運算就是低級運算的多次迭代凳谦。
比如3↑↑↑3=3↑↑3↑↑3=3↑↑3↑3↑3=3↑↑3↑27=3↑↑7625597484987,這是一個高達7625597484987個3的指數塔念恍，但它的增長率僅為5
像這種大數就沒法用初等函數來表示了，以后我們還會遇到更大的計數方法趣避，如何比較這些數的大小庞呕，以及比較這些方法的計數能力就尤為重要了劫灶。
FGH（快速增長層級）
FGH有3條規(guī)則
f0(n)=n+1
fa(n)=fa-1(fa-1(fa-1(...fa-1(n))))一共n層 a是后繼序數（可以被減1）
fb(n)=fn(n) b是極限序數（不可以被減1）
這里f0(0)=1 f0(1)=2 f0(2)=3 f0(3)=4
f1(0)=0 f1(1)=2 f1(2)=4 f1(3)=5
f2(0)=0 f2(1)=2 f2(2)=8 f2(3)=24
f3(0)=0 f3(1)=2 f3(2)=2048 f3(3)=402,653,184*2^402,653,184
f4(0)=0 f4(1)=2 f4(2)>6.6185228434044942951864067458396e+619 f4(3)=f3(f3(402,653,184*2^402,653,184))
顯然不是所有的增長函數都在FGH里邮辽，但是我們可以認為像3n，4n等一次函數具有1的增長率秃嗜，n2等冪函數具有1到2之間的增長率骆捧，指數函數澎羞、階乘的增長率為2，n^n^n敛苇、n^n^n^n具有2到3之間的增長率妆绞，2↑↑(n+1)顺呕、n↑↑n的增長率為3。這是因為我們考慮的是n趨于無窮時函數增長快慢的性質括饶。增長率就像一個標桿株茶，把各個函數劃分為各個層級。
f3(n)? 2↑n
f4(n) 2↑↑n
f5(n) 2↑↑↑n
所以高德納上箭號的極限是n↑nn 增長率為ω 也是fn(n)或fω(n)
葛立恒數是G(64)=3↑G(63)3 G(1)=3↑↑↑↑3 它的增長率是ω+1
注：fω+1(n)不是fn+1(n)(那為什么不寫做fω(n+1))fω+1(n)=fω(fω(fω(...fω(n))))?fω(fω(fω(...fω(n))))不是fn(fn(fn(...fn(n)))) 是要從內往外算的图焰。
最后算一下fω+2(2)
fω+2(2)=fω+1(fω+1(2))=fω+1(fω(fω(2)))=fω+1(fω(f2(2)))=fω+1(fω(4)))=fω+1(f4(4)))?fω+1(2↑↑5)?fω+1(2↑2↑2↑2↑2)??fω+1(2↑2↑2↑4)?fω+1(2↑2↑16)?fω+1(2↑65536)?f(2↑65536)?(2↑65536)?
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